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\begin{document}
\title{\textsf{Analyse III}}
\author{\textsf{Clément Hongler}}
\maketitle

\section*{\textsf{Organisation}}
\begin{itemize}
\item \textsf{Dans ce cours, nous allons étudier l'Analyse Complexe (9-10
semaines) et les théorèmes et concepts important de l'Analyse Vectorielle
des Champs (4-5 semaines).}
\item \textsf{Il y aura un test blanc autour de la 12ème semaine.}
\item \textsf{Les exercices, leurs solutions, les anciens examens et les
notes de cours peuvent être trouvés sur www.hongler.org/analyse-iii}
\item \textsf{Il y aura des heures de bureau de 11h à 12h les lundis. }
\end{itemize}


\section*{\textsf{Introduction}}

\subsection*{\textsf{Analyse Complexe}}
\begin{itemize}
\item \textsf{Dans cette partie du cours, on va traiter de l'Analyse des
fonctions d'une variable complexe.}
\item \textsf{L'idée de traiter des problèmes grâce aux nombres complexes
est très profonde, et elle permet d'obtenir des résultats hautement
non triviaux.}
\item \textsf{Pour vous donner une idée, voici quelques résultats qui seront
obtenus dans ce cours:}
\end{itemize}
\begin{claim*}
\textsf{De nombreuses intégrales utiles de fonctions dont on ne connaît
pas les primitives peuvent être calculées : par exemple
\[
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\cos\left(\xi x\right)}{1+x^{2}}\mathrm{d}x=\pi e^{-\left|\xi\right|}\qquad\text{pour }\xi\in\mathbb{R}
\]
}
\end{claim*}
\textsf{}
%
\begin{thm*}[Théorème des nombres premiers]
\textsf{Pour $n\in\mathbb{N}$, soit $\pi\left(n\right)=\#\left\{ p\leq n\right\} $
le nombre de nombres premiers plus petits que $n$. Alors quand $n\to+\infty$,
on a $\pi\left(n\right)\sim n/\log\left(n\right)$ (au sens où $\frac{\pi\left(n\right)\log n}{n}\to1$).}
\end{thm*}
\textsf{}
%
\begin{thm*}
\textsf{Soient deux ouverts $\Omega_{1},\Omega_{2}\subsetneq\mathbb{C}$
qui n'ont pas de \textquotedbl trous\textquotedbl . Alors il existe
une application conforme $\varphi:\Omega_{1}\to\Omega_{2}$ (c'est-à-dire
un difféomorphisme qui préserve localement les angles).}
\end{thm*}
\begin{rem*}
\textsf{C'est complètement faux en dimensions 3 et plus, et c'est
le plus souvent faux si les domaines ont des trous (par exemple, on
ne peut pas envoyer un anneau de rayons $1,2$ vers un anneau de rayons
$1,3$ par une application conforme). }
\end{rem*}

\subsection*{\textsf{Analyse Vectorielle des Champs}}
\begin{itemize}
\item \textsf{Dans cette partie du cours, on étudiera les opérateurs gradient,
rotationnel, divergence, laplacien qui apparaissent dans notre compréhension
du monde (gravitation, électromagnétisme, etc.)}
\item \textsf{Le but sera de comprendre intuitivement ce que ces opérateurs
veulent dire, ce qui nous permettra de comprendre des équations comme}

\textsf{
\begin{align*}
\mathrm{div}E & =4\pi\rho\\
\mathrm{div}B & =0\\
\mathrm{rot}E & =-\frac{1}{c}\partial_{t}B\\
\mathrm{rot}B & =\frac{1}{c}\left(4\pi J+\frac{\partial E}{\partial t}\right).
\end{align*}
}
\item \textsf{On étudiera leur équivalents intégraux.}
\item \textsf{Finalement, on verra comment les simuler facilement avec un
ordinateur. }
\end{itemize}


\section*{\textsf{Rappels sur l'analyse des fonctions de plusieurs variables}}

\textsf{Le but est de faire un rappel des notions et des notations.
On regarde des fonctions à $n$ variables, définies sur un ouvert
$D\subset\mathbb{R}^{n}$, typiquement connexe, ce qu'on appelle un
domaine. }
\begin{xca}
\textsf{Pourquoi regarde-t-on un ouvert?}
\end{xca}


\subsection{\textsf{Différentiation}}

\textsf{On regarde des fonctions à $n$ variables, définies sur un
ouvert $D\subset\mathbb{R}^{n}$ (typiquement connexe: on dit un domaine).}
\begin{defn}
\textsf{Une fonction $f:D\to\mathbb{R}^{m}$ est dite différentiable
(ou dérivable) en $x\in D$ s'il existe une application linéaire $Df|_{x}:\mathbb{R}^{n}\to\mathbb{R}^{m}$
(en général identifiée à une matrice $m\times n$ dans $\mathcal{M}_{m,n}\left(\mathbb{R}\right)$)
telle que $f\left(x+h\right)=f\left(x\right)+Df\big|_{x}h+o\left(h\right)$,
avec $o\left(h\right)$ tel que 
\[
\frac{\|o\left(h\right)\|_{\mathbb{R}^{m}}}{\|h\|_{\mathbb{R}^{n}}}\underset{h\underset{\neq}{\to0}}{\longrightarrow}0
\]
. }
\end{defn}

\begin{rem}
\textsf{Une fonction $f$ différentiable en $x$ est continue, ce
qui est strictement plus fort que l'existence de dérivées partielles
/directionnelles en $x$ }
\end{rem}

\begin{xca}
\textsf{Trouver une fonction $g:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}$ avec
des dérivées directionnelles dans toutes les directions en $\left(0,0\right)$
qui valent toutes $0$, mais qui n'est pas continue en $\left(0,0\right)$. }
\end{xca}

\begin{defn}
\textsf{Une fonction $f:D\to\mathbb{R}^{m}$ est dite $\mathcal{C}^{1}$
sur $D$ si elle est dérivable (différentiable) en tout point de $D$
et si $x\mapsto Df\big|_{x}$ est continue.}
\end{defn}

\begin{xca}
\textsf{Qu'est-ce que dire que $x\mapsto Df\big|_{x}$ est continue
veut dire (en termes de $\epsilon,\delta$)?}
\end{xca}

\begin{prop}
\textsf{Une fonction $f:D\to\mathbb{R}^{m}$ est $\mathcal{C}^{1}$
sur $D$ si et seulement si ses dérivées partielles 
\[
\partial_{x_{1}}f,\ldots,\partial_{x_{n}}f:D\to\mathbb{R}^{m}
\]
 existent et sont continues.}
\end{prop}

\begin{xca}
\textsf{Pourquoi?}
\end{xca}

\begin{prop}
\textsf{Si $f\left(D\right)\subset E$ où $E$ est un ouvert de $\mathbb{R}^{m}$
et si $g:E\to\mathbb{R}^{p}$ est différentiable (respectivement $\mathcal{C}^{1}$),
on a que $g\circ f:D\to\mathbb{R}^{p}$ est différentiable (respectivement
$\mathcal{C}^{1}$) avec $D\left(g\circ f\right)\big|_{x}=Dg\big|_{f\left(x\right)}Df\big|_{x}$,
(où le membre de droite est compris comme composition d'application
linéaire ou produit matriciel).}
\end{prop}

\begin{xca}
\textsf{Pourquoi?}
\end{xca}


\subsection{\textsf{Formule de Taylor du 2ème ordre}}
\begin{defn}
\textsf{Une fonction $f:D\to\mathbb{R}$ de classe $\mathcal{C}^{1}$
est dite $\mathcal{C}^{2}$ si ses dérivées partielles 
\[
\partial_{x_{1}}f,\ldots,\partial_{x_{n}}f
\]
 sont $\mathcal{C}^{1}$; de même on dit qu'elle est $\mathcal{C}^{k+1}$
si les dérivées partielles sont $\mathcal{C}^{k}$. }
\end{defn}

\textsf{}
%
\begin{defn}
\textsf{On note par $\nabla f\left(x\right)$ le gradient et $Hf_{x}$
la Hessienne en $x$, définis par
\begin{align*}
\nabla f\left(x\right) & =\left(Df\big|_{x}\right)^{T}=\left(\partial_{x_{1}}f\left(x\right),\ldots,\partial_{x_{n}}f\left(x\right)\right)\\
 & =\begin{pmatrix}\partial_{x_{1}}f\left(x\right)\\
\vdots\\
\partial_{x_{n}}f\left(x\right)
\end{pmatrix},\\
Hf\big|_{x} & =\begin{pmatrix}\partial_{x_{1}}^{2}f\left(x\right) & \cdots & \partial_{x_{1}}\partial_{x_{n}}f\left(x\right)\\
\vdots & \ddots & \vdots\\
\partial_{x_{n}}\partial_{x_{1}}f\left(x\right) & \cdots & \partial_{x_{n}}^{2}f\left(x\right)
\end{pmatrix}
\end{align*}
}
\end{defn}

\begin{thm}[Taylor multivariable à l'ordre $2$]
\textsf{Si une fonction $f:D\to\mathbb{R}$ est $\mathcal{C}^{2}$,
pour tout $x\in D$ on a que 
\begin{align*}
f\left(x+h\right) & =f\left(x\right)+\left(\nabla f\left(x\right)\right)^{T}h+\frac{1}{2}h^{T}Hf\big|_{x}h\\
 & +o\left(h^{2}\right),
\end{align*}
où 
\[
|o\left(h^{2}\right)|/\|h\|_{\mathbb{R}^{n}}^{2}\underset{h\underset{\neq}{\to0}}{\longrightarrow}0.
\]
 }
\end{thm}

\begin{xca}
\textsf{Que peut-on dire pour une fonction $\mathcal{C}^{3}$ et pour
des fonctions à valeurs dans $\mathbb{R}^{m}$? }
\end{xca}


\subsection{\textsf{Fonctions inverses et implicites}}
\begin{thm}[Théorème de la fonction inverse]
\textsf{ Si $f:D\to\mathbb{R}^{n}$ est une fonction $\mathcal{C}^{1}$
sur un domaine $D\subset\mathbb{R}^{n}$ et si 
\[
Df\big|_{x}\in\mathcal{M}_{n}\left(\mathbb{R}\right):=\mathcal{M}_{n,n}\left(\mathbb{R}\right)
\]
est inversible on a qu'il existe un voisinage ouvert de $x$ dans
$D$ (tel que $x\in U\subset D$) et un voisinage ouvert $V$ de $f\left(x\right)$
tel que la restriction $f\big|_{U}:U\to V$ soit une bijection avec
inverse $f^{-1}:V\to U$ de classe $\mathcal{C}^{1}$, de dérivée
\[
D\left(f^{-1}\right)\big|_{f\left(x\right)}=\left(Df\big|_{x}\right)^{-1}.
\]
}
\end{thm}

\begin{xca}
\textsf{Donner une bijection différentiable dont l'inverse n'est pas
différentiable.}
\end{xca}

\textsf{}
%
\begin{xca}
\textsf{Montrer qu'il existe un voisinage ouvert $U'$ de $x$ où
$Df\big|_{x'}$ est inversible pour tout $x'\in U'$. }
\end{xca}

\textsf{}
%
\begin{xca}
\textsf{Montrer qu'avec un changement de variable affine, on peut
supposer que $x=0$ et que $Df|_{x}=\mathrm{Id}$. }
\end{xca}

\textsf{}
%
\begin{xca}
\textsf{Montrer que l'existence de l'inverse $f^{-1}:V\to U$ est
équivalente à l'existence d'un point fixe de $x\mapsto x+y-f\left(x\right)=x$
sur $U$ pour tout $y\in V$. }
\end{xca}

\textsf{}
%
\begin{xca}
\textsf{Montrer que cette application est une contraction si $U$
est suffisamment petit.}
\end{xca}

\textsf{}
%
\begin{xca}
\textsf{Montrer que l'existence de l'inverse suit du théorème du point
fixe de Banach.}
\end{xca}

\textsf{}
%
\begin{xca}
\textsf{Qu'est-ce qu'il faudrait montrer pour conclure la preuve du
théorème de la fonction inverse?}
\end{xca}

\textsf{}
%
\begin{thm}[Théorème de la fonction implicite]
\textsf{ Soit $f:D\times E\to\mathbb{R}^{n}$ est $\mathcal{C}^{1}$
sur $D\times E$ avec $D\subset\mathbb{R}^{n},E\subset\mathbb{R}^{p}$,
et 
\begin{align*}
D_{x}f & =\left(\partial_{x_{1}}f\left(x,z\right)\;\ldots\negthickspace\partial_{x_{n}}f\left(x,z\right)\right)\in\mathcal{M}_{n}\left(\mathbb{R}\right),\\
D_{z}f & =\left(\partial_{z_{1}}f\left(x,z\right)\;\ldots\negthickspace\partial_{z_{p}}f\left(x,z\right)\right)\in\mathcal{M}_{n,p}\left(\mathbb{R}\right).
\end{align*}
Si $D_{x}f$ est inversible en $\left(x,z\right)\in D\times E$ (avec
$x\in\mathbb{R}^{n},z\in\mathbb{R}^{p}$), alors il existe un voisinage
$W$ de $z$ et un voisinage $U$ de $x$ et une fonction $g:W\to U$
de classe $\mathcal{C}^{1}$ telle que $f\left(g\left(\cdot\right),\cdot\right)$
est constante sur $W$ et $Dg\big|_{z}=-\left(D_{x}f\right)^{-1}D_{z}f.$}
\end{thm}

\begin{xca}
\textsf{Montrer le théorème si $f$ est linéaire.}
\end{xca}

\textsf{}
%
\begin{xca}
\textsf{Expliquer pourquoi on pense usuellement au théorème comme
à la résolution d'un système (typiquement non linéaire) de $n$ équations
avec $n$ inconnues et $p$ paramètres.}
\end{xca}

\textsf{}
%
\begin{xca}
\textsf{Montrer le théorème de la fonction implicite en utilisant
le théorème de la fonction inverse. }
\end{xca}

\textsf{}
%
\begin{xca}
\textsf{Expliquer comment le théorème est relié à ce qui nous fait
passer de la forme implicite d'une paramétrisation de surface (de
type $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$) à sa forme explicite (de type: $z=\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}$)}
\end{xca}

\begin{thm}[Version $\mathcal{C}^{k}$ des théorèmes de la fonction inverse et
de la fonction implicite]
\textsf{ Si $f$ est $\mathcal{C}^{k}$ au lieu d'être $\mathcal{C}^{1}$
dans le théorème de la fonction inverse, on a que l'inverse est $\mathcal{C}^{k}$;
de même pour la fonction implicite, si $f$ est $\mathcal{C}^{k}$
on a que la fonction implicite est $\mathcal{C}^{k}$. }
\end{thm}

\begin{xca}
\textsf{Montrer la version $\mathcal{C}^{k}$ pour $k\geq2$ en supposant
la version $\mathcal{C}^{1}$.}
\end{xca}


\section*{\textsf{Partie I: Analyse complexe}}

\section{\textsf{Rappels sur les nombres complexes}}

\subsection{\textsf{Motivation}}
\begin{itemize}
\item \textsf{Dans le cours d'Analyse I, on est passé des nombres rationnels
$\mathbb{Q}$ aux nombres réels $\mathbb{R}$ en les complétant de
manière à ce que chaque ensemble borné ait une borne inférieure et
une borne supérieure (c'est par exemple ainsi qu'on a pu construire
$\sqrt{2}$ comme $\sup\left\{ x\in\mathbb{Q}:x^{2}\leq2\right\} $).}
\item \textsf{Cela nous a ensuite amené à considérer des fonctions sur les
réels, qui permettent de représenter nombre d'objets naturels pour
décrire le monde et d'obtenir beaucoup d'informations et de structures
sur de telles fonctions.}
\item \textsf{On a vu que de manière un peu surprenante, les objets continus
sont souvent plus faciles à étudier, à calculer que leurs pendants
discrets: par exemple, il est facile de calculer $\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x^{3}}\mathrm{d}x$,
mais on n'a pas de formule pour $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{3}}$. }
\item \textsf{Dans ce cours, on va étendre les nombres réels $\mathbb{R}$
pour passer aux nombres complexes, en  complétant les réels de manière
algébrique cette fois, de manière à ce toutes les équations polynomiales
aient des solutions (en particulier, $i$ sera solution de $i^{2}+1=0$).}
\item \textsf{On verra que les fonctions naturelles sur les nombres complexes
(d'une variable complexe, à valeurs dans $\mathbb{C})$, en particulier
celles qui généralisent la notion de dérivabilité possèdent une structure
très riche.}
\item \textsf{De même que le passage du discret au continu, le passage du
réel au complexe nous permet en fait de calculer beaucoup de quantités
plus facilement, et de gagner une intuition et une vision plus profonde
de l'analyse des fonctions (en particulier de prouver des théorèmes
hautement non triviaux comme le théorème des nombres premiers).}
\end{itemize}


\subsection{\textsf{Géométrie des nombres complexes}}
\begin{itemize}
\item \textsf{Formellement les nombres complexes forment un corps fait des
éléments $\mathbb{C}=\left\{ a+bi:a,b\in\mathbb{R}\right\} $ muni
de l'addition 
\[
a+bi+a'+b'i=\text{\ensuremath{\left(a+a'\right)}+\ensuremath{\left(b+b'\right)}}i,
\]
de la multiplication 
\[
\left(a+bi\right)\left(a'+bi\right)=aa'-bb'+\left(ab'+a'b\right)i.
\]
}
\item \textsf{Naturellement, on identifie souvent le plan complexe $\mathbb{C}$
à $\mathbb{R}^{2}$ par 
\[
\mathbb{C}\ni z=a+bi\leftrightarrow\left(a,b\right)\in\mathbb{R}^{2}.
\]
}
\item \textsf{Géométriquement, l'addition correspond à l'addition des vecteurs. }
\item \textsf{Pour un nombre $z=x+yi$, on note $\Re\mathfrak{e}\left(z\right)=x$
sa partie réelle et $\Im\mathfrak{m}\left(z\right)=y$ sa partie imaginaire,
$\bar{z}=x-iy$ son conjugué, $\left|z\right|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$
son module. }
\item \textsf{L'opposé additif de $z=x+iy\in\mathbb{C}$ est $-x-iy$, l'inverse
multiplicatif de $z\in\mathbb{C}^{*}:=\mathbb{C}\setminus\left\{ 0\right\} $
est $\frac{\bar{z}}{\left|z\right|^{2}}$.}
\item \textsf{Les nombres réels $\mathbb{R}$ s'identifient naturellement
à l'axe réel $\left\{ z\in\mathbb{C}:\Im\mathfrak{m}\left(z\right)=0\right\} $;
les nombres $z\in\mathbb{C}$ tels que $\Re\mathfrak{e}\left(z\right)=0$
sont dits imaginaires purs.}
\end{itemize}


\subsection{\textsf{Représentation polaire}}
\begin{rem}
\textsf{On donne ici des représentations géométriques des nombres
complexes et on ne définit pas (encore) analytiquement l'exponentielle
complexe: ce sera fait un peu plus loin dans ce cours. }
\end{rem}

\begin{itemize}
\item \textsf{On utilise souvent la représentation polaire des nombres complexes
$z=re^{i\theta}\in\mathbb{C}^{*}$, où $r=\left|z\right|$ et $e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$,
et où $\theta\in\mathbb{R}$ est noté $\arg\left(z\right)$ (défini
modulo $2\pi$); on reviendra plus tard sur l'exponentielle complexe.}
\item \textsf{Quand on multiplie des nombres complexes, on multiplie leur
modules et additionne leurs arguments: si $z=re^{i\theta},z'=r'e^{i\theta'}$
on a $zz'=rr'e^{i\left(\theta+\theta'\right)}$ (cela suit naturellement
des propriétés du sinus et du cosinus). }
\item \textsf{Ainsi on voit que l'application $\mathbb{C}\to\mathbb{C}$
$z\mapsto az+b$ pour $a,b\in\mathbb{C}$ correspond à une homothétie
de facteur $\left|a\right|$, suivie d'une rotation d'angle $\arg\left(a\right)$
et ensuite d'une translation de $b$. }
\item \textsf{Grâce à la représentation polaire, il est facile de voir que
l'équation $z^{n}=c$ a $n$ solutions distinctes pour tout $c\in\mathbb{C}^{*}$. }
\item \textsf{Si on essaie d'inverser formellement l'exponentielle complexe,
on obtient $\log z=\log\left|z\right|+i\arg z$; notons toutefois
que comme $\arg z$ n'est défini que modulo $2\pi$, $\log z$ n'est
pas une fonction sur $\mathbb{C}^{*}$ (au mieux c'est une \textquotedbl fonction
multivaluée\textquotedbl , ce qui n'est pas une fonction).}
\item \textsf{Si on choisit une demi-droite de coupure, on peut choisir
un détermination de $\arg z$ et par conséquent du $\log$; le choix
de coupure le plus fréquent est la demi-droite négative $\mathbb{R}_{-}=\left\{ z\in\mathbb{R}:z\leq0\right\} $,
ce qui permet de définir $\arg z$ dans $\left(-\pi,\pi\right)$ et
donne ce qu'on appelle la détermination principale de l'argument /
du logarithme.}
\item \textsf{Une chose très importante qu'on perd par rapport aux nombres
réels est la relation d'ordre.}
\end{itemize}


\subsection{\textsf{Topologie générale sur les complexes}}
\begin{itemize}
\item \textsf{On discute maintenant des notions d'ensembles ouverts et fermés
de $\mathbb{C}$; ces notions et les notations sont consistantes avec
ce qui est vu dans les cours de topologie générale. }
\item \textsf{En analyse réelle, les sous-ensembles les plus utiles pour
travailler avec les notions de base sont les intervalles ouverts de
la forme $\left(x-r,x+r\right)$ (parfois aussi notés $]x-r,x+r[$)
et les intervalles fermés de la forme $\left[x-r,x+r\right]$. }
\item \textsf{Les analogues appropriés en analyse complexe sont les disques
ouverts 
\[
D\left(z,r\right)=\left\{ z'\in\mathbb{C}:\left|z-z'\right|<r\right\} 
\]
 et les disques fermés 
\[
\bar{D}\left(z,r\right)=\left\{ z'\in\mathbb{C}:\left|z-z'\right|\leq r\right\} .
\]
On appelle $D\left(z,r\right)$ (respectivement $\bar{D}\left(z,r\right)$)
le disque ouvert (respectivement fermé) de rayon $r$ centré en $z$. }
\end{itemize}
\begin{defn}
\textsf{On dit qu'un sous-ensemble $U\subset\mathbb{C}$ est ouvert
si pour tout $z\in U$, il existe $\delta>0$ tel que $D\left(z,\delta\right)\subset U$:
en d'autres termes, $U$ est ouvert si autour de chaque point, il
y a un peu de place pour bouger dans toutes les directions.}
\end{defn}

\textsf{}
%
\begin{defn}
\textsf{Si pour $z\in U$, on a $D\left(z,\delta\right)\subset U$
pour un $\delta>0$, on dit que $D\left(z,\delta\right)$ est un voisinage
de $z$ dans $U$. }
\end{defn}

\textsf{}
%
\begin{defn}
\textsf{Pour $\Omega\subset\mathbb{C}$, on appelle l'intérieur de
$\Omega$ et on note $\mathrm{Int}\left(\Omega\right)$ l'ensemble
des $z\in\Omega$ tels qu'il existe un $\delta>0$ (qui peut dépendre
de $z$) tel que $D\left(z,\delta\right)\subset\Omega$; un ensemble
$U$ est ouvert si et seulement si $U=\mathrm{Int}\left(U\right)$.}
\end{defn}

\textsf{}
%
\begin{defn}
\textsf{On dit qu'un sous-ensemble $F\subset\mathbb{C}$ est fermé
si son complémentaire $\mathbb{C}\setminus F$ est ouvert.}
\end{defn}

\begin{xca}
\textsf{Montrer que $F$ est fermé si et seulement si pour toute suite
convergente $\left(z_{n}\right)_{n\geq0}$ avec $z_{n}\in F$ pour
tout $n$, on a $\lim_{n\to\infty}z_{n}\in F$. }
\end{xca}

\begin{defn}
\textsf{Pour $\Omega\subset\mathbb{C}$, on appelle fermeture de $\Omega$
et on note $\bar{\Omega}$ l'ensemble des $z\in\mathbb{C}$ tels qu'il
existe une suite $\left(z_{n}\right)_{n\geq0}$ avec $z_{n}\in\Omega$
pour tout $n\geq0$ et $z_{n}\to z$; un ensemble $\Omega$ est fermé
si et seulement si $\Omega=\bar{\Omega}$. }
\end{defn}

\textsf{}
%
\begin{defn}
\textsf{On appelle bord de $\Omega$ et on note $\partial\Omega$
l'ensemble $\bar{\Omega}\setminus\mathrm{Int}\left(\Omega\right)$. }
\end{defn}

\begin{defn}
Pour un ensemble $S\subset\mathbb{C}$, on dit que $z\in\mathbb{C}$
est un point d'accumulation de $S$, si pour tout $\epsilon>0$, on
a que $\left(D\left(z,\epsilon\right)\setminus\left\{ z\right\} \right)\cap S\neq\emptyset$.
On dit qu'un point $z\in S$ est isolé si ce n'est pas un point d'accumulation
de $S$.
\end{defn}

\textsf{}
%
\begin{defn}
\textsf{On dit qu'un sous-ensemble $F\subset\mathbb{C}$ est compact
s'il est fermé et borné. }
\end{defn}

\begin{xca}
\textsf{Montrer que si $F$ est compact, une fonction continue $f:F\to\mathbb{R}$
a toujours un minimum et un maximum. }
\end{xca}

\begin{defn}
\textsf{On dit qu'un ensemble $S\subset\mathbb{C}$ est connexe par
chemins si pour tous $z,z'\in U$ il existe une courbe $\gamma:\left[0,1\right]\to\mathbb{C}$
avec $\gamma\left(0\right)=z,\gamma\left(1\right)=z',\gamma\left(\left[0,1\right]\right)\subset U$.}
\end{defn}

\textsf{}
%
\begin{defn}
\textsf{On dit qu'un ouvert $U\subset\mathbb{C}$ est un domaine s'il
est connexe par chemins. }
\end{defn}

\begin{rem}
\textsf{Pour l'analyse de base sur $\mathbb{C}$, de nombreuses propriétés
utiles sont héritées du cas réel:}
\begin{itemize}
\item \textsf{L'inégalité du triangle $\left|a+b\right|\leq\left|a\right|+\left|b\right|$
et son corollaire $\left|a-b\right|\leq\left|a-c\right|+\left|c-b\right|$
restent les mêmes. }
\item \textsf{Les notions de convergence pour les suites et fonctions sur
les complexes sont exactement les mêmes (en remplaçant simplement
la valeur absolue $\left|x\right|=\sqrt{x^{2}}$ par le module $\left|a+ib\right|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}).$ }
\item \textsf{En particulier, si $\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{k=0}^{\infty}\left|a_{n,k}\right|<\infty$
on a que 
\[
\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{k=0}^{\infty}a_{n,k}=\sum_{k=0}^{\infty}\sum_{n=0}^{\infty}a_{n,k}
\]
 comme pour les suites réelles. }
\end{itemize}
\end{rem}


\subsection{\textsf{Théorème fondamental de l'algèbre}}
\begin{itemize}
\item \textsf{On a étendu $\mathbb{C}$ pour qu'il contienne les solutions
d'équations de la forme $z^{2}=c$ pour tout $c\in\mathbb{R}$; ce
faisant, on a obtenu un corps plus grand, et on pourrait se poser
la question de savoir s'il faut encore ajouter des solutions d'équations
polynomiales.}
\item \textsf{La réponses est non: une propriété fondamentale de $\mathbb{C}$
est qu'il est algébriquement clos. }
\end{itemize}
\begin{thm}[Théorème fondamental de l'algèbre]
\textsf{ Tout polynôme non constant (avec coeffcients complexes $a_{0},\ldots,a_{n}$)
\[
P\left(z\right)=\sum_{k=0}^{n}a_{k}z^{k}
\]
a au moins une racine, c'est-à-dire qu'il existe $z_{0}\in\mathbb{C}$
tel que $P\left(z_{0}\right)=0$.}
\end{thm}

\begin{proof}
\textsf{C'est un théorème qui est en fait assez facile à prouver:}
\begin{xca}
\textsf{Montrer que $\left|P\left(z\right)\right|\to\infty$ quand
$\left|z\right|\to\infty$, c'est-à-dire que pour tout $M\geq0$ il
existe $R\geq0$ tel que pour tout $z\in\mathbb{C}\setminus D\left(0,R\right)$
on a $\left|P\left(z\right)\right|\geq M$. }
\end{xca}

\textsf{}
%
\begin{xca}
\textsf{Montrer que $\left|P\left(z\right)\right|$ a un minimum sur
$\mathbb{C}$. }
\end{xca}

\textsf{}
%
\begin{xca}
\textsf{Si on suppose par l'absurde que $\min_{z\in\mathbb{C}}\left|P\left(z\right)\right|=\left|P\left(z_{0}\right)\right|>0$
montrer qu'on peut (par changement de variable) supposer que $z_{0}=0$
et que $P\left(z_{0}\right)=1$ et que donc $P\left(z\right)=1+z^{k}Q\left(z\right)$
pour un certain $k\geq1$ et un polynôme $Q$ avec $Q\left(0\right)\neq0$.}
\end{xca}

\textsf{}
%
\begin{xca}
\textsf{Montrer qu'alors il existe $z'$ tel que $\left|P\left(z'\right)\right|<1$
et en déduire le théorème. }
\end{xca}

\textsf{}
%
\end{proof}
\begin{xca}
\textsf{Montrer (en utilisant la division euclidienne) que tout polynôme
de degré $n$ peut s'écrire comme $P\left(z\right)=\alpha\prod_{k=1}^{n}\left(z-z_{k}\right)$
pour $\alpha,z_{1},\ldots,z_{k}\in\mathbb{C}$. }
\end{xca}


\section{\textsf{\protect\label{sec:complex-analytic-functions}Fonctions
analytiques complexes}}

\subsection{\textsf{Motivation}}
\begin{itemize}
\item \textsf{Ce qui fait la force de l'analyse, c'est la capacité d'aller
prendre des limites, et ainsi de construire des objets que l'on ne
saurait définir autrement. }
\item \textsf{La structure de corps nous permet de définir naturellement
des polynômes sur $\mathbb{C}$, avec des propriétés importantes suivantes. }
\item \textsf{Comme en analyse réelle, on peut naturellement étendre la
classe des polynômes en une classe très naturelle et utile en prenant
(naïvement) le degré vers l'infini: ce sont les fonctions analytiques
$\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}\left(z-z_{*}\right)^{k}$.}
\item \textsf{Des exemples classiques de fonctions analytiques, dont on
parlera beaucoup, sont donnés par les séries entières
\begin{align*}
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^{n}}{n!},\\
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{n}}{n}z^{n},\\
\sum_{n=0}^{\infty}z^{n},\\
\sum_{n=1}^{\infty}nz^{n}.
\end{align*}
}
\end{itemize}
\begin{xca}
\textsf{Trouver à quelles fonctions usuelles correspondent ces séries. }
\end{xca}

\textsf{Comme en analyse réelle, les questions de base sont celles
du rayon de convergence, de la nature de la convergence (ponctuelle,
uniforme), du produit de séries, de changer le `centre' $z_{*}$.}


\subsection{\textsf{Convergence}}
\begin{itemize}
\item \textsf{Soit $\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}\left(z-z_{*}\right)^{k}$ une
série entière formelle de terme général $\left(a_{k}\right)_{k\geq0}$
centrée en $z_{*}$, avec $z$ comme variable (avec les $a_{k}\in\mathbb{C}$
arbitraires, et $z_{*}\in\mathbb{C}$ fixé). En général, pour simplifier
la notation, on supposera que $z_{*}=0$.}
\end{itemize}
\begin{defn}
\textsf{On dit que la série entière converge en $z\in\mathbb{C}$
si la suite $\lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^{n}a_{k}\left(z-z_{*}\right)^{k}$
converge.}
\end{defn}

\textsf{}
%
\begin{defn}
\textsf{On dit qu'elle converge uniformément sur un ensemble $K$
si elle converge et qu'on a
\[
\|\sum_{k=0}^{n}a_{k}\left(z-z_{*}\right)^{k}-\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}\left(z-z_{*}\right)^{k}\|_{\infty,K}\underset{n\to\infty}{\longrightarrow}0,
\]
où $\|f\|_{\infty,K}=\sup_{z\in K}\left|f\left(z\right)\right|$. }
\end{defn}

\textsf{}
%
\begin{defn}
\textsf{Pour une suite de fonctions $f_{k}:U\to\mathbb{C}$ dit que
la série $\sum_{k=0}^{\infty}f_{k}$ converge normalement sur $A$
si pour tout $z\in A$, il existe un voisinage fermé $\bar{D}\left(z,\epsilon\right)\subset U$
pour $\epsilon>0$ sur lequel 
\[
\sum_{k=0}^{\infty}\|f_{k}\|_{\infty,\bar{D}\left(z,\epsilon\right)}<+\infty
\]
où 
\[
\|f\|_{\infty,\bar{D}\left(z,\epsilon\right)}=\sup_{\zeta\in\bar{D}\left(z,\epsilon\right)}|f\left(\zeta\right)|.
\]
}
\end{defn}

\begin{rem}
\textsf{Par Heine-Borel-Lebesgue, c'est équivalent à dire que pour
tout compact $K\subset U$, on a 
\[
\sum_{k=0}^{\infty}\|f_{k}\|_{\infty,K}<\infty.
\]
En effet, un compact $K$ est recouvert de tous les voisinages $D\left(z,\epsilon\right)$
fournis par la définition, dont on extrait un sous-recouvrement fini
\[
\left(D\left(z_{k},\epsilon_{k}\right)\right)_{k=1,\ldots,m}
\]
 et on a que 
\begin{align*}
\sum_{k=0}^{\infty}\|f_{k}\|_{\infty,K} & =\sum_{k=0}^{\infty}\max_{j=1,\ldots,m}\left(\|f_{k}\|_{\infty,\bar{D}\left(z_{j},\epsilon_{j}\right)}\right)\\
 & \leq\sum_{k=0}^{\infty}\sum_{j=1,\ldots,m}\|f_{k}\|_{\infty,\bar{D}\left(z_{j},\epsilon_{j}\right)}\\
 & =\sum_{j=1,\ldots,m}\sum_{k=0}^{\infty}\|f_{k}\|_{\infty,\bar{D}\left(z_{j},\epsilon_{j}\right)}\\
 & <\infty.
\end{align*}
 }
\end{rem}

\textsf{}
%
\begin{rem}
\textsf{La convergence normale implique la convergence uniforme sur
les compacts de la suite des sommes partielles. La notion de de convergence
normale est un peu plus forte, mais pour les séries entières sur un
ouvert, elle est essentiellement équivalente. }
\end{rem}


\subsection{Rayon de Convergence}
\begin{defn}
\textsf{On définit le rayon de convergence $\rho$ de 
\[
\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}\left(z-z_{*}\right)^{k}
\]
 comme 
\[
\sup\left\{ r\in[0,\infty):\sum_{k=0}^{\infty}\left|a_{k}\right|r^{k}<\infty\right\} \in\left[0,\infty\right]
\]
(cela ne dépend que des $a_{k}$, pas de $z_{*}$). Cette définition
est consistante avec la définition de rayon de convergence de série
réelle.}
\end{defn}

\begin{xca}
\textsf{Trouver des séries avec rayons de convergence $0,1,\infty$,
des points de convergence usuelle mais pas normale. }
\end{xca}

\begin{lem}
\textsf{\label{lem:normal-convergence-within-radius-of-convergence}Si
$\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}\left(z-z_{*}\right)^{k}$ est une série
entière de rayon de convergence $\rho>0$, on a qu'elle converge (normalement)
en tout $z\in D\left(z_{*},\rho\right)$, et diverge pour tout $z\in\mathbb{C}\setminus\bar{D}\left(z_{*},\rho\right)$. }
\end{lem}

\begin{rem}
\textsf{Comme d'habitude, ce qui se passe sur $\partial D\left(z_{*},\rho\right)$
est souvent subtil.}
\end{rem}

\begin{xca}
\textsf{Prouver le lemme \ref{lem:normal-convergence-within-radius-of-convergence}.}
\end{xca}

\textsf{}
%
\begin{xca}
\textsf{Prouver ce lemme d'Abel: si $\sup_{k\in\mathbb{N}}\left|a_{k}\right|\rho^{k}<\infty$
pour $\rho\in\left(0,\infty\right)$, alors on a que $\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}z^{k}$
converge normalement sur $D\left(0,\rho\right)$. }
\end{xca}

\textsf{}
%
\begin{xca}
\textsf{Trouver une série entière qui a rayon de convergence $1$
et qui converge sur $\partial D\left(0,1\right)$ sauf en cinq points,
où elle diverge. }
\end{xca}

\begin{lem}
\textsf{Comme en analyse réelle, on peut exprimer le rayon de convergence
d'une série entière avec les critères suivants:}
\begin{itemize}
\item \textsf{critère de d'Alembert: si $\lim_{k\to\infty}\left|\frac{a_{k+1}}{a_{k}}\right|$
existe alors $\rho$ est donné par $\rho^{-1}=\lim_{k\to\infty}\left|\frac{a_{k+1}}{a_{k}}\right|$) }
\item \textsf{critère de la racine: $\rho^{-1}=\limsup\sqrt[n]{\left|a_{n}\right|}$.}
\end{itemize}
\end{lem}

\begin{xca}
\textsf{Prouver ceci. }
\end{xca}

\textsf{}
%
\begin{xca}
\textsf{Soient $\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}z^{k}$ et $\sum_{k=0}^{\infty}b_{k}z^{k}$
deux séries entières avec rayon de convergence au moins $\rho>0$.
Comme en analyse réelle, on a les propriétés élémentaires:}
\begin{itemize}
\item \textsf{Montrer que la série entière $\sum_{k=0}^{\infty}\left(a_{k}+b_{k}\right)z^{k}$
a pour rayon de convergence au moins $\rho$.}
\item \textsf{Montrer que pour tout $z\in D\left(0,\rho\right)$, si on
note 
\begin{align*}
\left(a\star b\right)_{k} & =\sum_{j=0}^{k}a_{j}b_{k-j}\\
 & =\sum_{j=0}^{k}a_{k-j}b_{j}\\
 & =\sum_{j,l:j+l=k}a_{l}b_{j},
\end{align*}
on a que la série $\sum_{k=0}^{\infty}\left(a\star b\right)_{k}z^{k}$
a pour rayon de convergence au moins $\rho$ et que
\[
\sum_{k=0}^{\infty}\left(a\star b\right)_{k}z^{k}=\left(\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}z^{k}\right)\left(\sum_{k=0}^{\infty}b_{k}z^{k}\right).
\]
}
\end{itemize}
\end{xca}


\subsection{\textsf{\protect\label{subsec:analyticity-and-recentering}Analyticité
et Recentrage}}
\begin{lem}
\textsf{Si une série entière $f\left(z\right)$ donnée par $\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}z^{k}$
a rayon de convergence $\rho>0$, alors on a que les séries entières
\textquotedbl dérivées\textquotedbl{} $f',f'',\ldots,f^{\left(n\right)},\ldots$
obtenues en dérivant terme à terme, données par 
\begin{align*}
f'\left(z\right) & =\sum_{k=1}^{\infty}ka_{k}z^{k-1},\\
f''\left(z\right) & =\sum_{k=2}^{\infty}k\left(k-1\right)a_{k}z^{k+2}\\
 & \vdots\\
f^{\left(n\right)}\left(z\right) & =\sum_{k=n}^{\infty}\frac{k!}{\left(k-n\right)^{!}}a_{n}z^{k-n}
\end{align*}
ont pour rayon de convergence $\rho$ également:}
\end{lem}

\begin{xca}
\textsf{Exercice: montrer ceci (en utilisant le lemme d'Abel vu plus
haut). }
\end{xca}

\begin{rem}
\textsf{On n'a pas encore parlé de dérivées complexes, pour le moment,
on regarde ces séries formellement et on n'a pas encore dit par exemple
que $f'\left(z\right)=\lim_{h\to0}\frac{f\left(z+h\right)-f\left(z\right)}{h}$
(mais ce sont bien sûr des dérivées dans un sens très naturel: ce
sera expliqué plus loin).}
\end{rem}

\textsf{A priori, le fait qu'une fonction $f:U\to\mathbb{C}$ puisse
être exprimable en série entière $\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}\left(z-z_{*}\right)^{k}$
semble dépendre du point $z_{*}$. En fait, il n'en est rien: si une
fonction peut être exprimée en série entière autour de $z_{*}$ avec
un rayon de convergence $\rho$, alors on peut l'exprimer comme une
série entière autour de n'importe quel point $z'\in D\left(z_{*},\rho\right)$
(avec des coefficients et un rayon de convergence qui dépendront a
priori de $z'$).}
\begin{prop}[\textquotedbl Recentrage\textquotedbl]
\textsf{Si $f\left(z\right)=\sum a_{k}z^{k}$ est définie par une
série entière avec rayon de convergence $\rho$, alors pour tout $z_{*}\in D\left(0,r\right)$
on a que la série \textquotedbl recentrée\textquotedbl
\begin{equation}
\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}f^{\left(k\right)}\left(z_{*}\right)\left(z-z_{*}\right)^{k}\label{eq:recentered-power-series-expansion}
\end{equation}
où $f^{\left(k\right)}$ est la \textquotedbl série dérivée\textquotedbl{}
définie ci-desssus, a un rayon de convergence au moins égal à $\rho_{*}=\rho-r_{*}$
où $r_{*}=\left|z_{*}\right|$ et pour tout $z\in D\left(z_{*},\rho_{*}\right)$
on a 
\[
\sum\tilde{a}_{k}\left(z-z_{*}\right)^{k}=f\left(z\right).
\]
}
\end{prop}

\begin{proof}
\textsf{Preuve de la Proposition de \textquotedbl recentrage\textquotedbl :}
\begin{itemize}
\item \textsf{Faisons d'abord le petit calcul suivant, qui repose simplement
sur la formule du binôme et un échange de sommes (on note $\mathbf{1}_{\mathrm{condition}}$
pour désigner le nombre $1$ si la condition est vraie et $0$ si
la condition est fausse)
\begin{align*}
 & \sum_{k=0}^{\infty}a_{k}z^{k}\\
= & \sum_{k=0}^{\infty}a_{k}\left(\left(z-z_{*}\right)+z_{*}\right)^{k}\\
= & \sum_{k=0}^{\infty}a_{k}\left(\sum_{n=0}^{k}\frac{k!}{n!\left(k-n\right)!}\left(z-z_{*}\right)^{n}z_{*}^{k-n}\right)\\
= & \sum_{k=0}^{\infty}\sum_{n=0}^{\infty}a_{k}\frac{k!}{n!\left(k-n\right)!}\left(z-z_{*}\right)^{n}z_{*}^{k-n}\mathbf{1}_{n\leq k}\\
\overset{\left(*\right)}{=} & \sum_{n=0}^{\infty}\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}\frac{k!}{n!\left(k-n\right)!}\left(z-z_{*}\right)^{n}z_{*}^{k-n}\mathbf{1}_{n\leq k}\\
= & \sum_{n=0}^{\infty}\sum_{k=n}^{\infty}a_{k}\frac{k!}{n!\left(k-n\right)!}\left(z-z_{*}\right)^{n}z_{*}^{k-n}\\
= & \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\left(\sum_{k=n}^{\infty}a_{k}\frac{k!}{\left(k-n\right)!}z_{*}^{k-n}\right)\left(z-z_{*}\right)^{n}\\
= & \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}f^{\left(n\right)}\left(z_{*}\right)\left(z-z_{*}\right)^{n}.
\end{align*}
}
\item \textsf{La seule étape qui demande justification est $\left(*\right)$,
que l'on doit montrer pour tout $z\in D\left(z_{*},\rho_{*}\right)$.
Pour cela, il nous faut pouvoir dire que pour tout $r<\rho_{*}$,
on a 
\begin{equation}
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\left|f^{\left(n\right)}\left(z_{*}\right)\right|r^{n}<\infty,\label{eq:estimate-rerooting}
\end{equation}
ce qui permettra de remonter depuis le bas, en utilisant le théorème
qui nous permet d'interchanger l'ordre de sommation si on a convergence
absolue. }
\item \textsf{Montrons (\ref{eq:estimate-rerooting}): c'est un peu la même
chose, qu'en haut, à ceci près que l'on s'intéresse juste à majorer
les modules des termes, ce qui permet d'échanger les sommes (car tous
les termes sont positifs):
\begin{align*}
 & \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\left|f^{\left(n\right)}\left(z_{*}\right)\right|r^{n}\\
 & \leq\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\sum_{k=n}^{\infty}\left(\frac{k!}{\left(k-n\right)!}\left|a_{k}\right|\left|z_{*}\right|^{k-n}\right)r^{n}\\
 & =\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{k=n}^{\infty}\left(\frac{1}{n!}\frac{k!}{\left(k-n\right)!}\left|a_{k}\right|\left|z_{*}\right|^{k-n}r^{n}\right)\\
 & =\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{1}{n!}\frac{k!}{\left(k-n\right)!}\left|a_{k}\right|\left|z_{*}\right|^{k-n}r^{n}\right)\mathbf{1}_{k\geq n}\\
 & =\sum_{k=0}^{\infty}\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1}{n!}\frac{k!}{\left(k-n\right)!}\left|a_{k}\right|\left|z_{*}\right|^{k-n}r^{n}\right)\mathbf{1}_{k\geq n}\\
 & =\sum_{k=0}^{\infty}\sum_{n=0}^{k}\left(\frac{1}{n!}\frac{k!}{\left(k-n\right)!}\left|a_{k}\right|\left|z_{*}\right|^{k-n}r^{n}\right)\\
 & =\sum_{k=0}^{\infty}\left|a_{k}\right|\left(\left|z_{*}\right|+r\right)^{k}\\
 & <+\infty.
\end{align*}
 }
\end{itemize}
\end{proof}
\begin{xca}
\textsf{Montrez que pour $\sum_{n=0}^{\infty}z^{n}$ et $z_{*}>0$,
l'étape $\left(*\right)$ ci-dessus n'est pas valide au-delà de $\rho_{*}$. }
\end{xca}


\subsection{\textsf{Zéros isolés et prolongement analytique}}

\textsf{Une propriété importante des fonctions analytiques (qui les
distingue profondément des fonctions $\mathcal{C}^{\infty}$) est
celle des zéros isolés: pour un domaine $U$, il est impossible pour
une fonction analytique $f:U\to\mathbb{C}$ non nulle d'avoir une
accumulation de zéros au voisinage d'un point $z_{*}\in U$.}
\begin{xca}
\textsf{Trouver une fonction $f:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}$ qui
est $\mathcal{C}^{\infty}$ et non nulle et qui s'annule sur $\left\{ \left(x,y\right)\in\mathbb{R}^{2}:x^{2}+y^{2}\leq1\right\} $. }
\end{xca}

\begin{prop}
\textsf{Pour une série entière $f\left(z\right)=\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}z^{k}$
qui a au moins un coefficient non nul et a comme rayon de convergence
$\rho>0$, il existe un rayon $r$ tel que $f\left(z\right)$ ne s'annule
pas $D\left(0,r\right)\setminus\left\{ 0\right\} $.}
\end{prop}

\begin{proof}
\textsf{La preuve fonctionne comme dans le cas réel:}
\begin{itemize}
\item \textsf{Prenons le premier coefficient non nul, appelons-le $a_{p}$:
on peut écrire $f\left(z\right)=z^{p}g\left(z\right)$ avec $g\left(z\right)=\sum_{k=0}^{\infty}a_{k+p}z^{k}$,
où $g\left(0\right)\neq0$ par hypothèse.}
\item \textsf{Par continuité ($g$ est analytique, donc sa série converge
uniformément au voisinage de $0$), il existe un $r$ tel que $g\left(z\right)\neq0$
sur $D\left(0,r\right)$, et donc $z\mapsto z^{p}g\left(z\right)$
ne s'annule pas non plus sur $D\left(0,r\right)\setminus\left\{ 0\right\} $.}
\end{itemize}
\end{proof}
\textsf{Cela implique le corollaire suivant: }
\begin{cor}
\textsf{Pour une fonction analytique (donnée par une série entière)
$f:U\to\mathbb{C}$ (où $U$ est un domaine: ouvert connexe), et un
point $z_{*}\in U$, on a un unique développement en série entière
au voisinage de $z_{*}$. }
\end{cor}

\begin{proof}
\textsf{C'est une preuve classique d'unicité par linéarité: si on
a deux développements $\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}z^{k}$ et $\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}'z^{k}$
en séries entières autour d'un point de $U$ (on peut supposer que
$z_{*}$ est $0$, par changement de variable), on a que $\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}z^{k}-\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}'z^{k}$
ne peut pas s'annuler sur un voisinage (épointé) $D\left(0,r\right)\setminus\left\{ 0\right\} $,
à moins que $a_{k}=a_{k}'$ pour tout $k$. }
\end{proof}
\textsf{Une autre conséquence très utile et puissante est le principe
du prolongement analytique: }
\begin{cor}
\textsf{Pour un domaine $U$, si $f,g:U\to\mathbb{R}$ sont deux fonctions
analytiques qui coincident sur un ensemble $\Sigma\subset U$ qui
a un point d'accumulation dans $U$, alors $f=g$. }
\end{cor}

\begin{proof}
\textsf{Soit $z_{*}\in U$ le point d'accumulation de $\Sigma$, comme
$f-g$ est une fonction analytique on a 
\[
\left(f-g\right)\left(z\right)=\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}\left(z-z_{*}\right)^{k}.
\]
Par le principe de zéros isolés, si un des $a_{k}$ est non-nul, on
a qu'il existe $r>0$ tel que $\Sigma\cap\left(D\left(z_{*},r\right)\setminus\left\{ 0\right\} \right)$
est vide ce qui contredit la définition de $z_{*}$ comme point d'accumulation,
et on a donc une  contradiction. Donc on a que tous les $a_{k}$ sont
nuls et $f-g$ s'annule sur un voisinage de $z_{*}$. }

\textsf{Pour conclure, il nous faut utiliser la connexité (par chemins)
de $U$ (ce qu'on va faire s'appelle précisément une preuve par connexité).
Montrons que pour tout $z'$ dans $U$ on a $\left(f-g\right)\left(z'\right)=0$.
Si on suit un chemin $\gamma:\left[0,1\right]\to U$ avec $\gamma\left(0\right)=z_{*}$
et $\gamma\left(1\right)=z'$, on a que 
\[
\left(f-g\right)\circ\gamma:\left[0,1\right]\to\mathbb{C}
\]
s'annule sur un voisinage de $0$; si on prend 
\[
\lambda=\sup\left\{ t\in\left[0,1\right]:\left(f-g\right)\circ\gamma\left(\left[0,t\right]\right)=\left\{ 0\right\} \right\} 
\]
on a que $\lambda>0$, $\left(f-g\right)\circ\gamma\left(\lambda\right)$
et en même temps, si $\lambda<1$, on pourrait développer $\left(f-g\right)$
en série autour de $\gamma\left(\lambda\right)$, utiliser qu'elle
s'annule sur une collection avec point d'accumulation en $\gamma\left(\lambda\right)$,
ré-appliquer la première partie de notre preuve et avoir que ce nouveau
développement en série serait nul. Mais alors on aurait que $\left(f-g\right)\circ\gamma$
s'annule aussi sur $\left[\lambda-\epsilon,\lambda+\epsilon\right]$
pour un $\epsilon>0$; ainsi il est impossible que $\lambda<1$, donc
$\lambda=1$ et donc $\left(f-g\right)\left(z'\right)=0$. }
\end{proof}
\begin{xca}
\textsf{En supposant que $\sin\left(\frac{1}{x}\right)$ est analytique
sur $\mathbb{C}^{*}$ (ce qui sera montré plus bas), voir qu'elle
s'annule sur l'ensemble $\left\{ \frac{1}{n\pi}:n\in\mathbb{Z}^{*}\right\} $
qui a un point d'accumulation en $0$, et expliquer pourquoi le théorème
ne s'applique pas. }
\end{xca}


\subsection{Résumé}

Notre étude des séries entières nous a amené à la définition suivante: 
\begin{defn}
Pour un ouvert $U$, une fonction $f:U\to\mathbb{C}$ est dite analytique
si elle admet un développement en série au voisinage de n'importe
quel point $z\in U$. 
\end{defn}

\begin{xca}
Montrez que si une série entière converge, elle définit une fonction
analytique. 
\end{xca}


\section{\textsf{\protect\label{sec:exp-and-log}Exponentielle et Logarithme}}

\textsf{Les fonctions analytiques les plus importantes sont probablement
l'exponentielle et le logarithme, cette section leur est dédiée. }

\subsection{\textsf{Exponentielle}}
\begin{defn}
\textsf{La fonction exponentielle est une fonction analytique $\mathbb{C}\to\mathbb{C}$
définie par la série
\[
\exp\left(z\right)=e^{z}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{z^{k}}{k!},
\]
qui a un rayon de convergence $+\infty$.}
\end{defn}

\begin{rem}
\textsf{La propriété fondamentale de l'exponentielle est l'identité
\begin{align*}
e^{z+w} & =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\left(z+w\right)^{k}}{k!}\\
 & =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}\sum_{j=0}^{k}\frac{k!}{j!\left(k-j\right)!}z^{j}w^{k-j}\\
 & =\sum_{k=0}^{\infty}\sum_{j=0}^{\infty}\frac{1}{j!\left(k-j\right)!}z^{j}w^{k-j}\mathbf{1}_{j\leq k}\\
 & =\sum_{j=0}^{\infty}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{j!\left(k-j\right)!}z^{j}w^{k-j}\mathbf{1}_{j\leq k}\\
 & =\sum_{j=0}^{\infty}\frac{z^{j}}{j!}\left(\sum_{k=j}^{\infty}\frac{w^{k-j}}{\left(k-j\right)!}\right)\\
 & =\left(\sum_{j=0}^{\infty}\frac{z^{j}}{j!}\right)\left(\sum_{k=0}^{\infty}\frac{w^{k}}{k!}\right)\\
 & =e^{z}e^{w}.
\end{align*}
 }
\end{rem}

\textsf{}
%
\begin{rem}
\textsf{On obtient facilement à partir de là que $1/e^{z}=e^{-z}$.}
\end{rem}

\textsf{}
%
\begin{rem}
\textsf{On a que $\exp$ est strictement positive, strictement croissante
sur $\mathbb{R}$ qui tend vers $+\infty$ en $+\infty$ et $0$ en
$-\infty$, et c'est donc une bijection $\mathbb{R}\to\mathbb{R}_{+}^{*}$:
c'est évident sur $\mathbb{R}_{+}$ (tous les coefficients de la série
entière sont strictement positifs), et sur $\mathbb{R}_{-}$ cela
se voit grâce à $e^{-x}=1/e^{x}$.}
\end{rem}

\textsf{}
%
\begin{rem}
\textsf{A partir du développement en série, on obtient que pour tout
$y\in\mathbb{R}$ $\overline{e^{iy}}=e^{-iy}$ et on en déduit que
\[
\left|e^{iy}\right|=\sqrt{e^{iy}\overline{e^{iy}}}=\sqrt{e^{iy}e^{-iy}}=1,
\]
et on voit donc que $\exp$ envoie $i\mathbb{R}$ vers le cercle unité
$\mathbb{S}^{1}=\left\{ z\in\mathbb{C}:\left|z\right|=1\right\} $
(on le note ainsi car le cercle est aussi la sphère de dimension $1$). }
\end{rem}


\subsection{\textsf{Fonctions trigonométriques}}
\begin{defn}
\textsf{On définit les fonctions trigonométriques $\cos$ et $\sin$
et hyperboliques $\cosh$ et $\sinh$ sur $\mathbb{R}$ par
\begin{align*}
\cos t & =\Re\mathfrak{e}\left(e^{it}\right)=\frac{1}{2}\left(e^{it}+e^{-it}\right)\\
 & =\cosh\left(it\right)=1-\frac{t^{2}}{2}+\frac{t^{4}}{24}-\cdots\\
 & =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{k}}{\left(2k\right)!}t^{2k},\\
\\\\\\\sin t & =\Im\mathfrak{m}\left(e^{it}\right)=\frac{1}{2i}\left(e^{it}-e^{-it}\right)\\
 & =\sinh\left(it\right)=t-\frac{t^{3}}{6}+\frac{t^{5}}{120}-\cdots\\
 & =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{k}}{\left(2k+1\right)!}t^{2k+1}.\\
\\\\
\end{align*}
}
\end{defn}

\textsf{}
%
\begin{defn}
\textsf{On définit $\cos,\sin,\cosh,\sinh$ sur $\mathbb{C}$ par
z
\begin{align*}
\cos z & =\frac{1}{2}\left(e^{iz}+e^{-iz}\right)\\
 & =\cosh\left(iz\right)\\
 & =1-\frac{z^{2}}{2}+\frac{z^{4}}{24}-\cdots\\
 & =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{k}}{\left(2k\right)!}z^{2k},\\
\sin z & =\frac{1}{2i}\left(e^{iz}-e^{-iz}\right)\\
 & =\sinh\left(iz\right)\\
 & =z-\frac{z^{3}}{6}+\frac{z^{5}}{120}-\cdots\\
 & =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\left(-1\right)^{k}}{\left(2k+1\right)!}z^{2k+1}.
\end{align*}
}
\end{defn}

\begin{rem}
\textsf{On voit facilement les relations 
\[
\sin^{2}z+\cos^{2}z=\cosh^{2}z-\sinh^{2}z=1,
\]
et (pour le moment sur $\mathbb{R}$) $\sin't=\cos t$, $\cos't=-\sin t$,
$\sinh't=\cosh t$, $\cosh't=\sinh t$ (ces propriétés seront vraies
sur $\mathbb{C}$, mais on n'a pas encore parlé de dérivées complexes). }
\end{rem}

\textsf{}
%
\begin{rem}
\textsf{On peut voir sur le développement en série que $\cos2<-\frac{1}{3}$
et comme $\cos0=1$, on en déduit par continuité que l'équation $\cos t=0$
a au moins une solution dans $\left[0,2\right]$ (note: on peut aussi
raisonner par l'absurde: si $\cos$ ne s'annule pas, alors la fonction
$\sin$ reste grande et donc la dérivée de $\cos$ reste uniformément
négative, donc $\cos$ s'annule). }
\end{rem}

\textsf{}
%
\begin{rem}
\textsf{Soit $t_{0}\in\left[0,2\right]$ le premier zéro positif de
$\cos$. On définit $\pi=2t_{0}$, de sorte que $t_{0}=\frac{\pi}{2}$.
Comme $\cos^{2}\left(\frac{\pi}{2}\right)+\sin^{2}\left(\frac{\pi}{2}\right)=1$,
on obtient que $\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)=\pm1$ et comme $\sin'\left(t\right)=\cos\left(t\right)\geq0$
sur $\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$ on déduit que $\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)\geq0$
et donc $\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)=1$. }
\end{rem}

\textsf{}
%
\begin{rem}
\textsf{Comme $e^{it}=\cos t+i\sin t$, on a $e^{i\frac{\pi}{2}}=i$,
et il suit que $e^{\pi i}=i^{2}=-1$ et $e^{2\pi i}=1$; il suit ainsi
que $e^{i\left(t+2\pi\right)}=e^{it}$ (la fonction exponentielle
est périodique de période $2\pi i$), et ainsi on obtient que $\cos$
et $\sin$ sont périodiques de période $2\pi$. }
\end{rem}

\textsf{}
%
\begin{rem}
\textsf{Maintenant si $\left|e^{z}\right|=e^{\Re\mathfrak{e}\left(z\right)}=1$,
on a que $\Re\mathfrak{e}\left(z\right)=0$ ($\exp$ est bijective
sur $\mathbb{R}\to\mathbb{R}_{+}^{*}$) donc $z\in i\mathbb{R}$ et
la seule direction de période est la direction imaginaire.}
\end{rem}

\textsf{}
%
\begin{lem}
\textsf{Montrons maintenant que $2\pi i$ est la période minimale: }
\end{lem}

\begin{proof}
\textsf{Il faut montrer que $e^{iy}=1$ n'a pas de solution sur $\left(0,2\pi\right)$:}
\begin{itemize}
\item \textsf{Si $0<y<2\pi$, on a $e^{iy/4}=u+iv$ avec $u,v>0$; on voit
ainsi que 
\begin{align*}
e^{iy} & =\left(e^{iy/4}\right)^{4}=\left(u+iv\right)^{4}\\
 & =u^{4}-6u^{2}v^{2}+v^{4}+4iuv\left(u^{2}-v^{2}\right)=1
\end{align*}
n'a pas de solution dans $\left(0,2\pi\right)$.}
\item \textsf{On doit avoir $u^{2}=v^{2}$ et comme $u^{2}+v^{2}=1$ et
$u,v>0$, on obtient $u^{2}=v^{2}=1/2$.}
\item \textsf{Mais alors 
\[
e^{iy}=u^{4}-6u^{2}v^{2}+v^{4}=-1,
\]
ce qui est une contradiction. }
\end{itemize}
\end{proof}
\begin{rem}
\textsf{On voit maintenant que $y\mapsto e^{iy}$ est surjective de
$\mathbb{R}$ vers $\mathbb{S}^{1}$: }
\end{rem}

\begin{itemize}
\item \textsf{D'abord, par continuité (valeurs intermédiaires) elle est
bijective de $\left[0,\frac{\pi}{2}\right]\to\mathbb{S}_{++}^{1}$,
où $\mathbb{S}_{++}^{1}=\left[x+iy\in\mathbb{S}^{1}:x,y\geq0\right]$
est le premier cadran.}
\item \textsf{Ensuite, par $e^{i\left(\frac{\pi}{2}+t\right)}=ie^{it}$
on obtient qu'elle est bijective de $\left[\frac{\pi}{2},\pi\right]\to i\mathbb{S}_{++}^{1}$,
et ainsi de suite de sorte qu'elle surjective de $\left[0,2\pi\right]$
vers $\mathbb{S}^{1}$. }
\end{itemize}
\textsf{}
%
\begin{rem}
\textsf{Cela nous donne finalement que $z\mapsto e^{z}$ est surjective
de $\mathbb{C}$ vers $\mathbb{C}^{*}$: }
\begin{itemize}
\item \textsf{Pour tout nombre complexe $w\in\mathbb{C}^{*}$, on a $\frac{w}{\left|w\right|}\in\mathbb{S}^{1}$
et donc par surjectivité sur $\mathbb{S}^{1}$, il existe $\theta\in\mathbb{R}$
tel que $\frac{w}{\left|w\right|}=e^{i\theta}$ et ainsi $w=\left|w\right|e^{i\theta}=e^{\log\left|w\right|+i\theta}$. }
\item \textsf{Plus précisément, pour toute paire $\theta,\theta'$ telle
que $w=\left|w\right|e^{i\theta}=\left|w\right|e^{i\theta'}$, on
a $e^{i\left(\theta-\theta'\right)}\in\mathbb{S}^{1}$ et donc $\theta-\theta'\in2\pi\mathbb{Z}$. }
\end{itemize}
\end{rem}


\subsection{\textsf{Logarithme complexe}}
\begin{itemize}
\item \textsf{La surjectivité de l'exponentielle $\mathbb{C}\to\mathbb{C}^{*}$
nous offre la possibilité de l'inverser, du moins si on restreint
suffisamment l'ensemble de départ pour obtenir quelque chose de bijectif.}
\item \textsf{Pour un nombre $w$, les nombres complexes $z$ tels que $e^{z}=w$
sont de la forme $\log\left|w\right|+i\arg\left(z\right)$, où $\arg\left(z\right)$
est défini à $2\pi$ près (par exemple: $\arg\left(-1\right)$ peut
être choisi comme étant $\pi$ ou $-\pi$ ou encore $\pm3\pi$, $\pm5\pi$,
etc.). }
\item \textsf{Un peu paradoxalement, le fait qu'on ait \textquotedbl le
choix\textquotedbl{} de la détermination de l'argument rend l'inversion
beaucoup plus difficile: une fonction ne peut pas prendre plusieurs
valeurs à la fois.}
\item \textsf{Cela peut sembler assez anodin ici, mais c'est en fait la
source de beaucoup de subtilités de l'analyse complexe. }
\item \textsf{Pour $U\subset\mathbb{C}^{*}$, on dit que $f:U\to\mathbb{C}$
est une détermination du logarithme complexe si $e^{f\left(z\right)}=z$
pour tout $z\in U$, on dit que $a:U\to\mathbb{R}$ est une détermination
de l'argument si $z=\left|z\right|e^{ia\left(z\right)}$ sur $z\in U$. }
\item \textsf{Une première subtilité est le théorème suivant:}
\end{itemize}
\begin{thm}
\textsf{Il n'existe pas de détermination continue du logarithme complexe
(et de l'argument) sur $\mathbb{C}^{*}$.}
\end{thm}

\begin{proof}
\textsf{Le problème vient du fait que $\mathbb{C}^{*}$ entoure l'origine:
montrons qu'il n'existe en fait pas de détermination continue sur
$\mathbb{S}^{1}=\left\{ z\in\mathbb{C}:\left|z\right|=1\right\} $. }
\begin{itemize}
\item \textsf{Supposons qu'il existe une détermination continue du logarithme
$f:\mathbb{S}^{1}\to\mathbb{C}$, et obtenons une contradiction (qui
viendra bien sûr des problèmes avec la partie imaginaire de $f$). }
\item \textsf{Posons $u:\mathbb{R}\to\mathbb{C}$ définie par $u\left(\theta\right)=f\left(e^{i\theta}\right)$;
on a bien sûr $u\left(\theta\right)-i\theta=2\pi in\left(\theta\right)$
où $n\left(\theta\right)$ est un entier (car $e^{u\left(\theta\right)-i\theta}=e^{i\theta}e^{-i\theta}=1$).
Comme $u$ doit être continue, $n\left(\theta\right)$ doit être constante,
i.e. $n\left(\theta\right)\equiv n$. }
\item \textsf{Mais cela amène à une contradiction car par périodicité 
\[
u\left(\theta+2\pi\right)=\theta+2\pi+n=u\left(\theta\right)=\theta+n
\]
donc $\theta+2\pi+n$, ce qui donne $2\pi=0$, donc $u$ n'existe
pas donc $f$ n'existe pas. }
\end{itemize}
\end{proof}
\begin{defn}
\textsf{Comme dit avant, la détermination habituelle du logarithme
$\mathrm{Log}$ est appelée détermination principale et elle est définie
sur $\mathbb{C}\setminus\mathbb{R}_{-}$, avec $\Im\mathfrak{m}\left(\mathrm{Log}\left(z\right)\right)\in\left(-\pi,\pi\right)$.}
\end{defn}

\begin{example}
\textsf{C'est la détermination principale qu'on utilise par exemple
pour définir (par convention) $a^{b}$ par 
\[
a^{b}=\exp\left(b\mathrm{Log}\left(a\right)\right)
\]
pour $a,b\in\mathbb{C}$ avec $a\in\mathbb{C}\setminus\mathbb{R}_{-}$:
par exemple $i^{i}=e^{i\cdot i\frac{\pi}{2}}=e^{-\pi/2}$. }
\end{example}


\section{\textsf{\protect\label{sec:holomorphic-functions}Fonctions holomorphes}}

\subsection{\textsf{Motivation}}
\begin{itemize}
\item \textsf{Depuis qu'on a introduit les fonctions analytiques, il semble
naturel que l'on puisse les dériver comme fonction d'une variable
complexe: en tout cas, une dérivation terme à terme fonctionne.}
\item \textsf{Une autre possibilité pour regarder les dérivées serait d'utiliser
l'identification $\mathbb{C}\simeq\mathbb{R}^{2}$ et de voir une
fonction $f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}$ comme une fonction $f:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2}$
et de regarder la dérivée comme une matrice réelle $2\times2$. }
\item \textsf{On va voir que d'être dérivable au sens complexe est (beaucoup)~plus
fort que d'être dérivable (différentiable) au sens de $\mathbb{R}^{2}$;
c'est le sujet de l'analyse complexe (la dérivabilité sur $\mathbb{R}^{2}$
est un sujet d'analyse vectorielle). }
\end{itemize}


\subsection{\textsf{Définition et Cauchy-Riemann}}
\begin{itemize}
\item \textsf{Soit $U\subset\mathbb{C}$ un ouvert et soit $f:U\to\mathbb{C}$
une fonction. }
\end{itemize}
\begin{defn}
\textsf{On dit que $f$ est holomorphe en $z\in U$ s'il existe une
limite $f'\left(z\right)$ à la quantité 
\[
\lim_{h\underset{\neq}{\longrightarrow}0}\frac{f\left(z+h\right)-f\left(z\right)}{h}
\]
 prise au sens complexe: pour tout $\epsilon>0$, il existe $\delta>0$
tel que pour tout $h\in D\left(0,\delta\right)\setminus\left\{ 0\right\} $
on a 
\[
\left|\frac{f\left(z+h\right)-f\left(z\right)}{h}-f'\left(z\right)\right|\leq\epsilon.
\]
 }
\end{defn}

\begin{rem}
\textsf{Une manière plus intuitive  d'écrire cela est de multiplier
par $h$:
\begin{equation}
f\left(z+h\right)=f\left(z\right)+f'\left(z\right)h+o\left(h\right),\label{eq:holomorphic-taylor-expansion}
\end{equation}
où $\text{\ensuremath{\left|\frac{o\left(h\right)}{h}\right|} \ensuremath{\underset{h\underset{\neq}{\longrightarrow}0}{\longrightarrow}0} }$,
où $f'\left(z\right)h$ est une multiplication de nombres complexes
(c'est le point important). }
\end{rem}

\textsf{}
%
\begin{rem}
\textsf{Ce qu'on voit dans l'expression \ref{eq:holomorphic-taylor-expansion}
est que le comportement de $f$ autour de $z$ (en $z+h$) est donné
par une transformation euclidienne de la forme $h\mapsto ah+b$, où
$a=f'\left(z\right),b=f\left(z\right)$; en d'autres termes, $f$
correspond géométriquement, au premier ordre, à la composition d'une
homothétie, d'une rotation et d'une translation; encore en d'autres
termes, si $f'\neq0$, on peut voir que $f$ préserve les angles (infinitésimalement)
autour de $z$.}

\textsf{Si on prend l'identification $\mathbb{C}\simeq\mathbb{R}^{2}$
on qu'on regarde une fonction $f$ comme une fonction $\tilde{U}\subset\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2}$,
avec composantes $\left(f_{1},f_{2}\right)$ données
\begin{align*}
f_{1}\left(x_{1},x_{2}\right) & =\Re\mathfrak{e}\left(f\left(x_{1}+ix_{2}\right)\right)\\
f_{2}\left(x_{1},x_{2}\right) & =\Im\mathfrak{m}\left(f\left(x_{1}+ix_{2}\right)\right),
\end{align*}
on peut voir l'holomorphie en $z=x_{1}+ix_{2}$ comme la différentiabilité
de $\left(f_{1},f_{2}\right)$ en $\left(x_{1},x_{2}\right)$ avec
une contrainte sur la jacobienne:}
\end{rem}

\begin{prop}[Cauchy-Riemann]
\textsf{ La fonction $f$ est holomorphe en $z=x+iy$ si et seulement
si $\left(f_{1},f_{2}\right)$ est différentiable en $\left(x,y\right)$
et si les dérivées partielles de $\left(f_{1},f_{2}\right)$ satisfont
les équations de Cauchy-Riemann:
\begin{align*}
\partial_{1}f_{1}\left(x_{1},x_{2}\right) & =\partial_{2}f_{2}\left(x_{1},x_{2}\right)\\
\partial_{1}f_{2}\left(x_{1},x_{2}\right) & =-\partial_{2}f_{1}\left(x_{1},x_{2}\right).
\end{align*}
}
\end{prop}

\begin{proof}
\textsf{C'est une simple ré-écriture de la $\mathbb{C}$-linéarité
de la dérivée. }
\begin{itemize}
\item \textsf{On voit en effet qu'être holomorphe en $z=x_{1}+ix_{2}$ équivaut
à avoir une expansion de Taylor
\begin{align*}
 & \begin{pmatrix}f_{1}\left(x_{1}+h_{1},x_{2}+h_{2}\right)\\
f_{2}\left(x_{1}+h_{1},x_{2}+h_{2}\right)
\end{pmatrix}\\
= & \begin{pmatrix}f_{1}\left(x_{1},x_{2}\right)\\
f_{2}\left(x_{1},x_{2}\right)
\end{pmatrix}\\
 & +\begin{pmatrix}\partial_{1}f_{1}\left(x_{1},x_{2}\right) & \partial_{2}f_{1}\left(x_{1},x_{2}\right)\\
\partial_{1}f_{2}\left(x_{1},x_{2}\right) & \partial_{2}f_{2}\left(x_{1},x_{2}\right)
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}h_{1}\\
h_{2}
\end{pmatrix}\\
 & +o\begin{pmatrix}h_{1}\\
h_{2}
\end{pmatrix},
\end{align*}
où la matrice $2\times2$ doit correspondre à la multiplication par
$f'\left(z\right)$, c'est-à-dire géométriquement à la composition
d'une homothétie de facteur $r=\left|f'\left(z\right)\right|$ et
d'une rotation d'angle $\theta=\arg f'\left(z\right)$, ce qui s'écrit
matriciellement comme
\[
\begin{pmatrix}\partial_{1}f_{1}\left(x_{1},x_{2}\right) & \partial_{2}f_{1}\left(x_{1},x_{2}\right)\\
\partial_{1}f_{2}\left(x_{1},x_{2}\right) & \partial_{2}f_{2}\left(x_{1},x_{2}\right)
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}r\cos\theta & -r\sin\theta\\
r\sin\theta & r\cos\theta
\end{pmatrix}.
\]
}
\item \textsf{Ceci est équivalent à dire que la jacobienne doit avoir la
forme $\begin{pmatrix}a & -b\\
b & a
\end{pmatrix}$, ce qui donne naturellement les équations de Cauchy-Riemann: 
\begin{align*}
\partial_{1}f_{1}\left(x_{1},x_{2}\right) & =\partial_{2}f_{2}\left(x_{1},x_{2}\right)\\
\partial_{1}f_{2}\left(x_{1},x_{2}\right) & =-\partial_{2}f_{1}\left(x_{1},x_{2}\right).
\end{align*}
}
\end{itemize}
\end{proof}
\begin{rem}
\textsf{On peut aussi voir $f$ ci-dessus comme une fonction $f:\tilde{U}\to\mathbb{C}$
(l'ensemble de départ $\tilde{U}$ est identifié à $\mathbb{R}^{2}$,
mais pas l'ensemble d'arrivée), et définir les opérateurs différentiels
de Wirtinger
\begin{align*}
\partial f\left(z\right) & =\frac{1}{2}\left(\partial_{1}f-i\partial_{2}f\right)\left(z\right)\\
\bar{\partial}f\left(z\right) & =\frac{1}{2}\left(\partial_{1}f+i\partial_{2}f\right)\left(z\right).
\end{align*}
}
\end{rem}

\begin{xca}
\textsf{Soit $f:\tilde{U}\to\mathbb{C}$ une fonction $\mathcal{C}^{1}$.
Montrer que $f$ est holomorphe si et seulement si $\bar{\partial}f\left(z\right)=0$
pour tout $z\in\tilde{U}$ et que dans ce cas $f'\left(z\right)=\partial f\left(z\right)$. }
\end{xca}

\begin{defn}
\textsf{On dit qu'une fonction $f:U\to\mathbb{C}$ est holomorphe
(sur $U$) si elle est holomorphe en tout $z$ et si $z\mapsto f'\left(z\right)$
est continue.}
\end{defn}

\begin{rem}
\textsf{La conditions de continuité de la dérivée $f'$ n'est pas
strictement nécessaire, mais simplifie la présentation: il s'avère
qu'on peut prouver que la continuité de $f'$ suit de la seule existence
de $f'$, mais ce n'est pas un résultat complètement trivial. }
\end{rem}

\begin{xca}
\textsf{Les polynômes complexes sont holomorphes (et leur dérivées
correspondent aux dérivées formelles), des fonctions $z\mapsto\left|z\right|$,
$z\mapsto\bar{z}$ ne sont holomorphes en aucun point. }
\end{xca}

\textsf{}
%
\begin{xca}
\textsf{La somme, le produit, la composition de fonctions holomorphes
sont holomorphes et les dérivées sont données par les règles de dérivations
usuelles.}
\end{xca}

\textsf{}
%
\begin{xca}
\textsf{Si $f:U\to V$ est bijective et holomorphe et si $f'$ ne
s'annule pas sur $U$, alors la fonction inverse $f^{-1}$ est aussi
holomorphe. }
\end{xca}


\subsection{\textsf{Les fonctions analytiques sont holomorphes}}

\textsf{Comme on s'en doutait, les fonctions analytiques sont holomorphes:}
\begin{prop}[Analyticité implique holomorphie]
\textsf{Si $f\left(z\right)=\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}\left(z-z_{*}\right)^{k}$
a rayon de convergence $\rho$, alors $f$ est holomorphe sur $D\left(z_{*},\rho\right)$
et $f'$ est donnée par la série $\sum_{k=1}^{\infty}ka_{k}\left(z-z_{*}\right)^{k-1},$
qui a aussi comme rayon de convergence $\rho$. }
\end{prop}

\begin{proof}
\textsf{La preuve est un peu calculatoire, mais conceptuellement simple:}
\begin{itemize}
\item \textsf{On peut supposer que $z_{*}=0$. On sait déjà (Section \ref{subsec:analyticity-and-recentering})
que $f'\left(z\right)=\sum_{k=1}^{\infty}ka_{k}\left(z-z_{*}\right)^{k-1}$
converge sur $D\left(0,\rho\right)$, et il ne reste qu'à montrer
que 
\[
\frac{f\left(z+h\right)-f\left(z\right)}{h}-f'\left(z\right)\underset{h\underset{\neq}{\to}0}{\longrightarrow}0,
\]
donc que 
\[
\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{a_{k}\left(z+h\right)^{k}-a_{k}z^{k}}{h}-ka_{k}z^{k-1}\right)\underset{h\underset{\neq}{\to}0}{\longrightarrow}0.
\]
}
\item \textsf{On voit facilement que pour chaque $k\geq0$, le terme dans
la parenthèse ci-dessus tend vers $0$, la difficulté vient du fait
qu'il y a un nombre infini de termes. }
\item \textsf{Si on arrive à obtenir une borne uniforme sur la série, on
pourra la couper en deux morceaux: les termes avec $k\geq n$ pour
un $n$ assez grand, qui seront petits (puisque la série converge)
et les $n$ premiers termes qui sont petits (puisqu'il y en a un nombre
fini et que chacun tend vers $0$) }
\item \textsf{Pour chercher la borne uniforme on applique (c'est le seul
point un peu subtil de la preuve)
\[
a^{k}-b^{k}=\left(a-b\right)\left(a^{k-1}+a^{k-2}b+\cdots+ab^{k-2}+b^{k-1}\right)
\]
à $a=z+h$ et $b=z$, on a
\begin{align*}
 & \sum_{k=0}^{\infty}\frac{a_{k}\left(z+h\right)^{k}-a_{k}z^{k}}{h}-ka_{k}z^{k-1}\\
= & \sum_{k=0}^{\infty}a_{k}\Bigg[\frac{h}{h}\Big(\left(z+h\right)^{k-1}+\left(z+h\right)^{k-2}z+\cdots\\
 & +\left(z+h\right)z^{k-2}+z^{k-1}\Big)-kz^{k-1}\Bigg]\\
= & \sum_{k=0}^{\infty}a_{k}\left(\left[\sum_{j=0}^{k-1}\left(z+h\right)^{k-1-j}z^{j}\right]-kz^{k-1}\right)
\end{align*}
 }
\item \textsf{Si on fixe $r\in\left(\left|z\right|,\rho\right)$, si $h$
est assez petit pour que $z+h\in D\left(0,r\right)$ on peut majorer
$\left|\left(z+h\right)^{k-1-j}z^{j}\right|\leq r^{k-1}$, ce qui
nous donne
\begin{align*}
 & \left|\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}\left(\left[\sum_{j=0}^{k-1}\left(z+h\right)^{k-1-j}z^{j}\right]-kz^{k-1}\right)\right|.\\
\leq & \sum_{k=0}^{\infty}\left|a_{k}\right|\left(kr^{k-1}+kr^{k-1}\right)\\
\leq & \sum_{k=0}^{\infty}\left|a_{k}\right|2kr^{k-1}<\infty
\end{align*}
}
\item \textsf{Ainsi pour tout $\epsilon>0$, on peut prendre $n$ assez
grand pour que $\sum_{k=n}^{\infty}2\left|a_{k}\right|kr^{k-1}\leq\epsilon/2$
et il existe un $\delta>0$ tel que si $h\in D\left(0,\delta\right)\setminus\left\{ 0\right\} $
on ait 
\[
\left|\sum_{k=0}^{n-1}\frac{a_{k}\left(z+h\right)^{k}-a_{k}z^{k}}{h}-ka_{k}z^{k-1}\right|\leq\epsilon/2,
\]
et si on met les deux morceaux ensemble, on obtient 
\[
\left|\sum_{k=0}^{\infty}\frac{a_{k}\left(z+h\right)^{k}-a_{k}z^{k}}{h}-ka_{k}z^{k-1}\right|\leq\epsilon,
\]
ce qui est le résultat désiré. }
\end{itemize}
\end{proof}
\begin{rem}
\textsf{Il suit immédiatement de ce résultat que toute fonction analytique
est $\mathcal{C}^{\infty}$ (au sens où toutes ses $n$-ième dérivées
complexes existent). }
\end{rem}

\textsf{}
%
\begin{rem}
\textsf{On a de plus qu'une fonction analytique $\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}\left(z-z_{*}\right)^{k}$
est donnée par sa série de Taylor 
\[
\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}f^{\left(k\right)}\left(z_{*}\right)\left(z-z_{*}\right)^{k}.
\]
}
\end{rem}

\textsf{}
%
\begin{rem}
\textsf{Remarquablement, la réciproque de la proposition d'analyticité
est vraie: une fonction holomorphe est toujours analytique. c'est
ce qu'on verra un peu plus tard.}
\end{rem}


\section{\textsf{\protect\label{sec:integration-complexe}Intégration complexe}}

\subsection{\textsf{Motivation}}
\begin{itemize}
\item \textsf{Dans cette section, on va voir l'opération inverse de la différentiation
complexe, qui est l'intégration complexe.}
\item \textsf{La difficulté de l'intégration vient du fait que l'on doit
choisir les chemins d'intégration dans le plan complexe: il y a beaucoup
de manières d'aller d'un point $a$ à un point $b$ dans le plan complexe,
contrairement au cas réel.}
\end{itemize}

\subsection{\textsf{Définition}}

\textsf{Comme dit avant, on a envie de définir l'intégrale $\int_{a}^{b}f\left(z\right)\mathrm{d}z$
des fonctions $f:U\to\mathbb{C}$ entre des points $a,b\in U$; le
problème est qu'il faut choisir un chemin pour aller de $a$ à $b$. }
\begin{defn}
\textsf{On appelle chemin ou contour une application continue $\gamma:\left[s,t\right]\to\mathbb{C}$
définie sur un intervalle fermé $\left[s,t\right]\subset\mathbb{R}$,
qui est $\mathcal{C}^{1}$ par morceaux et à dérivée bornée}
\end{defn}

\textsf{}
%
\begin{defn}
\textsf{On appelle lacet ou contour fermé un contour avec $\gamma\left(s\right)=\gamma\left(t\right)$. }
\end{defn}

\begin{rem}
\textsf{Par la définition, chaque chemin $\gamma$ a une longueur
$\ell\left(\gamma\right)=\int_{s}^{t}\left|\gamma'\left(\tau\right)\right|\mathrm{d}\tau$
finie, où 
\[
\gamma'\left(\tau\right)=\lim_{h\to0}\frac{1}{h}\left(\gamma\left(\tau+h\right)-\gamma\left(\tau\right)\right)\in\mathbb{C}
\]
 est la dérivée (définie là où elle existe). }
\end{rem}

\begin{defn}
\textsf{Pour une fonction continue $f:U\to\mathbb{C}$ (pas nécessairement
holomorphe) et un chemin $\gamma:\left[s,t\right]\to\mathbb{C}$ avec
$\gamma\left(\left[s,t\right]\right)\subset U$, on définit l'intégrale
de chemin de $f$ le long de $\gamma$ par
\[
\int_{\gamma}f\left(z\right)\mathrm{d}z:=\int_{s}^{t}f\left(\gamma\left(\tau\right)\right)\gamma'\left(\tau\right)\mathrm{d}\tau.
\]
Pour un contour fermé $\gamma$, on note souvent cette intégrale $\oint_{\gamma}f\left(z\right)\mathrm{d}z$.}
\end{defn}

\begin{rem}
\textsf{Le point important de cette formule est que l'on prend le
produit des nombres complexes $f\left(\gamma\left(t\right)\right)$
et $\gamma'\left(t\right)$. }
\end{rem}

\textsf{}
%
\begin{rem}
\textsf{L'idée est de pondérer les valeurs de $f$ le long de $\gamma$
par la \textquotedbl vitesse\textquotedbl{} de $\gamma$ (de sorte
que quand on passe \textquotedbl vite\textquotedbl{} à un endroit,
le poids est plus grand), ce qui permet de ne dépendre que du chemin,
et pas de sa paramétrisation précise. On a en effet l'invariance par
reparamétrisation: si $\varphi:\left[u,v\right]\to\left[s,t\right]$
est un difféomorphisme et $\tilde{\gamma}:\left[u,v\right]\to\mathbb{C}$
est défini par $\gamma\circ\varphi$, alors par la formule de changement
de variable (facilement adaptée des réels au complexes)
\begin{align*}
\int_{\gamma}f\left(z\right)\mathrm{d}z & =\int_{s}^{t}f\left(\gamma\left(\tau\right)\right)\gamma'\left(\tau\right)\mathrm{d}\tau\\
 & =\int_{u}^{v}f\left(\gamma\left(\varphi\left(\varsigma\right)\right)\right)\gamma'\left(\varphi\left(\varsigma\right)\right)\varphi'\left(\varsigma\right)\mathrm{d}\varsigma\\
 & =\int_{u}^{v}f\left(\tilde{\gamma}\left(\varsigma\right)\right)\tilde{\gamma}'\left(\varsigma\right)\mathrm{d}\varsigma\\
 & =\int_{\tilde{\gamma}}f\left(z\right)\mathrm{d}z.
\end{align*}
}

\textsf{Ainsi, la paramétrisation spécifique n'est pas importante,
et on peut choisir celle qui nous convient le mieux. }
\end{rem}

\begin{defn}
\textsf{Si $\gamma$ est un contour fermé qui est le bord d'un domaine
$U\subset\mathbb{C}$ mais pas orienté et sans point de départ (par
exemple $\gamma=\mathbb{S}^{1}$), on note 
\[
\oint_{\partial U}f\left(z\right)\mathrm{d}z=\oint_{\gamma}f\left(z\right)\mathrm{d}z
\]
 pour l'intégrale en prenant $\gamma$ orienté dans le sens trigonométrique
(le choix du point de départ n'est pas important -- on va le voir
plus tard). }
\end{defn}


\subsection{\textsf{Exemples}}
\begin{example}
\textsf{Pour $\gamma:\left[0,1\right]\to\mathbb{C}$ défini par $\gamma\left(t\right)=\left(1-t\right)z+tw$
où $z,w\in\mathbb{C}$, on a 
\begin{align*}
\int_{\gamma}1\mathrm{d}z & =w-z\\
\int_{\gamma}\zeta\mathrm{d}\zeta & =\frac{w^{2}-z^{2}}{2}.
\end{align*}
}
\end{example}

\textsf{}
%
\begin{example}
\textsf{Pour $\gamma:\left[0,2\pi\right]\to\mathbb{C}$ défini par
$\gamma\left(t\right)=e^{it}$, et $n\in\mathbb{Z}\setminus\left\{ -1\right\} $
on a 
\begin{align*}
\oint_{\gamma}z^{n}\mathrm{d}z & =\int_{0}^{2\pi}e^{int}ie^{it}\mathrm{d}t\\
 & =i\int_{0}^{2\pi}e^{i\left(n+1\right)t}\mathrm{d}t=\frac{e^{i\left(n+1\right)t}}{n+1}\Bigg|_{0}^{2\pi}=0.
\end{align*}
}
\end{example}

\textsf{}
%
\begin{example}
\textsf{Pour $\gamma:\left[0,2\pi\right]\to\mathbb{C}$ défini par
$\gamma\left(t\right)=e^{it}$, on a
\[
\oint\frac{1}{z}\mathrm{d}z=\int_{0}^{2\pi}e^{-it}ie^{it}\mathrm{d}t=2\pi i.
\]
}
\end{example}

\textsf{}
%
\begin{example}
\textsf{Pour un contour fermé $\gamma$, si $f$ est constante le
long de $\gamma$, on a $\oint_{\gamma}f\left(z\right)\mathrm{d}z=0$. }
\end{example}


\subsection{\textsf{Propriétés de base}}
\begin{rem}
\textsf{Pour un contour fermé $\gamma$, par un argument similaire
à ce qui a été discuté plus haut, on a que $\int_{\gamma}f\left(z\right)\mathrm{d}z$
ne dépend pas du choix du point de départ et d'arrivée $\gamma\left(0\right)=\gamma\left(1\right)$,
mais il faut faire attention au sens dans lequel le contour est paramétrisé.}
\end{rem}

\textsf{}
%
\begin{rem}
\textsf{Si on a un contour $\gamma:\left[0,1\right]\to\mathbb{C}$
et qu'on inverse son sens, en regardant $\tilde{\gamma}:\left[0,1\right]\to\mathbb{C}$
défini par $-\gamma\left(t\right)=\gamma\left(1-t\right)$, on obtient
\[
\int_{-\gamma}f\left(z\right)\mathrm{d}z=-\int_{\gamma}f\left(z\right)\mathrm{d}z.
\]
}
\end{rem}

\textsf{}
%
\begin{rem}
\textsf{Si on a un contour $\gamma:\left[0,1\right]\to\mathbb{C}$
avec $\gamma\left(0\right)=u$, $\gamma\left(1\right)=v$ et un autre
contour $\tilde{\gamma}:\left[0,1\right]\to\mathbb{C}$ avec $\tilde{\gamma}\left(0\right)=v$
et $\tilde{\gamma}\left(1\right)=w$, on a que la concaténation $\gamma\oplus\tilde{\gamma}:\left[0,1\right]\to\mathbb{C}$
définie par $\gamma\oplus\tilde{\gamma}\left(t\right)=\mathbf{1}_{\left[0,\frac{1}{2}\right]}\left(t\right)\gamma\left(2t\right)+\mathbf{1}_{\left[\frac{1}{2},1\right]}\left(t\right)\tilde{\gamma}\left(2t-1\right)$
est un contour de $u$ à $w$ et que 
\[
\int_{\gamma\oplus\tilde{\gamma}}f\left(z\right)\mathrm{d}z=\int_{\gamma}f\left(z\right)\mathrm{d}z+\int_{\tilde{\gamma}}f\left(z\right)\mathrm{d}z.
\]
}
\end{rem}

\textsf{Une propriété clef est l'analogue complexe du théorème fondamental
du calcul intégral: }
\begin{prop}
\textsf{\label{prop:fundamental-theorem}Si $f:U\to\mathbb{C}$ est
holomorphe alors si $\gamma:\left[0,1\right]\to U$ est un chemin
de $w$ à $z$ 
\[
\int_{\gamma}f'\left(\zeta\right)\mathrm{d}\zeta=f\left(w\right)-f\left(z\right),
\]
et en particulier $\int_{\gamma}f'\left(z\right)\mathrm{d}z$ ne dépend
que des extrémités $w$ et $z$ de $\gamma$ (et pas du reste du chemin),
et si $\gamma$ est un lacet $\oint_{\gamma}f'\left(\zeta\right)\mathrm{d}\zeta=0$. }
\end{prop}

\begin{proof}
\textsf{Cela suit directement de la définition et de la version réelle
du théorème fondamental du calcul intégral.}
\end{proof}
\textsf{On a également l'intégration par parties: }
\begin{prop}
\textsf{\label{prop:integration-by-parts}Si $f,g:U\to\mathbb{C}$
sont holomorphes et $\gamma\subset U$ est un lacet, alors on a la
formule d'intégration par parties
\[
\oint_{\gamma}f'\left(\zeta\right)g\left(\zeta\right)\mathrm{d}\zeta=-\oint_{\gamma}f\left(\zeta\right)g'\left(\zeta\right)\mathrm{d}\zeta.
\]
}
\end{prop}

\begin{proof}
\textsf{On a que 
\begin{align*}
 & \oint_{\gamma}f'\left(\zeta\right)g\left(\zeta\right)\mathrm{d}\zeta+\oint_{\gamma}f\left(\zeta\right)g'\left(\zeta\right)\mathrm{d}\zeta\\
 & =\oint_{\gamma}\left(fg\right)'\left(\zeta\right)\mathrm{d}\zeta=0.
\end{align*}
}
\end{proof}
\textsf{Finalement, comme dans le cas réel, on peut majorer l'intégrale
par la longueur du chemin d'intégration:}
\begin{prop}
\textsf{Si $f:U\to\mathbb{C}$ est continue et $\gamma:\left[0,1\right]\to U$
est un chemin, on a 
\[
\left|\int_{\gamma}f\left(z\right)\mathrm{d}z\right|\leq\ell\left(\gamma\right)\max_{z\in\gamma}\left|f\left(z\right)\right|.
\]
}
\end{prop}

\begin{proof}
\textsf{Cela suit du cas réel.}
\end{proof}

\section{\textsf{\protect\label{sec:contour-deformations-and-primitives}Déformations
de contours et primitives }}

\subsection{\textsf{Motivation}}
\begin{itemize}
\item \textsf{On a vu comment définir des intégrales le long de contours.}
\item \textsf{On aimerait faire le chemin inverse de la dérivation complexe:
l'idée serait de pouvoir définir une intégrale qui ne dépend que des
extrémités du chemin. Pour cela il faut comprendre comment l'intégrale
de contour dépend du choix de contour. }
\item \textsf{Si deux contours $\gamma,\tilde{\gamma}:\left[0,1\right]\to U$
ont les mêmes extrémités $\gamma\left(0\right)=\tilde{\gamma}\left(0\right)=a$
et $\gamma\left(1\right)=\tilde{\gamma}\left(1\right)=b$, on a pour
toute fonction continue $f:U\to\mathbb{C}$,
\[
\int_{\gamma}f\left(z\right)\mathrm{d}z-\int_{\tilde{\gamma}}f\left(z\right)\mathrm{d}z=\oint_{\gamma\ominus\tilde{\gamma}}f\left(z\right)\mathrm{d}z,
\]
où $\gamma\ominus\tilde{\gamma}$ est le contour fermé fait de la
concaténation de $\gamma$ avec $-\tilde{\gamma}$.}
\item \textsf{Comprendre la dépendance par rapport au choix du contour revient
donc à comprendre la valeur des intégrales le long des contours fermés. }
\item \textsf{Pour comprendre une telle dépendance, on peut poser la question:
que se passe-t-il si on essaie de bouger un tout petit peu un contour
$\gamma$ autour d'un point? Il faut comprendre ce qui se passe dans
l'intégration d'un petit contour fermé.}
\end{itemize}


\subsection{\textsf{Intégrale de contour fermé infinitésimal}}

\textsf{Un contour fermé avec lequel il est pratique de travailler
est un petit carré $Q\left(z,\epsilon\right)$ de taille de côté $\epsilon>0$
centré en $z$ et parallèle aux axes, dont le bord $\partial Q\left(z,\epsilon\right)$
est orienté dans le sens trigonométrique.}
\begin{prop}
\textsf{\label{prop:infinitesimal-green-riemann}On a 
\[
\oint_{\partial Q\left(z,\epsilon\right)}f\left(z\right)=2i\epsilon^{2}\bar{\partial}f\left(z\right)+o\left(\epsilon^{2}\right)
\]
où $\bar{\partial}$ est la dérivée de Wirtinger introduite plus haut. }
\end{prop}

\begin{proof}
\textsf{La preuve se base sur un développement de Taylor:}
\begin{itemize}
\item \textsf{Le contour $\partial Q\left(z,\epsilon\right)$ est donné
par $\mathbf{d}\oplus\mathbf{h}\oplus\mathbf{g}\oplus\mathbf{b}$
où les contours $\mathbf{d},\mathbf{h},\mathbf{g},\mathbf{b}:\left[0,1\right]\to\mathbb{C}$
notent les côtés droit, haut, gauche et bas du carré, avec 
\begin{align*}
\mathrm{d}\left(t\right) & =z+\frac{\epsilon}{2}+i\epsilon\left(t-\frac{1}{2}\right)\\
\mathbf{h}\left(t\right) & =z+\frac{i\epsilon}{2}-\epsilon\left(t-\frac{1}{2}\right)\\
\mathrm{g}\left(t\right) & =z-\frac{\epsilon}{2}-i\epsilon\left(t-\frac{1}{2}\right)\\
\mathbf{b}\left(t\right) & =z-\frac{i\epsilon}{2}+\epsilon\left(t-\frac{1}{2}\right).
\end{align*}
}
\item \textsf{Si on suppose que $f$ est $\mathcal{C}^{1}$ (pas forcément
holomorphe, simplement avec dérivées partielles continues quand on
la voit comme une fonction $f:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{C}$), en faisant
l'expansion de Taylor de $f$ autour de $z$, on obtient
\begin{align*}
 & \oint_{\partial Q\left(z,\epsilon\right)}f\left(z\right)\\
 & =\int_{\mathrm{d}}f\left(z\right)\mathrm{d}z+\int_{\mathbf{h}}f\left(z\right)\mathrm{d}z+\int_{\mathbf{g}}f\left(z\right)\mathrm{d}z+\int_{\mathbf{b}}f\left(z\right)\mathrm{d}z\\
 & =\epsilon\int_{0}^{1}\left(if\left(\mathbf{d}\left(t\right)\right)-f\left(\mathbf{h}\left(t\right)\right)-if\left(\mathbf{g}\left(t\right)\right)+f\left(\mathbf{b}\left(t\right)\right)\right)\mathrm{d}t.
\end{align*}
}
\item \textsf{Maintenant 
\begin{align*}
f\left(\mathbf{d}\left(t\right)\right) & =f\left(z\right)+\frac{\epsilon}{2}\partial_{1}f\left(z\right)+\epsilon\left(t-\frac{1}{2}\right)\partial_{2}f\left(z\right)+o\left(\epsilon\right)\\
f\left(\mathbf{h}\left(t\right)\right) & =f\left(z\right)+\frac{\epsilon}{2}\partial_{2}f\left(z\right)-\epsilon\left(t-\frac{1}{2}\right)\partial_{1}f\left(z\right)+o\left(\epsilon\right)\\
f\left(\mathbf{g}\left(t\right)\right) & =f\left(z\right)-\frac{\epsilon}{2}\partial_{1}f\left(z\right)-\epsilon\left(t-\frac{1}{2}\right)\partial_{2}f\left(z\right)+o\left(\epsilon\right)\\
f\left(\mathbf{b}\left(t\right)\right) & =f\left(z\right)-\frac{\epsilon}{2}\partial_{2}f\left(z\right)+\epsilon\left(t-\frac{1}{2}\right)\partial_{1}f\left(z\right)+o\left(\epsilon\right).
\end{align*}
}
\item \textsf{Si on additionne ces quatre termes avec coefficients $i,-1,-i,1$
pour obtenir $\int_{Q\left(z,\epsilon\right)}f\left(z\right)$, on
voit que le premier terme de chacun des membres de droite apparaît
avec ces quatre coefficients, ce qui donne zéro; si on intègre le
terme $\left(t-\frac{1}{2}\right)$ entre $0$ et $1$, on obtient
$0$. }
\item \textsf{En additionant le deuxième terme de chacun des membres de
droites, on obtient
\[
\oint_{\partial Q\left(z,\epsilon\right)}f\left(z\right)=\epsilon^{2}\left(i\partial_{1}f\left(z\right)-\partial_{2}f\left(z\right)\right)+o\left(\epsilon^{2}\right)=2i\bar{\partial}f\left(z\right)\cdot\epsilon^{2}+o\left(\epsilon^{2}\right),
\]
ce qui est le résultat souhaité. }
\end{itemize}
\end{proof}
\begin{rem}
\textsf{Cette proposition peut être généralisée à tout triangle $\Delta_{\epsilon}$
(et par extension à tout polygone) contenant $z$ de diamètre $\mathcal{O}\left(\epsilon\right)$,
et on obtient
\[
\oint_{\partial\Delta_{\epsilon}}f\left(z\right)\mathrm{d}z=2i\mathrm{Aire\left(\Delta_{\epsilon}\right)}\bar{\partial}f\left(z\right)+o\left(\epsilon^{2}\right).
\]
On peut la prouver en utilisant l'expansion de Taylor pour les fonctions
$\mathcal{C}^{1}$: 
\[
f\left(z+h\right)=f\left(z\right)+\partial f\left(z\right)h+\bar{\partial}f\left(z\right)\bar{h}+o\left(h\right).
\]
 }
\end{rem}

\textsf{}
%
\begin{rem}
\textsf{Cette proposition nous suggère que pour les fonctions holomorphes,
les contours peuvent être déformés \textquotedbl localement\textquotedbl{}
sans affecter l'intégrale:}
\begin{itemize}
\item \textsf{Si on déforme un contour \textquotedbl petit carré par petit
carré\textquotedbl , on change très peu l'intégrale de contour quand
les carrés sont petit.}
\item \textsf{Pour faire un mouvement macroscopique, on a besoin de $\mathcal{O}\left(\frac{1}{\epsilon^{2}}\right)$
modifications de carrés.}
\item \textsf{Comme l'intégrale de contour totale de chacun de ces petits
carrés pour une fonction holomorphe est $o\left(\epsilon^{2}\right)$,
on obtient un résultat qui tend vers $0$ quand $\epsilon\to0$. }
\item \textsf{Cette idée peut être formalisée pour être rendue rigoureuse,
mais c'est un peu long, et nous ne le ferons pas ici; en un sens,
elle forme la base de ce qu'on appelle l'analyse discrète. }
\end{itemize}
\end{rem}


\subsection{\textsf{Déformation}}
\begin{itemize}
\item \textsf{Pour que l'intégrale le long d'un chemin ne dépende que de
ses extrémités, on a vu qu'il fallait que les intégrales le long de
contours fermés soient nulles.}
\item \textsf{Le calcul de l'intégrale le long d'un petit contour carré
nous a appris que pour les fonctions holomorphes, on peut en principe
\textquotedbl bouger\textquotedbl{} localement dans un domaine les
contours sans changer les valeurs de l'intégrales (tant que les bouts
sont maintenus ou que les contours restent fermer).}
\item \textsf{Attention au \textquotedbl localement\textquotedbl : on
ne peut pas déformer n'importe quel contour localement, même pour
une fonction holomorphe.}
\end{itemize}
\begin{xca}
\textsf{Pour la fonction $z\mapsto\frac{1}{z}$, si on intègre le
long du contour $\left[0,\pi\right]\to\mathbb{C}$ de $1$ à $-1$
défini par $t\mapsto e^{it}$ ou le long du contour de $1$ à $-1$
défini par $t\mapsto e^{-it}$, observer qu'on obtient des résultats
différents. }
\end{xca}

\textsf{Les contours fermés qui émergent quand on fait des déformations
locales sont une classe particulière:}
\begin{defn}
\textsf{Un lacet $\gamma:\left[0,1\right]\to U$ est dit homotope
à un autre lacet $\tilde{\gamma}$ dans $U$ s'il existe une application
continue $\Gamma:\left[0,1\right]\times\left[0,1\right]\to U$ telle
que $\Gamma\left(0,\cdot\right)=\gamma$, $\Gamma\left(1,\cdot\right)=\tilde{\gamma}$,
telle que $\Gamma\left(s,\cdot\right)$ soit un lacet dans $U$ pour
tout $s\in\left(0,1\right)$.}
%
Deux chemins $\gamma,\tilde{\gamma}$ avec $\gamma\left(0\right)=\tilde{\gamma}\left(0\right)$
et $\gamma\left(1\right)=\tilde{\gamma}\left(1\right)$ sont dits
homotopes dans $U$ s'il existe une application continue \textsf{$\Gamma:\left[0,1\right]\times\left[0,1\right]\to U$
telle que $\Gamma\left(0,\cdot\right)=\gamma$, $\Gamma\left(1,\cdot\right)=\tilde{\gamma}$
et telle que $\Gamma\left(s,\cdot\right)$ soit un chemin de $\gamma\left(0\right)$
à $\gamma\left(1\right)$ dans $U$. }
\end{defn}

\textsf{}
%
\begin{defn}
\textsf{Un lacet $\gamma:\left[0,1\right]\to U$ est dit contractible
s'il est homotope au lacet trivial $\tilde{\gamma}\left(t\right)=c\in U$
pour $t\in\left[0,1\right]$. }
\end{defn}

\textsf{}
%
\begin{defn}
\textsf{Un domaine $U$ est dit simplement connexe si tout lacet de
$U$ est contractible dans $U$. }
\end{defn}

\textsf{Le théorème suivant nous dit qu'on peut en effet faire des
déformations locales avec les fonctions holomorphes. }
\begin{thm*}[Théorème \ref{cor:vanishing-closed-contour-integral} ci-dessous]
\textsf{Soit $U$ un ouvert, soit $f:U\to\mathbb{C}$ une fonction
holomorphe et soit $\gamma$ un lacet contractible dans $U$. On a
que 
\[
\oint_{\gamma}f\left(z\right)\mathrm{d}z=0.
\]
}
\end{thm*}
\textsf{On va d'abord prouver le théorème pour une classe particulière
d'ouverts, celle des ouverts étoilés, puis l'étendre aux ouverts}
\begin{defn}
\textsf{On dit qu'un ouvert $U$ est étoilé s'il existe un centre
$z_{*}\in U$ tel que pour tout $w\in U$, on a $\left[z_{*},w\right]\subset U$,
où $\left[z_{*},w\right]$ est le segment $\left\{ sz_{*}+\left(1-s\right)w:s\in\left[0,1\right]\right\} $
. }
\end{defn}

\begin{rem}
\textsf{C'est une notion plus faible que la convexité, mais plus forte
que la simple connexité. }
\end{rem}

\begin{defn}
\textsf{On dit qu'un lacet $\gamma$ dans $U$ est rétractable s'il
existe $z_{*}\in U$ tel que l'application $\Gamma:\left[0,1\right]\times\left[0,1\right]\to U$
définie par $\Gamma\left(s,t\right)=s\gamma\left(t\right)+\left(1-s\right)z_{*}$
soit une homotopie dans $U$. }
\end{defn}

\begin{rem}
\textsf{Si $U$ est un ouvert étoilé en $z_{*}$, tout contour fermé
$\gamma:\left[0,1\right]\to U$ est rétractable.}
\end{rem}

\begin{prop}
\textsf{\label{prop:retractible-contour-integral-vanishes}Si $f:U\to\mathbb{C}$
est holomorphe et $\gamma:\left[0,1\right]\to\mathbb{C}$ est un contour
rétractable, alors 
\[
\oint_{\gamma}f\left(z\right)\mathrm{d}z=0.
\]
}
\end{prop}

\begin{proof}
\textsf{Par changement de variable, on peut supposer que $\gamma$
est rétractable en $z_{*}=0$. L'idée est de déformer le contour $\gamma:\left[0,1\right]\to\mathbb{C}$
vers $0$, et de voir que l'intégrale de $f$ le long du contour qui
se déforme ne change pas. }
\begin{itemize}
\item \textsf{Pour $s,t\in\left[0,1\right]$, posons $\gamma_{s}\left(t\right)=s\gamma\left(t\right)$.}
\item \textsf{Regardons la fonction $I:\left[0,1\right]\to\mathbb{C}$ définie
par
\begin{align*}
I\left(s\right) & =\oint_{\gamma_{s}}f\left(z\right)\mathrm{d}z\\
 & =\int_{0}^{1}f\left(s\gamma\left(t\right)\right)s\gamma'\left(t\right)\mathrm{d}t\\
 & =s\oint_{\gamma}f\left(sz\right)\mathrm{d}z
\end{align*}
}
\item \textsf{Si on dérive par rapport à $s$, on a
\[
I'\left(s\right)=\oint_{\gamma}f\left(sz\right)\mathrm{d}z+s\oint_{\gamma}f'\left(sz\right)z\mathrm{d}z,
\]
où on a utilisé que $f$ était holomorphe et que $f'$ était continue. }
\item \textsf{Maintenant, en intégrant par partie, on obtient
\begin{align*}
 & \oint_{\gamma}f\left(sz\right)\left(z\right)'\mathrm{d}z+s\oint_{\gamma}f'\left(sz\right)z\mathrm{d}z\\
= & \oint_{\gamma}f\left(sz\right)\left(z\right)'\mathrm{d}z+\oint_{\gamma}\left(\frac{\partial}{\partial z}f\left(sz\right)\right)z\mathrm{d}z\\
= & \oint_{\gamma}f\left(sz\right)\left(z\right)'\mathrm{d}z-\oint_{\gamma}f\left(sz\right)\left(z\right)'\mathrm{d}z\\
= & 0
\end{align*}
 }
\item \textsf{Comme $I\left(0\right)=0$ et que $I$ est constante, on en
déduit que $\oint_{\gamma}f\left(z\right)\mathrm{d}z=I\left(1\right)=0$,
ce qui donne le résultat. }
\end{itemize}
\end{proof}
\begin{cor}
\textsf{\label{cor:star-shaped-domain-vanishing-integral}Si $U$
est un ouvert étoilé, et $f:U\to\mathbb{C}$ est une fonction holomorphe,
alors pour tout contour $\gamma$ fermé dans $U$, on a $\oint_{\gamma}f\left(z\right)\mathrm{d}z=0$.}
\end{cor}

\begin{rem}
\textsf{L'idée de la preuve est assez facile à visualiser quand le
contour est un cercle: quand on varie $s$, le contour varie par rapport
à sa normale, et la variation d'intégrale est donnée par la dérivée
de $f$ dans la direction normale au contour. Mais grâce aux équations
de Cauchy-Riemann, on peut dire que la dérivée normale est $i$ fois
la dérivée tangente, et l'intégrale des dérivées tangentes fait zéro,
car le contour est fermé. }
\end{rem}

\textsf{On peut maintenant améliorer la proposition \ref{cor:star-shaped-domain-vanishing-integral}
pour obtenir le théorème-clé:}
\begin{thm}
\textsf{Soit $f:U\to\mathbb{C}$ une fonction holomorphe et soient
$\gamma,\tilde{\gamma}\subset U$ deux lacets homotopes. Alors 
\[
\oint_{\gamma}f\left(z\right)\mathrm{d}z=\oint_{\tilde{\gamma}}f\left(z\right)\mathrm{d}z.
\]
}
\end{thm}

\begin{proof}
\textsf{(Esquisse de preuve) Supposons qu'on puisse déformer $\gamma$
en $\tilde{\gamma}$ en un nombre fini d'étapes $\gamma=\gamma_{0}\leadsto\gamma_{1}\leadsto\cdots\leadsto\gamma_{n}=\tilde{\gamma}$
de manière à ce que $\gamma_{i}=\gamma_{i-1}\oplus\lambda_{i}$ (ou
plus précisément: tels que $\gamma_{i-1}$ et $\lambda_{i}$ partagent
un chemin parcouru par $\gamma_{i-1}$ dans un sens et par $\lambda_{i}$
dans le sens inverse, de manière à ce que les contributions de cette
partie s'annulent, et que ne reste qu'un lacet équivalent à $\gamma_{i}$,
au sens qu'en reparamétrant, on obtienne $\gamma_{i}$) où $\lambda_{i}$
est un lacet rétractable pour chaque $i\geq1$, et donc on obtient
\begin{align*}
\oint_{\gamma_{0}}f\left(z\right)\mathrm{d}z & =\oint_{\gamma_{0}\ominus\gamma_{1}}f\left(z\right)\mathrm{d}z+\oint_{\gamma_{1}}f\left(z\right)\mathrm{d}z\\
 & =\oint_{\gamma_{1}}f\left(z\right)\mathrm{d}z\\
 & =\cdots\\
 & =\oint_{\gamma_{n-1}\ominus\gamma_{n}}f\left(z\right)\mathrm{d}z+\oint_{\gamma_{n}}f\left(z\right)\mathrm{d}z\\
 & =\oint_{\gamma_{n}}f\left(z\right)\mathrm{d}z\\
 & =0.
\end{align*}
 Si $\gamma$ est homotope à $\tilde{\gamma}$ via $\Gamma\left(\cdot,\cdot\right)$,
on peut trouver des temps $0=s_{1}<s_{2}<\ldots<s_{k}=1$ qui soient
très proches, de manière à ce que pour aller de $\Gamma\left(s_{i},\cdots\right)$
à $\Gamma\left(s_{i+1},\cdot\right)$, on bouge de moins que $\epsilon/4$
(disons) où $\epsilon=\mathrm{distance}\left(\Gamma\left(\left[0,1\right]\times\left[0,1\right]\right),\partial\Omega\right)$
(l'image de $\Gamma$ est un compact). Alors, on peut couper le temps
en petits morceaux $0=t_{1}<\ldots<t_{\ell}=1$ tel qu'on puisse passer
de $\Gamma\left(s_{i},\left[t_{j},t_{j+1}\right]\right)$ à $\Gamma\left(s_{i+1},\left[t_{j},t_{j+1}\right]\right)$
en restant dans une boule de rayon $\epsilon/4$; il suit qu'on peut
passer de $\Gamma\left(s_{i},\cdots\right)$ à $\Gamma\left(s_{i+1},\cdot\right)$
en ajoutant une collection finie de lacets rétractacbles $\lambda_{p}$
comme ci-dessus (faire un dessin) et le résultat suit).}
\end{proof}
\textsf{Un corollaire extrêmement utile est le résultat suivant:}
\begin{cor}
\textsf{\label{cor:vanishing-closed-contour-integral}Soit $U$ un
ouvert, soit $f:U\to\mathbb{C}$ une fonction holomorphe et soit $\gamma$
un lacet contractible dans $U$. On a que 
\[
\oint_{\gamma}f\left(z\right)\mathrm{d}z=0.
\]
}
\end{cor}


\subsection{\textsf{Existence des primitives}}

\textsf{Grâce à nos résultats jusqu'à présent, nous sommes maintenant
en mesure d'étudier les primitives:}
\begin{defn}
\textsf{Soit $f:U\to\mathbb{C}$ une fonction continue. On dit que
$F:U\to\mathbb{C}$ est une primitive holomorphe de $f$ si $F$ est
holomorphe et $F'=f$.}
\end{defn}

\begin{rem}
\textsf{Les primitives holomorphes ne sont définies qu'à constante
près.}
\end{rem}

\textsf{}
%
\begin{rem}
\textsf{On verra plus loin si $f$ a une primitive holomorphe, alors
$f$ est automatiquement holomorphe.}
\end{rem}

\textsf{L'idée pour construire une primitive est d'intégrer à partir
d'un point de base $z_{*}\in U$ et de considérer pour tout $z\in U$
l'intégrale $\int_{\gamma_{z_{*},z}}f\left(z\right)\mathrm{d}z$ où
$\gamma_{z_{*},z}$ est un chemin de $z_{*}$ à $z$. Comme on l'a
vu, il faut que la valeur $\int_{\gamma_{z_{*},z}}f\left(z\right)\mathrm{d}z$
soit indépendante du choix de $\gamma_{z_{*},z}$. Cela suggère la
définition suivante:}
\begin{defn}
\textsf{On dit qu'une fonction continue $f:U\to\mathbb{C}$ satisfait
la condition de Morera si pour tout lacet $\lambda\subset U$, on
a $\oint_{\lambda}f\left(z\right)\mathrm{d}z=0$. }
\end{defn}

\begin{rem}
\textsf{On verra plus loin que la condition de Morera garantit l'holomorphie
de $f$. }
\end{rem}

\begin{lem}
\textsf{\label{lem:morera-yields-primitive}Si $f:U\to\mathbb{C}$
satisfait la condition de Morera, l'intégrale $\int_{\gamma_{z_{*},z}}f\left(z\right)\mathrm{d}z$
est indépendante du choix de $\gamma_{z_{*},z}$. }
\end{lem}

\begin{proof}
\textsf{Si $\gamma_{z_{*},z},\tilde{\gamma}_{z_{*},z}$ sont deux
choix de chemins de $z_{*}$ à $z$, on a 
\[
\int_{\gamma_{z_{*},z}}f\left(z\right)\mathrm{d}z-\int_{\tilde{\gamma}_{z_{*},z}}f\left(z\right)\mathrm{d}z=\int_{\gamma_{z_{*},z}\ominus\tilde{\gamma}_{z_{*},z}}f\left(z\right)\mathrm{d}z=0,
\]
car $\gamma_{z_{*},z}\ominus\tilde{\gamma}_{z_{*},z}$ est un lacet. }
\end{proof}
\textsf{Ce lemme nous permet de définir une intégrale qui ne dépend
pas du chemin:}
\begin{defn}
\textsf{Si $f:U\to\mathbb{C}$ satisfait la condition de Morera, pour
$z_{*},z\in U$, on note $\int_{z_{*}}^{z}f\left(z\right)\mathrm{d}z$
la valeur commune (par le lemme \ref{lem:morera-yields-primitive})
de l'intégrale $\int_{\gamma_{z_{*},z}}f\left(z\right)\mathrm{d}z$
pour tous les chemins $\gamma_{z_{*},z}\subset U$ de $z_{*}$ à $z$. }
\end{defn}

\begin{rem}
\textsf{Si $f:U\to\mathbb{C}$ satisfait la condition de Morera, on
a les règles usuelles: 
\begin{align*}
\int_{a}^{b}f\left(z\right)\mathrm{d}z & =-\int_{b}^{a}f\left(z\right)\mathrm{d}z\\
\int_{a}^{b}f\left(z\right)\mathrm{d}z+\int_{b}^{c}f\left(z\right)\mathrm{d}z & =\int_{a}^{c}f\left(z\right)\mathrm{d}z.
\end{align*}
}
\end{rem}

\textsf{Cela nous amène au théorème important:}
\begin{thm}
\textsf{\label{thm:morera-guarantees-primitive}Une fonction continue
$f:U\to\mathbb{C}$ a une primitive holomorphe si et seulement si
elle satisfait la condition de Morera. }
\end{thm}

\begin{proof}
\textsf{Montrons d'abord la direction $\impliedby$ (le \textquotedbl si\textquotedbl .}
\begin{itemize}
\item \textsf{Soit $z_{*}\in U$ et posons $F:U\to\mathbb{C}$, définie
par
\[
F\left(z\right)=\int_{z_{*}}^{z}f\left(z\right)\mathrm{d}z.
\]
}
\item \textsf{Montrons que $F$ est une primitive holomorphe de $f$: }
\begin{itemize}
\item \textsf{Pour $h\in\mathbb{C}^{*}$, on a
\begin{align*}
\frac{F\left(z+h\right)-F\left(z\right)}{h}-f\left(z\right) & =\frac{1}{h}\left(\int_{z}^{z+h}f\left(\zeta\right)\mathrm{d}\zeta\right)-f\left(z\right)\\
 & =\frac{1}{h}\left(\int_{z}^{z+h}f\left(\zeta\right)\mathrm{d}\zeta\right)-\frac{1}{h}\int_{z}^{z+h}f\left(z\right)\mathrm{d}\zeta\\
 & =\frac{1}{h}\int_{z}^{z+h}\left(f\left(\zeta\right)-f\left(z\right)\right)\mathrm{d}\zeta
\end{align*}
}
\item \textsf{Maintenant, on aimerait que cette quantité tende vers $0$
quand $h\underset{\neq}{\longrightarrow}0$: on choisit le chemin
le plus court $\left[z,z+h\right]$ de $z$ à $z+h$ et on majore
\begin{align*}
\left|\frac{1}{h}\int_{z}^{z+h}f\left(\zeta\right)-f\left(z\right)\mathrm{d}\zeta\right| & \leq\frac{1}{h}\mathrm{longueur}\left(\left[z,z+h\right]\right)\max_{\zeta\in D\left(z,h\right)}\left|f\left(\zeta\right)-f\left(z\right)\right|\\
 & =\max_{\zeta\in D\left(z,h\right)}\left|f\left(\zeta\right)-f\left(z\right)\right|\\
 & \underset{h\underset{\neq}{\to}0}{\longrightarrow}0,
\end{align*}
par continuité de $f$. }
\end{itemize}
\item \textsf{Montrons maintenant la direction $\implies$ (le \textquotedbl seulement
si\textquotedbl ):}
\begin{itemize}
\item \textsf{Si $f$ a une primitive $F$, alors le résultat suit de l'analogue
complexe du théorème fondamental du calcul intégral (proposition \ref{prop:fundamental-theorem}
ci-dessus).}
\end{itemize}
\end{itemize}
\end{proof}
\textsf{A priori, la propriété d'avoir une primitive requiert des
conditions non locales (contrairement au cas de $\mathbb{R}$), car
il faut avoir des intégrales nulles le long des lacets; en fait, le
corollaire suivant nous dit que pour les ouverts simplement connexes,
c'est bon. }
\begin{cor}
\textsf{Soit $f:U\to\mathbb{C}$ une fonction holomorphe sur un ouvert
simplement connexe. Alors $f$ a toujours une primitive.}
\end{cor}

\begin{proof}
\textsf{Par le théorème \ref{cor:vanishing-closed-contour-integral},
la condition de Morera est satisfaite pour $f$. Par le théorème \ref{thm:morera-guarantees-primitive},
$f$ a une primitive. }
\end{proof}
\begin{xca}
\textsf{Montrer que la fonction $\mathbb{C}^{*}\to\mathbb{C}$ définie
par $z\mapsto\frac{1}{z}$ n'a pas de primitive, mais que sur $\mathbb{C}\setminus\mathbb{R}_{-}$,
elle a une primitive donnée par la détermination principale du logarithme:
\[
\int_{1}^{z}\frac{1}{\zeta}\mathrm{d}\zeta=\mathrm{Log}\left(z\right).
\]
}
\end{xca}


\subsection{\textsf{Indice d'un point par rapport à un lacet}}

\textsf{Dans un sens, la fonction $z\mapsto\frac{1}{z}$ est la seule
qui pose problème pour l'intégration, en ceci qu'elle n'a pas de primitive
à cause des problèmes de déterminations de logarithme (d'argument).
Cela motive l'utilisation de l'intégrale de cette fonction le long
d'un lacet pour mesurer la relation topologique entre un lacet et
un point:}
\begin{prop}
\textsf{Pour tout lacet $\gamma:\left[0,1\right]\to\mathbb{C}$ et
tout $z\in\mathbb{C}\setminus\gamma\left[0,1\right]$, l'intégrale
\[
\frac{1}{2\pi i}\oint_{\gamma}\frac{1}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta
\]
prend toujours une valeur entière.}
\end{prop}

\begin{proof}
\textsf{On veut montrer que $\exp\left(\oint_{\gamma}\frac{1}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta\right)=1$,
ce qui impliquera $\oint_{\gamma}\frac{1}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta\in2\pi i\mathbb{Z}$
comme souhaité. Supposons $\gamma'$ continue pour simplifier. }
\begin{itemize}
\item \textsf{Posons $\varphi:\left[0,1\right]\to\mathbb{C}$, définie par
\[
\varphi\left(t\right)=\exp\left({\it \int_{0}^{t}\frac{\gamma'\left(s\right)}{\gamma\left(s\right)-z}}\right)\mathrm{d}s.
\]
}
\item \textsf{On a 
\[
\frac{\varphi'\left(t\right)}{\varphi\left(t\right)}=\frac{\gamma'\left(t\right)}{\gamma\left(t\right)-z}.
\]
}
\item \textsf{En injectant $\varphi'\left(t\right)=\gamma'\left(t\right)\varphi\left(t\right)/\left(\gamma\left(t\right)-z\right)$,
on obtient
\[
\left(\frac{\varphi\left(t\right)}{\gamma\left(t\right)-z}\right)'=\frac{\varphi'\left(t\right)}{\gamma\left(t\right)-z}-\frac{\varphi\left(t\right)\gamma'\left(t\right)}{\left(\gamma\left(t\right)-z\right)^{2}}=\frac{\varphi\left(t\right)\gamma'\left(z\right)}{\left(\gamma\left(t\right)-z\right)^{2}}-\frac{\varphi\left(t\right)\gamma'\left(z\right)}{\left(\gamma\left(t\right)-z\right)^{2}}=0.
\]
}
\item \textsf{Comme la fonction $t\mapsto\varphi\left(t\right)/\left(\gamma\left(t\right)-z\right)$
a dérivée nulle, elle est constante.}
\item \textsf{Ainsi 
\[
\frac{\varphi\left(t\right)}{\gamma\left(t\right)-z}=\frac{\varphi\left(0\right)}{\gamma\left(0\right)-z}=\frac{1}{\gamma\left(0\right)-z}.
\]
}
\item \textsf{Comme $\gamma\left(1\right)=\gamma\left(0\right)$, on a $\varphi\left(1\right)=\varphi\left(0\right)=1$,
ce qui est le résultat désiré. }
\end{itemize}
\end{proof}
\begin{xca}
\textsf{Expliquer géométriquement ce qui se passe dans cette preuve. }
\end{xca}

\begin{defn}
\textsf{La quantité 
\[
\mathrm{Ind}_{z}\left(\gamma\right)=\frac{1}{2\pi i}\oint_{\gamma}\frac{1}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta
\]
 est appelée l'indice de $\gamma$ autour de $z$. }
\end{defn}

\begin{rem}
\textsf{L'indice mesure le nombre de tours que $\gamma$ effectue
autour de $z$, comptés positivement dans le sens trigonométrique
et négativement dans le sens horaire. }
\end{rem}

\textsf{}
%
\begin{rem}
\textsf{L'indice est un invariant d'homotopie: si $\gamma,\tilde{\gamma}\subset U$
sont homotopes dans $U\setminus\left\{ z_{*}\right\} $ alors $\mathrm{Ind}_{z_{*}}\left(\gamma\right)=\mathrm{Ind}_{z_{*}}\left(\tilde{\gamma}\right)$. }
\end{rem}


\subsection{\textsf{Détermination du logarithme et des racines}}

\textsf{Le cas particulier de l'intégrale de $\zeta\mapsto\frac{1}{\zeta-z}$
est aussi fondamental pour construire le logarithme et les racines
carrées:}
\begin{prop}
\textsf{\label{prop:determination-of-log}Soit $U$ un domaine simplement
connexe qui ne contient pas $0$. Alors pour $z_{*}\in U$ et tout
$w_{*}$ tel que $e^{w_{*}}=z_{*}$ la fonction holomorphe $L:U\to\mathbb{C}$
définie par
\[
L\left(z\right)=\int_{z_{*}}^{z}\frac{1}{\zeta}\mathrm{d}\zeta+w_{*},
\]
est telle que $\exp\left(L\left(z\right)\right)=z$ pour tout $z\in U$.}
\end{prop}

\begin{proof}
\textsf{Comme $U$ est simplement connexe, la fonction $L$ est clairement
bien définie.}
\begin{itemize}
\item \textsf{On a $L\left(\exp\left(w_{*}\right)\right)=w_{*}$ par construction.}
\item \textsf{Sur un voisinage de $w_{*}$, on a 
\[
\left(L\left(\exp\left(w\right)\right)\right)'=\frac{1}{\exp\left(w\right)}\exp\left(w\right)=1
\]
 }
\item \textsf{Sur ce voisinage de $w_{*}$, on a donc que $L\left(\exp\left(w\right)\right)=w$,
et donc $\exp\left(L\left(\exp\left(w\right)\right)\right)=\exp\left(w\right)$. }
\item \textsf{Comme $\exp$ est inversible au voisinage de $w_{*}$, on
déduit $\exp\left(L\left(z\right)\right)=z$ sur un voisinage de $z_{*}$.}
\item \textsf{Par le principe du prolongement analytique pour les fonctions
holomorphes (corollaire \ref{cor:holomorphic-continuation} dans la
section suivante), on déduit que $\exp\left(L\left(z\right)\right)=z$
pour tout $z\in U$. }
\end{itemize}
\end{proof}
\textsf{Un corollaire particulièrement utile est l'existence de déterminations
des racines $n$-ièmes.}
\begin{cor}
\textsf{\label{cor:existence-of-root}Soit $U$ un domaine simplement
connexe qui ne contient pas $0$. Alors pour tout $n\geq1$, il existe
une détermination de la racine $n$-ième sur $U$, c'est-à-dire une
fonction holomorphe $r_{n}:U\to\mathbb{C}$ telle que $\left(r_{n}\left(z\right)\right)^{n}=z$
pour tout $z\in U$.}
\end{cor}

\begin{proof}
\textsf{Il suffit de prendre $\exp\left(\frac{1}{n}L\left(z\right)\right)$,
où $L\left(z\right)$ est donnée par la proposition \ref{prop:determination-of-log}.}
\end{proof}
\textsf{Une version légèrement plus forte de la proposition \ref{prop:determination-of-log}
est donné par l'existence de logarithmes de fonctions:}
\begin{prop}
\textsf{\label{prop:determination-of-log-ii}Soit $U$ un ouvert simplement
connexe et $f:U\to\mathbb{C}$ une fonction holomorphe qui ne s'annule
pas sur $U$. Soit $z_{*}\in U$ et soit $\ell_{*}$ tel que $e^{\ell_{*}}=f\left(z_{*}\right)$.
Alors la fonction $L_{f}:U\to\mathbb{C}$ donnée par
\[
L_{f}\left(z\right)=\int_{z_{*}}^{z}\frac{f'\left(\zeta\right)}{f\left(\zeta\right)}\mathrm{d}\zeta+\ell_{*}
\]
 est telle que $\exp\left(L_{f}\left(z\right)\right)=f\left(z\right)$
pour tout $z\in U$.}
\end{prop}

\begin{proof}
\textsf{On procède comme pour la proposition \ref{prop:determination-of-log}.}
\begin{itemize}
\item \textsf{Prenons une détermination $L$ du logarithme telle que $\exp\left(L_{f}\left(z\right)\right)=f\left(z\right)$
pour tout $z\in D\left(z_{*},\epsilon\right)$ pour $\epsilon>0$
suffisamment petit.}
\item \textsf{On a $L\left(f\left(z\right)\right)'=f'\left(z\right)/f\left(z\right)$
et donc $L\left(f\left(z\right)\right)=L_{f}\left(z\right)$ pour
$z\in D\left(z_{*},\epsilon\right)$.}
\item \textsf{Ainsi $\exp\left(L_{f}\left(z\right)\right)=f\left(z\right)$
sur $D\left(z_{*},\epsilon\right)$ et par le principe du prolongement
analytique pour les fonctions holomorphes (corollaire \ref{cor:holomorphic-continuation}
dans la section suivante), l'identité est vraie pour tout $U$.}
\end{itemize}
\end{proof}
\begin{cor}
\textsf{\label{cor:existence-of-root-ii}Soit $U$ un domaine simplement
connexe et $f$ une fonction qui ne s'annule pas sur $U$. Alors pour
tout $n\geq1$, il existe une détermination de la racine $n$-ième
de $U$ sur $U$, c'est-à-dire une fonction holomorphe $f_{n}:U\to\mathbb{C}$
telle que $\left(f_{n}\left(z\right)\right)^{n}=f\left(z\right)$
pour tout $z\in U$.}
\end{cor}

\begin{proof}
\textsf{Comme avant, il suffit de prendre $\exp\left(\frac{1}{n}L_{f}\left(z\right)\right)$
dans la proposition \ref{prop:determination-of-log-ii}.}
\end{proof}

\section{\textsf{\protect\label{sec:cauchy-formula}Formule de Cauchy et Analyticité}}

\subsection{\textsf{Motivation}}
\begin{itemize}
\item \textsf{Dans les sections précédentes, on a vu que toute fonction
analytique est holomorphe.}
\item \textsf{On va maintenant voir la réciproque: toute fonction holomorphe
est analytique, et les coefficients de la série entière correspondante
sont donnés par des intégrales de contour.}
\end{itemize}

\subsection{\textsf{Formule de Cauchy}}
\begin{thm}
\textsf{Soit $f:D\left(z,\rho\right)\to\mathbb{C}$ une fonction holomorphe.
On a 
\[
f\left(z\right)=\frac{1}{2\pi i}\oint_{\gamma}\frac{f\left(\zeta\right)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta,
\]
pour tout lacet $\gamma\subset D\left(z,\rho\right)$ homotope (dans
$D\left(z,\rho\right)\setminus\left\{ z\right\} $) à un cercle (orienté
dans le sens trigonométrique) autour de $z$. }
\end{thm}

\begin{proof}
\textsf{Par changement de variable, on peut supposer $z=0$. }
\begin{itemize}
\item \textsf{Comme le contour est homotope à $\partial D\left(0,\epsilon\right)$
pour tout $\epsilon>0$ avec $\epsilon<\rho$, on a que le membre
de droite est égal à
\[
\frac{1}{2\pi i}\oint_{\partial D\left(0,\epsilon\right)}\frac{f\left(\zeta\right)}{\zeta}\mathrm{d}\zeta.
\]
}
\item \textsf{L'idée est maintenant de prendre $\epsilon\to0$.}
\item \textsf{Dans ce cas, $f\left(\zeta\right)$ devrait être très proche
de $f\left(0\right)$ et on se retrouverait à calculer l'intégrale
de la fonction $\zeta\mapsto\frac{1}{\zeta}f\left(0\right)$ (qu'on
a déja calculée en haut). Cela se formalise simplement:}
\item \textsf{On écrit
\begin{align*}
\frac{1}{2\pi i}\oint_{\partial D\left(0,\epsilon\right)}\frac{f\left(\zeta\right)}{\zeta}\mathrm{d}z-f\left(0\right) & =\frac{1}{2\pi i}\oint_{\partial D\left(0,\epsilon\right)}\frac{f\left(\zeta\right)}{\zeta}\mathrm{d}z-\frac{1}{2\pi i}\oint_{\partial D\left(0,\epsilon\right)}\frac{f\left(\zeta\right)}{\zeta}\mathrm{d}z\\
 & =\frac{1}{2\pi i}\oint_{\partial D\left(0,\epsilon\right)}\frac{f\left(\zeta\right)-f\left(0\right)}{\zeta}\mathrm{d}\zeta\\
 & =\frac{1}{2\pi i}\oint_{\partial D\left(0,\epsilon\right)}\left(f'\left(0\right)+\frac{o\left(\zeta\right)}{\zeta}\right)\zeta z.
\end{align*}
}
\item \textsf{Quand $\epsilon\to0$, on a que l'intégrande est borné et
la longueur du contour est $2\pi\epsilon$, donc cela tend clairement
vers $0$. }
\end{itemize}
\end{proof}
\textsf{On peut énoncer le résultat de la manière équivalente: }
\begin{cor}
\textsf{Soit $f:U\to\mathbb{C}$ une fonction holomorphe, $z\in U$,
$\epsilon>0$ tel que $\bar{D}\left(z,\epsilon\right)\subset U$ et
$\gamma$ un lacet dans $U$ homotope (dans $U\setminus\left\{ z\right\} $)
à $\partial D\left(z,\epsilon\right)$, alors on a 
\[
f\left(z\right)=\frac{1}{2\pi i}\oint_{\gamma}\frac{f\left(\zeta\right)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta.
\]
}
\end{cor}

\begin{rem}
\textsf{La formule de Cauchy nous montre que l'holomorphie est une
propriété très forte: la valeur d'une fonction à l'intérieur d'un
contour est complètement déterminée par la valeur sur ce contour.
Plus précisément, la valeur de $f$ en un point $z$ est donnée par
une moyenne pondérée complexe des valeurs de $f\left(\zeta\right)$
le long du contour, où la pondération est donnée par le noyau de Cauchy
$\frac{\mathrm{d}z}{z-z_{*}}$. }
\end{rem}

\textsf{}
%
\begin{rem}
\textsf{\label{rem:deg-of-freedoms-integral-cauchy-formula}Par la
suite, il sera très utile d'exploiter la liberté que l'on a dans le
choix du contour $\gamma$; un degré de liberté supplémentaire est
que l'on peut \textquotedbl repondérer\textquotedbl{} l'intégrale:
si on multiplie $f$ par une fonction holomorphe $g$ telle que $g\left(z_{*}\right)=1$,
on a
\[
f\left(z_{*}\right)=\frac{1}{2\pi i}\oint_{\gamma}\frac{f\left(z\right)g\left(z\right)}{z-z_{*}}\mathrm{d}z=\frac{1}{2\pi i}\oint_{\gamma}f\left(z\right)\frac{g\left(z\right)}{z-z_{*}}\mathrm{d}z.
\]
 }
\end{rem}


\subsection{\textsf{Holomorphie et analyticité}}

\textsf{Grâce à la formule de Cauchy, il est facile d'obtenir le résultat
surprenant d'analyticité des fonctions holomorphes suivant:}
\begin{thm}
\textsf{Si $f:D\left(z_{*},\rho\right)\to\mathbb{C}$ une fonction
holomorphe, elle est analytique et a un développement en série entière
\[
f\left(z\right)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}\left(z-z_{*}\right)^{n},
\]
de rayon de convergence $\geq\rho$, où 
\[
a_{n}=\frac{1}{2\pi i}\oint_{\gamma}\frac{f\left(z\right)}{\left(z-z_{*}\right)^{n+1}}\mathrm{d}z,
\]
pour tout contour $\gamma\subset D\left(z_{*},\rho\right)$ homotope
(dans $D\left(z_{*},\rho\right)\setminus\left\{ z_{*}\right\} $)
à un cercle (orienté dans le sens trigonométrique) autour de $z_{*}$. }
\end{thm}

\begin{proof}
\textsf{Supposons $z_{*}=0$. L'idée est simplement d'utiliser la
formule de Cauchy et d'utiliser le développement en série géométrique
du noyau de Cauchy $\frac{1}{\zeta-z}$. }
\begin{itemize}
\item \textsf{Pour tout $r>0$ avec $r<\rho$, $z\in D\left(0,r\right)$,
on a
\begin{align*}
f\left(z\right) & =\frac{1}{2\pi i}\oint_{\partial D\left(0,r\right)}\frac{f\left(\zeta\right)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta\\
 & =\frac{1}{2\pi i}\oint_{\partial D\left(0,r\right)}\frac{1}{\zeta}f\left(\zeta\right)\frac{1}{1-\frac{z}{\zeta}}\mathrm{d\zeta}\\
 & =\frac{1}{2\pi i}\oint_{\partial D\left(0,r\right)}\frac{1}{\zeta}\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{z}{\zeta}\right)^{n}f\left(\zeta\right)\mathrm{d}\zeta\\
 & =\frac{1}{2\pi i}\oint_{\partial D\left(0,r\right)}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f\left(\zeta\right)}{\zeta^{n+1}}z^{n}\mathrm{d}\zeta\\
 & =\sum_{n=0}^{\infty}z^{n}\frac{1}{2\pi i}\oint_{\partial D\left(0,r\right)}\frac{f\left(\zeta\right)}{\zeta^{n+1}}\mathrm{d}\zeta.
\end{align*}
}
\item \textsf{Le développement en série géométrique est uniformément convergent
pour les $\zeta\in\partial D(0,r$ qui apparaissent sur le chemin,
et le résultat suit immédiatement. }
\item \textsf{Comme la série converge pour sur tout $D\left(0,r\right)$
avec $r<\rho$, on a que le rayon de convergence est $\geq\rho$. }
\end{itemize}
\end{proof}
\textsf{}
%
\begin{rem}
\textsf{Il est facile de deviner la formule pour les $a_{n}$ si on
suppose que $f$ est analytique (prenons $z_{*}=0$)
\[
\frac{1}{2\pi i}\oint_{\gamma}\left(\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}z^{k}\right)\frac{\mathrm{d}z}{z^{n+1}}=\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}\frac{1}{2\pi i}\oint_{\gamma}\frac{z^{k}}{z^{n+1}}\mathrm{d}z=\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}\mathbf{1}_{\left\{ k\right\} }\left(n\right)=a_{n},
\]
où l'échange de série et d'intégrale est facilement justifiable par
la convergence uniforme de la série entière sur les compacts de $D\left(0,\rho\right)$.}
\end{rem}

\textsf{}
%
\begin{rem}
\textsf{Les dérivées de $f$ sont données par (si on prend $z_{*}=0$)
\[
f^{\left(n\right)}\left(0\right)=n!a_{n}=\frac{n!}{2\pi i}\oint_{\gamma}\frac{f\left(z\right)}{z^{n+1}}\mathrm{d}z.
\]
}
\end{rem}

\textsf{Un corollaire de ce théorème est qu'il est plus facile d'être
holomorphe que d'avoir une primitive holomorphe. }
\begin{cor}
\textsf{\label{cor:primitives-are-harder}Si une fonction $f:U\to\mathbb{C}$
a une primitive holomorphe $F$, cette primitive est analytique et
$F'=f$ est donc aussi analytique et donc holomorphe. }
\end{cor}

\textsf{Un autre corollaire très utile est le principe du prolongement
analytique pour les fonctions holomorphes (qu'on a déjà utilisé, sans
le montrer, dans la preuve des propositions \ref{prop:determination-of-log}
et \ref{prop:determination-of-log-ii} de la section précédente):}
\begin{cor}
\textsf{\label{cor:holomorphic-continuation}Si $f,g:U\to\mathbb{C}$
sont des fonctions holomorphes et si $f\left(z\right)=g\left(z\right)$
pour tout $z\in K$ où $K$ a un point d'accumulation dans $U$, alors
$f=g$. }
\end{cor}


\subsection{\textsf{Théorème de Morera}}

\textsf{Un autre corollaire de la formule de Cauchy est le théorème
de Morera, qui donne une condition qui permet garantir l'holomorphie
en termes d'intégrales de contours:}
\begin{cor}[Théorème de Morera]
\textsf{\label{cor:morera-thm}Si $f:U\to\mathbb{C}$ est continue
et satisfait $\oint_{\gamma}f\left(z\right)\mathrm{d}z=0$ pour tout
contour contractible, alors $f$ est holomorphe. }
\end{cor}

\begin{proof}
\textsf{Il suffit de montrer que pour tout $z\in U$, $f$ est holomorphe
sur $D\left(z,\epsilon\right)$ pour un $\epsilon>0$. Comme $f$
satisfait la condition de Morera sur $D\left(z,\epsilon\right)$,
par le théorème \ref{thm:morera-guarantees-primitive}, elle admet
une primitive $D\left(z,\epsilon\right)$ et elle est donc holomorphe
par le corollaire précédent. }
\end{proof}
\begin{rem}
\textsf{La réciproque est vraie: elle est donnée par le théorème \ref{cor:vanishing-closed-contour-integral}.}
\end{rem}

\textsf{Une conséquence particulièrement importante du théorème de
Morera est qu'il nous permet de contrôler les suites de fonctions
holomorphes:}
\begin{prop}
\textsf{\label{prop:holomorphic-limits}Soit $\left(f_{n}\right)_{n\geq0}$
une suite de fonctions holomorphes $f_{n}:U\to\mathbb{C}$ qui converge
uniformément sur les compacts de $U$ vers $f:U\to\mathbb{C}$ quand
$n\to\infty$. Alors $f$ est holomorphe.}
\end{prop}

\begin{proof}
\textsf{Il faut montrer que $f$ est continue et satisfait localement
la condition de Morera:}
\begin{itemize}
\item \textsf{On a que $f$ est continue par la convergence normale (la
limite uniforme de fonctions continue est toujours continue; c'est
la même preuve qu'en Analyse réelle). }
\item \textsf{Soit $z\in U$ et $\epsilon>0$ tel que $D\left(z,\epsilon\right)\subset U$;
on veut montrer que $f$ est holomorphe sur $D\left(z,\epsilon\right)$. }
\item \textsf{Soit $\gamma\subset D\left(z,\epsilon\right)$ un lacet; comme
$f_{n}$ converge uniformément sur un voisinage de $\gamma$, on a
$\oint_{\gamma}f_{n}\left(z\right)\mathrm{d}z\underset{n\to\infty}{\longrightarrow}\oint_{\gamma}f\left(z\right)\mathrm{d}z$.}
\item \textsf{Mais comme $\oint_{\gamma}f_{n}\left(z\right)\mathrm{d}z=0$
par holomorphie de $f_{n}$, on a $\oint_{\gamma}f\left(z\right)\mathrm{d}z=0$.}
\item \textsf{En conséquence, $f$ satisfait la condition de Morera sur
$D\left(z,\epsilon\right)$ et elle est donc holomorphe sur $D\left(z,\epsilon\right)$;
elle est donc holomorphe au voisinage de tout point $z\in U$ et donc
sur tout $U$. }
\end{itemize}
\end{proof}
\textsf{Comme corollaire, on obtient naturellement que les séries
convergentes de fonctions holomorphes sont holomorphes:}
\begin{cor}
\textsf{\label{cor:holomorphic-series}Soit $\left(f_{n}\right)_{n\geq0}$
une suite de fonctions holomorphes $f_{n}:U\to\mathbb{C}$ avec pour
tout compact $K\subset U$, 
\[
\sum_{n=0}^{\infty}\|f_{n}\|_{\infty,K}<+\infty,
\]
où $\|f_{n}\|_{\infty,K}=\sup_{z\in K}\left|f\left(z\right)\right|$.
Alors la série
\[
\sum_{n=0}^{\infty}f_{n}\left(z\right)
\]
 converge normalement vers une fonction holomorphe.}
\end{cor}

\begin{proof}
\textsf{La convergence normale de la suite des sommes partielles $S_{N}=\sum_{n=0}^{N}f_{n}$
est garantie par la convergence de $\sum_{n=0}^{\infty}\|f_{n}\|_{\infty,K}$,
et on peut appliquer la proposition \ref{prop:holomorphic-limits}.}
\end{proof}

\section{\textsf{Applications de la formule de Cauchy}}

\subsection{\textsf{Motivation}}
\begin{itemize}
\item \textsf{Grâce à la formule de Cauchy, on a vu que la condition d'holomorphie
garantit des propriétés remarquables. }
\item \textsf{En particulier, les valeurs qu'une fonction holomorphe peut
prendre sont fortement contraintes par le fait que les valeurs le
long d'un contour déterminent les valeurs à l'intérieur.}
\item \textsf{On va voir des propriétés qualitatives fondamentales du comportement
global des fonctions holomorphes.}
\item \textsf{Les deux outils que nous allons utiliser sont des dérivés
de la formule de Cauchy, appelés inégalités de Cauchy et formule de
Parseval. }
\end{itemize}

\subsection{\textsf{Inégalités de Cauchy}}

\textsf{Soit $f:U\to\mathbb{C}$ une fonction holomorphe et $z\in U$
et soit $f\left(\zeta\right)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}\left(\zeta-z\right)^{n}$
son développement en série. A partir de la formule de Cauchy, on obtient
des inégalités sur les coefficients du développement en série de $f$. }
\begin{prop}[Inégalités de Cauchy]
\textsf{Pour tout entier $n\geq0$ et tout $r>0$ tel que $\bar{D}\left(z,r\right)\subset U$,
on a
\[
\left|a_{n}\right|\leq r^{-n}\max_{\zeta\in\partial D\left(z,r\right)}\left|f\left(\zeta\right)\right|.
\]
}
\end{prop}

\begin{proof}
\textsf{Cela suit d'une majoration directe:
\[
\left|a_{n}\right|=\left|\frac{1}{2\pi i}\oint_{\partial D\left(z,r\right)}\frac{f\left(\zeta\right)}{\zeta^{n+1}}\mathrm{d}\zeta\right|\leq r^{-n+1}\frac{\ell\left(\partial D\left(z,r\right)\right)}{2\pi}\sup_{\zeta\in\partial D\left(z,r\right)}\left|f\left(\zeta\right)\right|\leq r^{-n}\sup_{\zeta\in\partial D\left(z,r\right)}\left|f\left(\zeta\right)\right|.
\]
 }
\end{proof}


\subsection{\textsf{Formule de Parseval}}

\textsf{On a un contrôle plus fin sur les coefficients grâce (une
variante de) la formule de Parseval:}
\begin{prop}[Formule de Parseval]
\textsf{Pour tout $r>0$ tel que $\bar{D}\left(z,r\right)\subset U$,
on a
\[
\sum_{n=0}^{\infty}r^{2n}\left|a_{n}\right|^{2}=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}\left|f\left(z+re^{i\theta}\right)\right|\mathrm{^{2}d}\theta
\]
}
\end{prop}

\begin{rem}
\textsf{L'idée conceptuelle derrière cette formule et que l'on calcule
deux fois le carré la norme de $f:\partial D\left(z,r\right)\to\mathbb{C}$:
à droite de manière \textquotedbl directe\textquotedbl , à gauche
en prenant la somme des coefficients de $f$ dans la \textquotedbl base
orthonormée\textquotedbl{} $\left(z\mapsto z^{n}\right)_{n=0,1,\ldots}$
(cela deviendra plus clair dans le cours d'Analyse de Fourier).}
\end{rem}

\begin{proof}
\textsf{On écrit et on intègre:}
\begin{itemize}
\item \textsf{On écrit les valeurs en terme du développement en série:
\begin{align*}
\left|f\left(z+re^{i\theta}\right)\right|^{2} & =f\left(z+re^{i\theta}\right)\overline{f\left(z+re^{i\theta}\right)}\\
 & =\left(\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}r^{n}e^{in\theta}\right)\overline{\left(\sum_{m=0}^{\infty}a_{m}r^{m}e^{im\theta}\right)}\\
 & =\sum_{n,m=0}^{\infty}a_{n}\bar{a}_{m}r^{n+m}e^{i\left(n-m\right)\theta}.
\end{align*}
}
\item \textsf{Maintenant si on intègre par rapport à $\theta$ et divise
par $2\pi$ on obtient
\[
\frac{1}{2\pi}\sum_{n,m=0}^{\infty}a_{n}\bar{a}_{m}r^{n+m}\int_{0}^{2\pi}e^{i\left(n-m\right)\theta}\mathrm{d}\theta,
\]
et comme $\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}e^{i\left(n-m\right)\theta}\mathrm{d}\theta=\begin{cases}
1 & \text{si }n=m\\
0 & \text{sinon}
\end{cases}$, on obtient 
\[
\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}\bar{a}_{n}r^{2n}=\sum_{n=0}^{\infty}\left|a_{n}\right|^{2}r^{2n}.
\]
 }
\end{itemize}
\end{proof}


\subsection{\textsf{Principe du maximum}}

\textsf{Une première conséquence remarquable des inégalités de Cauchy
est le principe du maximum (du module d'une fonction holomorphe).}
\begin{thm}[Principe du maximum]
\textsf{Soit $U$ un domaine et $f:U\to\mathbb{C}$ une fonction
holomorphe. Si $\left|f\right|$ admet un maximum local en un point
$z\in U$, alors $f$ est constante. }
\end{thm}

\begin{proof}
\textsf{Supposons que $z=0$. }
\begin{itemize}
\item \textsf{Si $\left|f\right|$ admet un maximum local en $0$, il existe
un $r>0$ tel que 
\[
\left|f\left(0\right)\right|\geq\max_{\zeta\in\partial D\left(0,r\right)}\left|f\left(\zeta\right)\right|.
\]
 }
\item \textsf{Mais en même temps, par la formule de Parseval
\[
\sum_{n=1}^{\infty}r^{2n}\left|a_{n}\right|^{2}=\sum_{n=0}^{\infty}r^{2n}\left|a_{n}\right|^{2}-\left|a_{0}\right|^{2}=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}\left[\left|f\left(re^{i\theta}\right)\right|^{2}-\left|f\left(0\right)\right|^{2}\right]\mathrm{d}\theta\leq\max_{\zeta\in\partial D\left(0,r\right)}\left[\left|f\left(\zeta\right)\right|^{2}-\left|f\left(0\right)\right|^{2}\right]\leq0.
\]
 }
\item \textsf{On en déduit que tous les $a_{n}$ avec $n\geq1$ doivent
être nuls, donc $f$ est constante au voisinage de $0$. }
\item \textsf{Par le principe de zéros isolés, $f$ est constante. }
\end{itemize}
\end{proof}


\subsection{\textsf{Fonctions entières et théorème de Liouville}}
\begin{defn}
\textsf{Une fonction holomorphe $f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}$ est dite
entière.}
\end{defn}

\begin{thm}[Théorème de Liouville]
\textsf{Une fonction entière bornée est constante.}
\end{thm}

\begin{proof}
\textsf{Montrons que la dérivée de $f$ est nulle en tout point. }
\begin{itemize}
\item \textsf{Pour tout $z\in\mathbb{C}$ et tout $r>0$, on a, par l'inégalité
de Cauchy:
\[
\left|f'\left(z\right)\right|\leq\frac{1}{r}\max_{\zeta\in\partial D\left(z,r\right)}\left|f\left(\zeta\right)\right|.
\]
 }
\item \textsf{En faisant tendre $r\to\infty$, si $\sup_{\zeta}\left|f\left(\zeta\right)\right|<\infty$,
on obtient $f'\left(z\right)=0$.}
\item \textsf{Comme c'est vrai pour tout $z$, on en déduit que $f$ est
constante. }
\end{itemize}
\end{proof}
\begin{xca}
\textsf{Montrer qu'une fonction telle que que $\frac{\left|f\left(z\right)\right|}{\left(1+\left|z\right|^{n}\right)}$
est bornée est nécessairement un polynôme de degré $\leq n$. }
\end{xca}

\textsf{}
%
\begin{xca}
\textsf{Trouver une fonction holomorphe $f:\mathbb{C}\setminus\mathbb{R}_{-}\to\mathbb{C}$
bornée et non constante. }
\end{xca}


\subsection{\textsf{Théorème fondamental de l'algèbre (bis)}}

\textsf{Grâce au théorème de Liouville, on arrive à une preuve particulièrement
simple du théorème fondamental de l'algèbre:}
\begin{thm}[Théorème fondamental de l'algèbre (Gauss-d'Alembert)]
\textsf{Soit $P\left(z\right)=\sum_{k=0}^{n}a_{k}z^{k}$ un polynôme
non constant. Alors il existe $z_{*}$ tel que $P\left(z_{*}\right)=0.$}
\end{thm}

\begin{proof}
\textsf{C'est une preuve par l'absurde:}
\begin{itemize}
\item \textsf{Supposons que $P$ est un polynôme non constant qui ne s'annule
pas.}
\item \textsf{La fonction $z\mapsto\frac{1}{P\left(z\right)}$ est alors
une fonction entière.}
\item \textsf{De plus, elle tend vers $0$ à l'infini, puisque $\left|P\left(z\right)\right|\to\infty$
quand $\left|z\right|\to\infty$ (voir première preuve du théorème). }
\item \textsf{Donc elle est bornée, et donc constante, contradiction. }
\end{itemize}
\end{proof}
\begin{rem}
\textsf{Une autre manière de voir ce théorème est de dire que les
polynômes prennent toutes les valeurs.}
\end{rem}

\textsf{}
%
\begin{rem}
\textsf{\label{rem:entire-function-take-almost-all-values}Les fonctions
entières ne prennent pas toutes les valeurs (par exemple la fonction
$\exp$ ne s'annule pas); un théorème (que nous ne prouverons pas)
dit qu'en fait elles peuvent éviter au plus une valeur. }
\end{rem}


\subsection{\textsf{Densité de l'image d'une fonction entière}}

\textsf{On va voir maintenant une conséquence simple et intéressante
du théorème de Liouville qui est une version faible de la remarque
\ref{rem:entire-function-take-almost-all-values} ci-dessus.}
\begin{prop}
\textsf{Soit $f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}$ une fonction entière non
constante. On a que $f\left(\mathbb{C}\right)$ est dense dans $\mathbb{C}$.}
\end{prop}

\begin{proof}
\textsf{On procède à nouveau par l'absurde}
\begin{itemize}
\item \textsf{Supposons qu'il existe une valeur $w\in\mathbb{C}$ telle
que $w$ ne soit pas dans l'adhérence de $f\left(\mathbb{C}\right)$.}
\item \textsf{Dans ce cas, il existe $\epsilon>0$ tel que $\left|f\left(z\right)-w\right|\geq\epsilon$
pour tout $z\in\mathbb{C}$.}
\item \textsf{On déduit alors que $\frac{1}{f\left(z\right)-w}$ est entière
et bornée, car $\left|\frac{1}{f\left(z\right)-w}\right|\leq\frac{1}{\epsilon}$.}
\item \textsf{Elle est donc constante, contradiction. }
\end{itemize}
\end{proof}


\subsection{\textsf{Théorème de l'application ouverte}}

\textsf{Un théorème qui est souvent utile (en particulier pour prouver
le théorème de l'application conforme de Riemann) dit que l'image
d'un ouvert par une fonction holomorphe est toujours ouvert:}
\begin{thm}[Théorème de l'application ouverte]
\textsf{Soit $f:U\to\mathbb{C}$ une fonction holomorphe non constante.
Alors pour tout ouvert $V\subset U$, l'image $f\left(V\right)=\left\{ f\left(u\right):u\in U\right\} $
est un ouvert.}
\end{thm}

\begin{proof}
\textsf{Pour $z_{*}\in U$, montrons qu'il existe $\epsilon>0$ tel
que $D\left(f\left(z_{*}\right),\epsilon\right)\subset f\left(V\right)$.}
\begin{itemize}
\item \textsf{Par changement de variable, on peut supposer que $z_{*}=0$,
et en remplaçant $f$ par $f-f\left(z_{*}\right)$, on peut supposer
que $f\left(z_{*}\right)=0$. }
\item \textsf{Si on écrit le de développement de $f$ en $z_{*}=0$, on
a, en utilisant $f\left(0\right)=0$:
\[
f\left(z\right)=\sum_{k=1}^{\infty}a_{k}z^{k}.
\]
}
\item \textsf{Si on note $n=\min\left\{ k\geq1:a_{k}\neq0\right\} \geq1$
l'indice du premier coefficient non nul, on a que 
\[
f\left(z\right)=z^{n}g\left(z\right),
\]
où $g\left(z\right)=\sum_{k=0}^{\infty}a_{n+k}z^{k}$, avec $\varphi\left(0\right)\neq0$.}
\item \textsf{Comme $g\left(0\right)\neq0$ et $g$ est continue, il existe
$\epsilon>0$ tel que $g\left(z\right)\neq0$ pour tout $z\in D\left(0,\epsilon\right)$.}
\item \textsf{Par le corollaire \ref{prop:determination-of-log}, il existe
une détermination de la racine $n$-ième $z\mapsto\sqrt[n]{g\left(z\right)}$
sur $D\left(0,\epsilon\right)$. }
\item \textsf{Notons $\varphi$ la fonction $z\mapsto z\sqrt[n]{g\left(z\right)}$,
de sorte qu'au voisinage de $0$, on a $f\left(z\right)=\varphi^{n}\left(z\right)$
au voisinage de $0$, où $\varphi'\left(z\right)\neq0$.}
\item \textsf{Par le théorème de la fonction inverse, $\varphi$ est un
difféomorphisme au voisinage de $0$, et donc $\varphi$ envoie un
voisinage de $0$ vers un voisinage de $0$. }
\item \textsf{Il suit que l'image de $f$ contient un voisinage de $0$
à la puissance $n$, ce qui est toujours un voisinage de $0$. }
\end{itemize}
\end{proof}


\subsection{\textsf{Limites de fonctions holomorphes}}

\textsf{Une conséquence de la formule de Cauchy très utile nous garantit
la convergence des dérivées des fonctions holomorphes:}
\begin{prop}
\textsf{\label{prop:conv-of-derivatives-of-holomorphic-functions}Soit
$\left(f_{n}\right)_{n\geq0}$ une suite de fonctions holomorphes
$f_{n}:U\to\mathbb{C}$ qui converge uniformément sur les compacts
vers une fonction $f:U\to\mathbb{C}$. Alors $f$ est holomorphe et
toutes les dérivées $k$-ièmes $f_{n}^{\left(k\right)}:U\to\mathbb{C}$
convergent uniformément sur les compacts vers les dérivées $k$-ièmes
$f^{\left(k\right)}$ de $f$.}
\end{prop}

\begin{proof}
\textsf{On a déjà vu que $f$ est holomorphe dans la proposition \ref{prop:holomorphic-limits}.}
\begin{itemize}
\item \textsf{Sur tout disque fermé $\bar{D}\left(z_{*},2\epsilon\right)\subset U$,
les valeurs des dérivées peuvent être exprimées en termes d'une intégrale
de contour de 
\[
\frac{f_{n}\left(\zeta\right)}{\left(\zeta-z\right)^{k+1}}
\]
 sur le lacet $\partial D\left(z,2\epsilon\right)$.}
\item \textsf{Sur un voisinage de $\gamma$ (pour tout $k$ fixé) la fonction
\[
\zeta\mapsto\frac{f_{n}\left(\zeta\right)}{\left(\zeta-z\right)^{k+1}},
\]
converge vers
\[
\zeta\mapsto\frac{f\left(\zeta\right)}{\left(\zeta-z\right)^{k+1}},
\]
où la convergence est uniforme par rapport à $z\in\bar{D}\left(z_{*},\epsilon\right)$:
cela suit du fait que $\frac{1}{\left(\zeta-z\right)^{k+1}}$ est
uniformément bornée par rapport à $z\in\bar{D}\left(z_{*},\epsilon\right)$
et à $\zeta\in\partial D\left(z_{*},2\epsilon\right)$.}
\item \textsf{Ainsi
\[
\oint_{\gamma}\frac{f_{n}\left(\zeta\right)}{\left(\zeta-z\right)^{k+1}}\mathrm{d}\zeta\underset{n\to\infty}{\longrightarrow}\oint_{\gamma}\frac{f\left(\zeta\right)}{\left(\zeta-z\right)^{k+1}}\mathrm{d}\zeta
\]
 et ainsi on obtient la convergence des dérivées. }
\end{itemize}
\end{proof}

\section{\textsf{Singularités, zéros et fonctions méromorphes}}

\subsection{\textsf{Motivation}}
\begin{itemize}
\item \textsf{En analyse réelle, on ne peut pas diviser des fonctions sans
faire attention aux divisions par zéro, qui peuvent se produire partout.}
\item \textsf{En analyse complexe, on ne peut pas diviser par la fonction
identiquement nulle, mais pour tout autre fonction, le principe des
zéros isolés nous dit que l'on créera des \textquotedbl explosions\textquotedbl ,
appelées singularités, en des points isolés.}
\item \textsf{Il se trouve que l'on peut très bien travailler avec des fonctions
holomorphes qui ont des singularités, comme la fonction $z\mapsto\frac{1}{z}$:
on les appelle des fonctions méromorphes. }
\item \textsf{La théorie devient un peu plus subtile, mais on va voir qu'on
peut très bien décrire le comportement des fonctions méromorphes autour
de leurs pôles, avec des séries entières contenant des termes négatifs. }
\end{itemize}


\subsection{\textsf{Séries de Laurent}}

\textsf{L'idée des séries de Laurent est de généraliser les séries
entières aux degrés négatifs. }
\begin{rem}
\textsf{Pour alléger les notations, on va centrer les séries en $0$:
pour considérer les séries centrées en $z_{*}$, il suffit de remplacer
$z$ par $z-z_{*}$.}
\end{rem}

\begin{defn}
\textsf{Une série de Laurent (formelle) centrée en $0$ est une expression
de la forme $\sum_{k=-\infty}^{\infty}a_{k}z^{k}$ où $\left(a_{k}\right)_{k\in\mathbb{Z}}$
est une suite bi-infinie, indicée par les entiers relatifs; la série
$\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}z^{k}$ est appelée la partie régulière de
la série et la série $\sum_{k=1}^{\infty}a_{-k}z^{-k}$ est appelée
la partie singulière (ou principale). }
\end{defn}

\textsf{}
%
\begin{defn}
\textsf{On dit que la série de Laurent $\sum_{k=-\infty}^{\infty}a_{k}z^{k}$
converge en $z$ si les séries $\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}z^{k}$ et
$\sum_{k=1}^{\infty}a_{-k}z^{-k}$ convergent.}
\end{defn}


\subsection{\textsf{Anneau de convergence}}

\textsf{La question la plus fondamentale pour étudier les séries entières
est celle de leur rayon de convergence.}
\begin{defn}
\textsf{On appelle anneau (ou couronne) ouvert centré en $z_{*}$
de rayons $r,R\in\left[0,\infty\right]$ avec $r<R$ l'ensemble $A\left(z_{*},r,R\right)$
défini par 
\[
A\left(z,r,R\right)=\left\{ z\in\mathbb{C}:r<\left|z-z_{*}\right|<R\right\} =D\left(z_{*},R\right)\setminus\bar{D}\left(z_{*},r\right),
\]
}
\end{defn}

\begin{rem}
\textsf{Pour les séries de Laurent: si la partie régulière $\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}z^{k}$
converge sur le disque $D\left(0,R\right)$ et la partie singulière
$\sum_{k=1}^{\infty}a_{-k}w^{k}$ (en posant $w=\frac{1}{z}$) converge
pour $w\in D\left(0,\rho\right)$, on a que $\sum_{k=-\infty}^{\infty}a_{k}z^{k}$
converge dès que $\left|z\right|<R$ et $\left|z\right|=\frac{1}{\left|w\right|}>\frac{1}{\rho}$,
c'est-à-dire si $z\in A\left(0,\frac{1}{\rho},R\right)$. }
\end{rem}

\begin{defn}
\textsf{On appelle anneau de convergence de la série de Laurent $\sum_{k=-\infty}^{\infty}a_{k}z^{k}$
l'anneau $A\left(0,r,R\right)$ où $R$ est le rayon de convergence
de la partie régulière et $r=\frac{1}{\rho}$ où $\rho$ est l'inverse
du rayon de convergence de la partie singulière en fonction de $w=\frac{1}{z}$,
donnée par $\sum_{k=1}^{\infty}a_{-k}w^{k}$. }
\end{defn}

\begin{lem}
\textsf{\label{lem:laurent-is-holomorphic}La série de Laurent définit
une fonction holomorphe sur son anneau de convergence. La convergence
est uniforme sur les sous-ensembles compacts de l'anneau de convergence. }
\end{lem}

\begin{proof}
\textsf{Il suffit d'utiliser que la partie régulière est holomorphe
en fonction de $z$ et que la partie singulière est holomorphe en
fonction de $w$ (mais donc aussi en fonction de $z$ par composition,
car $w=\frac{1}{z}$). }
\end{proof}
\begin{rem}
\textsf{On peut dériver terme à terme les séries de Laurent exactement
de la même manière que les séries entières. }
\end{rem}

\begin{example}
\textsf{La série $\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}z^{k}$ avec $a_{k}=1$
pour tout $k\geq0$ et $a_{k}=2^{k}$ pour $k<0$ a pour annneau de
convergence $A\left(0,\frac{1}{2},1\right)$. }
\end{example}

\begin{xca}
\textsf{La série $\sum_{k=-\infty}^{\infty}\frac{1}{\left|k\right|!}z^{k}$
a pour anneau de convergence $A\left(0,\infty\right)=\mathbb{C}^{*}$. }
\end{xca}


\subsection{\textsf{Formule de Cauchy sur l'anneau}}
\begin{itemize}
\item \textsf{Le lemme \ref{lem:laurent-is-holomorphic} nous dit que les
séries de Laurent définissent des fonctions holomorphes sur les anneaux.}
\item \textsf{On va montrer maintenant la réciproque: à toute fonction holomorphe
sur un anneau $A\left(0,r,R\right)$ est associée une série de Laurent
qui converge sur l'anneau.}
\item \textsf{L'outil central pour cela est la formule de Cauchy sur l'anneau.}
\end{itemize}
\begin{prop}[Formule de Cauchy sur l'anneau]
\textsf{\label{prop:cauchy-formula-annulus}Soit $f:U\to\mathbb{C}$
une fonction holomorphe où $U\supset\bar{A}\left(0,r,R\right)$. Pour
tout $z\in A\left(0,r,R\right)$ on a
\[
f\left(z\right)=\frac{1}{2\pi i}\oint_{\partial D\left(0,R\right)}\frac{f\left(\zeta\right)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta-\frac{1}{2\pi i}\oint_{\partial D\left(0,r\right)}\frac{f\left(\zeta\right)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta.
\]
 }
\end{prop}

\begin{rem}
\textsf{Une manière peut-être plus intuitive de comprendre le signe
$-$ devant le deuxième terme du membre de droite est de se dire qu'on
fait une intégrale de contour $\partial D\left(0,r\right)$ dans le
sens horaire (le sens inverse du sens trigonométrique). }
\end{rem}

\begin{proof}
\textsf{C'est une simple preuve par déformation de contour. }
\begin{itemize}
\item \textsf{Pour simplifier les notations, supposons $z\in A\left(0,r,R\right)\setminus\mathbb{R}_{-}$. }
\item \textsf{On part d'un petit lacet $\partial D\left(z,\epsilon\right)\subset A\left(0,r,R\right)$
centré en $z$, pour lequel on a
\[
f\left(z\right)=\frac{1}{2\pi i}\oint_{\partial D\left(z,\epsilon\right)}\frac{f\left(\zeta\right)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta
\]
 par la formule de Cauchy.}
\item \textsf{On agrandit ce lacet dans l'anneau jusqu'au moment où il touche
les bords de l'anneau tout en restant un contour simple (sans point
double), et qu'il devient de la forme $\partial\Omega_{\theta}$,
où 
\[
\Omega_{\theta}=\left\{ z\in A\left(0,r,R\right):\mathrm{Arg}\left(z\right)\in\left(-\theta,\theta\right)\right\} .
\]
}
\item \textsf{Quand $\theta\to\pi$, le lacet n'est plus simple: il parcourt
deux fois $A\left(0,r,R\right)\cap\mathbb{R}_{-}$ dans deux sens
opposés.}
\item \textsf{Les contributions qui ne s'annulent pas sont celles de $\partial D\left(0,R\right)$
et $\partial D\left(0,r\right)$; ce dernier est orienté dans le sens
horaire.}
\item \textsf{On peut orienter $\partial D\left(0,r\right)$ dans le sens
trigonométrique en changeant le signe de l'intégrale, ce qui donne
le résultat. }
\end{itemize}
\end{proof}


\subsection{\textsf{Holomorphie sur l'anneau et séries de Laurent}}

\textsf{De même que la formule de Cauchy implique l'analyticité, la
formule de Cauchy sur l'anneau implique l'existence d'une représentation
en série de Laurent:}
\begin{thm}
\textsf{\label{thm:holomorphic-on-annulus-has-laurent-series}Soit
$f:U\to\mathbb{C}$ une fonction holomorphe où $U\supset\bar{A}\left(0,r,R\right)$.
On a que $f$ a une représentation en série de Laurent convergente
sur (uniformément sur les compacts de) $A\left(0,r,R\right)$:
\[
f\left(z\right)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}a_{k}z^{k},
\]
où 
\[
a_{k}=\frac{1}{2\pi i}\oint_{\gamma}\frac{f\left(\zeta\right)}{\zeta^{k+1}}\mathrm{d}\zeta,
\]
pour tout $\gamma$ homotope à $\partial D\left(0,R\right)$ dans
$U$.}
\end{thm}

\begin{proof}
\textsf{La preuve est similaire à celle qui donne l'analyticité des
fonctions holomorphes:}
\begin{itemize}
\item \textsf{Par la formule de Cauchy sur l'anneau, on obtient, pour tout
$z\in A\left(0,r,R\right)$:
\[
f\left(z\right)=\frac{1}{2\pi i}\oint_{\partial D\left(0,R\right)}\frac{f\left(\zeta\right)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta-\frac{1}{2\pi i}\oint_{\partial D\left(0,r\right)}\frac{f\left(\zeta\right)}{\zeta-z}\mathrm{d}\zeta
\]
}
\item \textsf{Pour $\zeta\in\partial D\left(0,R\right)$, on développe 
\[
\frac{1}{\zeta-z}=\frac{1}{\zeta}\frac{1}{1-\frac{z}{\zeta}}=\frac{1}{\zeta}\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{z}{\zeta}\right)^{n}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^{n}}{\zeta^{n+1}}
\]
 comme avant. }
\item \textsf{Pour $\zeta\in\partial D\left(0,r\right)$, on développe
\[
-\frac{1}{\zeta-z}=\frac{1}{z}\frac{1}{1-\frac{\zeta}{z}}=\frac{1}{z}\frac{1}{\frac{\zeta}{z}-1}=\frac{1}{z}\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{\zeta}{z}\right)^{n}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\zeta^{n}}{z^{n+1}}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\zeta^{n-1}}{z^{n}}=\sum_{n=-1}^{\infty}\frac{z^{n}}{\zeta^{n+1}}.
\]
 }
\item \textsf{En mettant les morceaux ensembles, on obtient
\begin{align*}
f\left(z\right) & =\frac{1}{2\pi i}\oint_{\partial D\left(0,R\right)}f\left(\zeta\right)\left(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^{n}}{\zeta^{n+1}}\right)\mathrm{d}\zeta+\frac{1}{2\pi i}\oint_{\partial D\left(0,r\right)}f\left(\zeta\right)\left(\sum_{n=-1}^{\infty}\frac{z^{n}}{\zeta^{n+1}}\right)\mathrm{d}\zeta\\
 & =\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1}{2\pi i}\oint_{\partial D\left(0,R\right)}\frac{f\left(\zeta\right)}{\zeta^{n+1}}\mathrm{d}\zeta\right)z^{n}+\sum_{n=-1}^{\infty}\left(\frac{1}{2\pi i}\oint_{\partial D\left(0,r\right)}\frac{f\left(\zeta\right)}{\zeta^{n+1}}\mathrm{d}\zeta\right)z^{n}.
\end{align*}
}
\item \textsf{Maintenant, comme $f\left(\zeta\right)/\zeta^{n+1}$ est holomorphe
sur $A\left(0,r,R\right)$ on a que 
\[
\frac{1}{2\pi i}\oint_{\partial D\left(0,R\right)}\frac{f\left(\zeta\right)}{\zeta^{n+1}}\mathrm{d}\zeta=a_{n},
\]
où les $a_{n}$ sont comme dans l'énoncé du théorème. }
\item \textsf{Finalement, on obtient
\[
f\left(z\right)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}z^{n}+\sum_{n=-1}^{-\infty}a_{n}z^{n}=\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_{n}z^{n},
\]
comme désiré. }
\end{itemize}
\end{proof}
\textsf{A partir de ce théorème, on obtient le résultat un peu plus
agréable (et strictement équivalent):}
\begin{cor}
\textsf{\label{cor:cauchy-annulus-clean}Soit $f:A\left(0,r,R\right)\to\mathbb{C}$
une fonction holomorphe, on a que $f$ a une représentation en série
de Laurent 
\[
f\left(z\right)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}a_{k}z^{k}
\]
qui converge uniformément sur les compacts de $A\left(0,r,R\right)$,
où 
\[
a_{k}=\frac{1}{2\pi i}\oint_{\gamma}\frac{f\left(\zeta\right)}{\zeta^{k+1}}\mathrm{d}\zeta,
\]
où $\gamma$ est homotope au cercle $\partial D\left(0,\frac{r+R}{2}\right)$
dans $A\left(0,r,R\right)$. }
\end{cor}

\begin{proof}
\textsf{Cela suit directement du théorème. }
\end{proof}
\begin{cor}
\textsf{Pour une fonction holomorphe $f:A\left(0,r,R\right)\to\mathbb{C}$,
il existe une fonction holomorphe $f_{\mathrm{int}}:D\left(0,R\right)\to\mathbb{C}$
et une fonction holomorphe $f_{\mathrm{ext}}:\mathbb{C}\setminus\bar{D}\left(0,r\right)\to\mathbb{C}$
telles que sur $A\left(0,r,R\right)$, on ait $f=f_{\mathrm{int}}+f_{\mathrm{ext}}$.}
\end{cor}

\begin{proof}
\textsf{On prend simplement les fonctions holomorphes $f_{\mathrm{int}}$
et $f_{\mathrm{ext}}$ données par la partie régulière et la partie
singulière du développement en série de Laurent de $f$. La partie
régulière a rayon de convergence au moins $R$, la partie singulière
en fonction de $w=\frac{1}{z}$ a rayon de convergence au moins $\frac{1}{r}$,
et le résultat suit. }
\end{proof}


\subsection{\textsf{Singularités}}

\textsf{Le cas le plus simple de fonction holomorphe définie sur un
anneau est celui d'une fonction définie sur un disque épointé $D\left(z_{*},r\right)\setminus\left\{ z_{*}\right\} =A\left(z_{*},0,r\right)$.}
\begin{defn}
\textsf{On dit qu'une fonction holomorphe $f:U\to\mathbb{C}$ a une
singularité en $z_{*}\notin U$ s'il existe $\epsilon>0$ tel que
$A\left(z_{*},0,\epsilon\right)\subset U$. }
\end{defn}

\begin{rem}
\textsf{Une fonction holomorphe avec singularité en $z_{*}$ admet
un développement en série de Laurent qui converge par le corollaire
\ref{cor:cauchy-annulus-clean}.}
\end{rem}

\begin{defn}
\textsf{Soit $f:U\to\mathbb{C}$ une fonction holomorphe avec développement
en série de Laurent en $z_{*}$:
\[
f\left(z\right)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_{n}\left(z-z_{*}\right)^{n}.
\]
On appelle valuation de $f$ en $z_{*}$ et on note $v_{z_{*}}\left(f\right)\in\mathbb{Z}\cup\left\{ \pm\infty\right\} $
la quantité $\inf\left\{ n\in\mathbb{Z}:a_{n}\neq0\right\} $.}
\end{defn}

\begin{rem}
\textsf{La valuation dénote l'indice du premier terme non nul, s'il
existe; si tous les coefficients sont nuls, on a $v_{z_{*}}\left(f\right)=+\infty$
et s'il y a un nombre infini de coefficients négatifs, on a $v_{z_{*}}\left(f\right)=-\infty$. }
\end{rem}

\begin{defn}
\textsf{Soit $f:U\to\mathbb{C}$ une fonction holomorphe. Soit $z_{*}\notin U$
une singularité, soit $\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_{n}\left(z-z_{*}\right)^{n}$
le développement de $f$ en série de Laurent.}
\begin{itemize}
\item \textsf{On dit que $z_{*}$ est une singularité effaçable (ou illusoire)
si la partie singulière est nulle: $a_{k}=0$ pour tout $k<0$: en
d'autres termes $v_{z_{*}}\left(f\right)\geq0$.}
\item \textsf{On dit que $z_{*}$ est méromorphe en $z_{*}$ (ou a un pôle
en $z_{*}$) si la partie singulière contient un nombre fini de termes
non nuls: en d'autres termes $v_{z_{*}}\left(f\right)\in-\mathbb{N}^{*}$. }
\item \textsf{On dit que $z_{*}$ a une singularité essentielle en $z_{*}$
si la partie singulière contient un nombre infini de termes non nuls:
en d'autres termes $v_{z_{*}}\left(f\right)=-\infty$. }
\end{itemize}
\end{defn}

\textsf{}
%
\begin{defn}
\textsf{On dit qu'une fonction méromorphe en $z_{*}$ a un pôle d'ordre
$n$ si le coefficient de $\frac{1}{\left(z-z_{*}\right)^{n}}$ est
non nul et c'est le plus grand avec cette propriété (on appelle un
pôle d'ordre $1$ un pôle simple, un pôle d'ordre $2$ un pôle double,
etc.): en d'autres termes $n=-v_{z_{*}}\left(f\right)\in\mathbb{N}^{*}$. }
\end{defn}

\begin{example}
\textsf{La fonction $z\mapsto\sin\left(1/z\right)$ a une singularité
essentielle en $0$.}
\end{example}

\textsf{}
%
\begin{example}
\textsf{La fonction $z\mapsto1/\sin\left(z\right)$ a des pôles simples
sur $\pi\mathbb{Z}$. }
\end{example}

\begin{xca}
\textsf{Que dire des singularités de la fonction $z\mapsto1/\sin\left(1/z\right)$
et de la fonction $z\mapsto\sin\left(1/\sin\left(1/z\right)\right)$? }
\end{xca}


\subsection{Propriétés de base des singularités}

\textsf{Les singularités effaçables sont faciles à caractériser. }
\begin{prop}
\textsf{Une fonction holomorphe $f:U\to\mathbb{C}$ a une singularité
effaçable en $z_{*}\notin U$ si et seulement si $\left|f\right|$
est bornée au voisinage de $z_{*}$. }
\end{prop}

\begin{proof}
\textsf{La direction $\implies$ (le \textquotedbl seulement si\textquotedbl )
est claire par continuité. On va suivre un analogue de la preuve des
inégalités de Cauchy pour la partie singulière. }
\begin{itemize}
\item \textsf{Supposons $z_{*}=0$ et écrivons $f\left(z\right)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_{n}z^{n}$;
on veut montrer $a_{n}=0$ pour tout $n<0$. }
\item \textsf{Pour tout $n\in\mathbb{Z}$, on a 
\[
\left|a_{n}\right|=\left|\frac{1}{2\pi i}\oint_{\partial D\left(0,r\right)}\frac{f\left(z\right)}{z^{n+1}}\mathrm{d}z\right|\leq r^{-n}\max_{z\in\partial D\left(0,r\right)}\left|f\left(z\right)\right|.
\]
}
\item \textsf{Maintenant, si $n<0$, comme $f$ est bornée au voisinage
de $0$, on obtient $a_{n}=0$ en faisant tendre $r\to0$. }
\item \textsf{On obtient donc $f\left(z\right)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}z^{n}$
qui converge sur un voisinage de $0$, et l'extension en $0$ est
bien sûr par $a_{0}$.}
\end{itemize}
\end{proof}
\begin{prop}
\textsf{Une fonction holomorphe $f:U\to\mathbb{C}$ a un pôle d'ordre
$N>0$ si et seulement si $N$ est le plus petit entier tel que $z\mapsto\left|z-z_{*}\right|^{N}\left|f\left(z\right)\right|$
soit bornée au voisinage de $z_{*}$. }
\end{prop}

\begin{proof}
\textsf{On procède comme dans la preuve de la proposition précédente. }
\begin{itemize}
\item \textsf{Supposons $z_{*}=0$ et écrivons $f\left(z\right)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_{n}z^{n}$;
on veut montrer $a_{n}=0$ pour tout $n<-N$. }
\item \textsf{Pour tout $n\in\mathbb{Z}$, on a 
\[
\left|a_{n}\right|=\left|\frac{1}{2\pi i}\oint_{\partial D\left(0,r\right)}\frac{f\left(z\right)}{z^{n+1}}\mathrm{d}z\right|\leq r^{-n}\sup_{z\in\partial D\left(0,r\right)}\left|f\left(z\right)\right|.
\]
}
\item \textsf{Pour tout $k>0$, on a
\[
\left|a_{-N-k}\right|\leq r^{k}\sup_{z\in\partial D\left(0,r\right)}r^{N}\left|f\left(z\right)\right|\underset{r\underset{>}{\to}0}{\longrightarrow}0,
\]
 et ainsi $\left|a_{-N-k}\right|=0$ pour tout $k>0$, et il ne reste
qu'à montrer que $a_{-N}\neq0$. }
\item \textsf{Maintenant, si $a_{-N}$ était nul, on aurait que $z^{N-1}f\left(z\right)$
serait borné au voisinage de $z_{*}=0$, ce qui contradirait la minimalité
de $N$. }
\end{itemize}
\end{proof}
\begin{cor}
\textsf{Si pour tout $N\geq1$, la fonction $z\mapsto\left|z-z_{*}\right|^{N}\left|f\left(z\right)\right|$
n'est pas bornée au voisinage de $z_{*}$, $f$ a une singularité
essentielle en $z_{*}$. }
\end{cor}

\begin{xca}
\textsf{Si une fonction $f:U\to\mathbb{C}$ a un pôle d'ordre $N$
en $z_{*}$, alors 
\[
\left|f\left(z\right)\right|\left|z-z_{*}\right|^{N-1}\underset{\underset{\neq}{z\to z_{*}}}{\longrightarrow}+\infty.
\]
}
\end{xca}

\textsf{Les singularités essentielles ont quant à elles un comportement
qui semble a priori un peu étrange:}
\begin{thm}[Casorati-Weierstrass]
\textsf{Si une fonction $f:U\to\mathbb{C}$ a une singularité essentielle
en $z_{*}$, alors pour tout $w\in\mathbb{C}$, il existe une suite
$\left(z_{n}\right)_{n}$ avec $z_{n}\underset{n\to\infty}{\longrightarrow}z_{*}$
 telle que $f\left(z_{n}\right)\underset{n\to\infty}{\longrightarrow}w$. }
\end{thm}

\begin{proof}
\textsf{Supposons que cela ne soit pas le cas:}
\begin{itemize}
\item \textsf{Il existe alors $w\in\mathbb{C}$ tel que $\left|f\left(z\right)-w\right|\geq a$
sur un voisinage de $z_{*}$.}
\item \textsf{Alors la fonction $g:z\mapsto\frac{1}{f\left(z\right)-w}$
est bornée au voisinage de $z_{*}$ et elle a donc un prolongement
en $0$.}
\item \textsf{Comme $f$ n'est pas bornée au voisinage de $z_{*}$, on doit
avoir $g\left(z_{*}\right)=0$ (et $g$ a un zéro \textquotedbl d'ordre
fini\textquotedbl{} comme toute fonction analytique). }
\item \textsf{Mais alors comme $f=\frac{1}{g}+w$, $f$ a un pôle en $z_{*}$,
ce qui contredit l'hypothèse qu'on avait une singularité essentielle
en $z_{*}$.}
\end{itemize}
\end{proof}


\subsection{\textsf{Fonctions méromorphes}}

\textsf{Les fonctions méromorphes forment une classe de fonctions
particulièrement utile.}
\begin{defn}
\textsf{On dit que $f$ est méromorphe sur $U$ si $f$ est holomorphe
sur $U\setminus K$, où $K$ est fait de points isolés tels que $f$
est méromorphe (c'est-à-dire qu'elle a un pôle) sur les points de
$K$. }
\end{defn}

\begin{lem}
\textsf{Soient $f,g:U\to\mathbb{C}$ deux fonctions holomorphes non
identiquement nulles. Alors $\frac{f}{g}$ est une fonction méromorphe
sur $U$. Si $f$ est méromorphe non nulle, les zéros de $1/f$ correspondent
aux pôles de $f$ et vice versa. }
\end{lem}

\begin{proof}
\textsf{Par le principe des zéros isolés, les zéros de $g$ forment
un ensemble de points isolés; ce sont précisément les points où $\frac{f}{g}$
peut avoir des pôles. Si on développe $f$ en série de Laurent, on
a que $\left|f\left(z\right)\right|\to+\infty$ au voisinage de chacun
des pôles et donc que $1/f\left(z\right)\to0$ et si $f\left(z\right)\to0$
quand $z\to z_{*}$, on a que $\frac{\left(z-z_{*}\right)^{N}}{f\left(z\right)}$
est borné au voisinage de $z_{*}$ pour $N$ correspondant à l'ordre
du zéro de $f$. }
\end{proof}
\textsf{L'exercice suivant justifie l'intérêt de la classe des fonctions
méromorphes en tant qu'objet algébrique:}
\begin{xca}
\textsf{L'ensemble des fonctions méromorphes sur un domaine $U$ forme
un corps pour l'addition et la multiplication point à point. }
\end{xca}


\subsection{\textsf{Zéros, pôles et dérivée logarithmique}}

\textsf{Une construction de fonction méromorphe particulièrement utile
est la dérivée logarithmique $f'/f$ d'une fonction holomorphe ou
méromorphe.}
\begin{rem}
\textsf{Si $f$ a un logarithme, on a bien sûr que la dérivée de $\log\circ f$
est $\frac{1}{f}f'$, ce qui justifie le nom; en fait la fonction
$f$ n'a pas besoin d'avoir un logarithme pour qu'on puisse le dériver.
si $f$ ne s'annule pas elle a de toute manière un log au voisinage
de tout point, ce qui permet de le dériver, et si $f$ s'annule, on
aura une expression comme $\log\left(z-z_{*}\right)$ qu'on peut aussi
très bien dériver sans que la détermination du logarithme existe. }
\end{rem}

\begin{defn}
\textsf{Si $f:U\setminus\left\{ z_{*}\right\} \to\mathbb{C}$ est
holomorphe avec une singularité en $z_{*}$, on appelle résidu de
$f$ en $z_{*}$ et on note $\mathrm{res}\left(f,z_{*}\right)$ le
coefficient du terme de degré $-1$ dans le développement de $f$
en série de Laurent en $z_{*}$. }
\end{defn}

\begin{prop}
\textsf{\label{prop:logarithmic-derivative-poles}Si $f$ est une
fonction méromorphe sur $U$ non nulle, alors $f'/f$ est aussi méromorphe
sur $U$, elle n'a que des pôles simples aux positions des zéros et
pôles de $f$, avec des résidus comme suit:}
\begin{itemize}
\item \textsf{Chaque zéro $z_{*}$ d'ordre $n$ de $f$ correspond à un
pôle simple avec résidu $n$. }
\item \textsf{Chaque pôle $z_{*}$ d'ordre $n$ de $f$ correspond à un
pôle simple avec résidu $-n$.}
\end{itemize}
\end{prop}

\begin{proof}
\textsf{Clairement, $f'/f$ n'a de pôles qu'aux zéros et pôles de
$f$; le résultat s'obtient simplement en développant autour de chaque
zéro:}
\begin{itemize}
\item \textsf{Si $f$ a un zéro d'ordre $n$ en $z_{*}$, on a $f\left(z\right)=\left(z-z_{*}\right)^{n}h\left(z\right)$
avec $h$ holomorphe au voisinage de $z_{*}$ et $h\left(z_{*}\right)\neq0$,
et ainsi
\[
f'\left(z\right)=n\left(z-z_{*}\right)^{n-1}h\left(z\right)+\left(z-z_{*}\right)^{n}h'\left(z\right),
\]
d'où
\begin{align*}
\frac{f'\left(z\right)}{f\left(z\right)} & =\frac{n\left(z-z_{*}\right)^{n-1}h\left(z\right)+\left(z-z_{*}\right)^{n}h'\left(z\right)}{\left(z-z_{*}\right)^{n}h\left(z\right)}\\
 & =\frac{n}{z-z_{*}}+\left(z-z_{*}\right)\frac{h'\left(z\right)}{h\left(z\right)}
\end{align*}
 et ainsi on a un pôle simple en $z_{*}$ de résidu $n$.}
\item \textsf{Si $f$ a un pôle d'ordre $n$ en $z_{*}$, on a $f\left(z\right)=\left(z-z_{*}\right)^{-n}h\left(z\right)$
avec $h$ holomorphe au voisinage de $z_{*}$ et $h\left(z_{*}\right)\neq0$,
et ainsi
\[
f'\left(z\right)=-n\left(z-z_{*}\right)^{-n-1}h\left(z\right)+\left(z-z_{*}\right)^{-n}h'\left(z\right),
\]
d'où
\begin{align*}
\frac{f'\left(z\right)}{f\left(z\right)} & =\frac{-n\left(z-z_{*}\right)^{-n-1}h\left(z\right)+\left(z-z_{*}\right)^{-n}h'\left(z\right)}{\left(z-z_{*}\right)^{-n}h\left(z\right)}\\
 & =\left(z-z_{*}\right)^{n}\frac{-n\left(z-z_{*}\right)^{-n-1}h\left(z\right)+\left(z-z_{*}\right)^{-n}h'\left(z\right)}{h\left(z\right)}\\
 & =\frac{-n}{z-z_{*}}+\frac{h'\left(z\right)}{h\left(z\right)}
\end{align*}
 et ainsi on a un pôle simple en $z_{*}$ de résidu $-n$. }
\end{itemize}
\end{proof}


\subsection{\textsf{\protect\label{subsec:riemann-sphere}Sphère de Riemann}}
\begin{itemize}
\item \textsf{Un cadre élégant pour comprendre les fonctions méromorphes
sur $U$ est de dire qu'elles prennent leurs valeurs dans $\mathbb{C}\cup\left\{ \infty\right\} $:
si $f$ a un pôle en $z\in U$, on pose simplement $f\left(z\right)=\infty$.}
\end{itemize}
\begin{defn}
\textsf{On définit la sphère de Riemann $\hat{\mathbb{C}}$ par $\hat{\mathbb{C}}=\mathbb{C}\cup\left\{ \infty\right\} $,
comme l'image de la sphère 
\[
\mathbb{S}^{2}=\left\{ \left(a,b,c\right)\in\mathbb{R}^{3}:a^{2}+b^{2}+c^{2}=1\right\} 
\]
 par l'application de projection stéréographique $\varphi$ définie
par 
\[
\left(a,b,c\right)\overset{\varphi}{\mapsto}\begin{cases}
\frac{a+ib}{1-c} & \text{ si }c\neq1\\
\infty & \text{ si }c=1.
\end{cases}
\]
}
\end{defn}

\begin{rem}
\textsf{Cette application correspond à faire l'identification suivante: }
\begin{itemize}
\item \textsf{On imagine le plan complexe avec le plan $P_{S}=\left\{ \left(u,v,-1\right):u,v\in\mathbb{R}\right\} $
perpendiculaire à l'axe Nord-Sud $\left\{ \left(0,0,c\right):c\in\mathbb{R}\right\} $
passant par le pôle Sud $\left(0,0,-1\right)$ }
\item \textsf{On projette la sphère en considérant pour tout $\left(a,b,c\right)\in\mathbb{S}^{2}$
la droite $D_{a,b,c}$ qui relie le pôle Nord $\left(0,0,1\right)$
à $\left(a,b,c\right)$ (si $\left(a,b,c\right)\neq\left(0,0,1\right)$)
et on prend l'intersection $D_{a,b,c}\cap P_{S}$, qu'on note $\left(u,v,-1\right)$.}
\item \textsf{On identifie $\left(u,v\right)$ avec $u+iv$. }
\end{itemize}
\end{rem}

\textsf{Afin de pouvoir donner un sens à $z_{n}\to\infty$ comme étant
\textquotedbl tendre vers l'infini\textquotedbl{} (comme si $\infty$
était un point normal, dont on peut se rapprocher), la sphère de Riemann
est naturellement équipée d'une topologie:}
\begin{defn}
\textsf{On dit qu'une suite $\left(z_{n}\right)_{n\geq0}$ avec $z_{n}\in\hat{\mathbb{C}}$
tend vers $z\in\hat{\mathbb{C}}$ quand $n\to+\infty$ quand: }
\begin{itemize}
\item \textsf{Si $z\in\mathbb{C}$, on a $\left|z_{n}-z\right|\to0$ quand
$n\to+\infty$ (en particulier, $\left|z_{n}\right|$ est bornée).}
\item \textsf{Si $z=\infty$, on a $\left|z_{n}\right|\to+\infty$ quand
$n\to+\infty$ (en particulier $1/\left|z_{n}\right|\underset{n\to+\infty}{\longrightarrow}0$). }
\end{itemize}
\end{defn}

\textsf{Avec cette définition, on obtient une notion de continuité,
ce qui nous permet d'obtenir:}
\begin{prop}
\textsf{Une fonction méromorphe $f$ sur $U\subset\mathbb{C}$ s'étend
de manière continue à une fonction $\hat{f}:U\to\hat{\mathbb{C}}$. }
\end{prop}

\begin{proof}
\textsf{Il suffit d'étendre la fonction en posant $\hat{f}\left(z_{*}\right)=\infty$
à tous les pôles.}
\end{proof}
\textsf{Si $f$ est une fonction holomorphe définie \textquotedbl au
voisinage de l'infini\textquotedbl , on peut aussi parler d'holomorphie
ou de méromorphie au point $\infty$ par:}
\begin{defn}
\textsf{Soit $f:U\to\mathbb{C}$ une fonction définie sur $U\supset A\left(0,r,\infty\right)$
 pour un $r>0$. }
\begin{itemize}
\item \textsf{On dit que $f$ est holomorphe à l'infini si $w\mapsto f\left(1/w\right)$
a une singularité illusoire en $0$.}
\item \textsf{On dit que $f$ est méromorphe en l'infini, avec un pôle d'ordre
$n$ si $w\mapsto f\left(1/w\right)$ a un pôle d'ordre $n$ en $0$.}
\item \textsf{On dit que $f$ a une singularité essentielle à l'infini si
$w\mapsto f\left(1/w\right)$ a une singularité essentielle en $0$. }
\end{itemize}
\end{defn}

\begin{example}
\textsf{Un polynôme $P$ de degré $n\geq1$ est méromorphe en le point
$\infty$ et y a un pôle d'ordre $n$.}
\end{example}

\textsf{}
%
\begin{example}
\textsf{Pour polynôme $P$ de degré $n\geq1$, la fonction $z\mapsto\frac{1}{P\left(z\right)}$
est méromorphe sur $\hat{\mathbb{C}}$ avec des pôles au points où
$P\left(z\right)=0$ et elle est holomorphe au point $\infty$. }
\end{example}

\begin{rem}
\textsf{Les règles de calcul sur la sphère de Riemann sont simples:
$\infty^{n}=\infty$ pour $n\geq1$, $\infty^{n}=0$, $0^{n}=\infty$
pour $n\leq-1$.}
\end{rem}

\textsf{}
%
\begin{rem}
\textsf{On évite de définir d'autres choses comme $\infty+\infty$
ou $\infty/\infty$, mais cela ne pose pas trop de problème, car les
fonctions qu'on regarde n'ont que des zéros et des pôles isolés et
les valeurs autour sont donc des nombres dans $\mathbb{C}^{*}$. }
\end{rem}

\textsf{}
%
\begin{rem}
\textsf{Dans un sens, la sphère de Riemann n'est qu'un outil formel
pour simplifier les notations; dans un autre, il permet vraiment de
comprendre ce qui se passe globalement. }
\end{rem}

\begin{xca}
\textsf{Pour une fonction $f:U\to\mathbb{C}$ qui est méromorphe au
voisinage de l'infini, montrer qu'on peut écrire un développement
de Laurent en l'infini de la forme
\[
f\left(z\right)=\sum_{k=0}^{n}a_{k}z^{k}+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{a_{-k}}{z^{k}}
\]
convergent sur $A\left(0,r,\infty\right)$ pour $r$ assez grand. }
\end{xca}


\section{\textsf{Théorème des résidus}}

\subsection{\textsf{Motivation}}
\begin{itemize}
\item \textsf{Dans la section sur l'intégration, on a vu comment si $f:U\to\mathbb{C}$
est holomorphe, on peut déplacer les contours de manière homotope
dans $U$ sans changer les valeurs d'intégrales.}
\item \textsf{Comme on l'a vu plusieurs fois, si on force un contour à traverser
un pôle d'ordre $1$, on attrape une intégrale de contour de type
$\oint_{\partial D\left(0,\epsilon\right)}\frac{1}{z}\mathrm{d}z=2\pi i$. }
\item \textsf{Pour les fonctions holomorphes avec des singularités isolées,
on va voir que les règles pour bouger les contours sont simples: il
suffit de prendre en compte le terme devant $\frac{1}{z-z_{*}}$ de
la partie singulière.}
\item \textsf{C'est exactement ce que nous dit le théorème des résidus. }
\end{itemize}


\subsection{\textsf{Résidus}}

\textsf{Le résidu d'une fonction en un point est simplement le coefficient
devant le terme de degré $-1$:}
\begin{defn}
\textsf{Si une fonction $f:U\to\mathbb{C}$ a un développement en
série de Laurent au voisinage de $z_{*}$ donné par 
\[
f\left(z\right)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_{n}\left(z-z_{*}\right)^{n},
\]
on appelle résidu en $z_{*}$ et on note $\mathrm{res}\left(f,z_{*}\right)$
le coefficient $a_{-1}$. }
\end{defn}

\begin{xca}
\textsf{Calculer le résidu en $0$ des fonctions: $z\mapsto e^{1/z}$,
$z\mapsto\cos\left(1/z\right)$ et $z\mapsto1/\sin\left(z\right)$. }
\end{xca}

\textsf{Le rôle du résidu dans l'intégration est expliqué par le lemme
suivant:}
\begin{lem}
\textsf{\label{lem:neutralized-residue}Le résidu de $f$ en $z_{*}$
est l'unique nombre complexe $A$ tel que la fonction 
\[
z\mapsto f\left(z\right)-\frac{A}{z-z_{*}}
\]
 ait une primitive sur un voisinage épointé de $z_{*}$. }
\end{lem}

\begin{proof}
\textsf{On exhibe simplement la primitive de la fonction $g\left(z\right)=f\left(z\right)-\mathrm{res}\left(f,z_{*}\right)/\left(z-z_{*}\right)$
en termes des sa série de Laurent en $z_{*}$:}
\begin{itemize}
\item \textsf{Autour de $z_{*}$, on a
\[
g\left(z\right)=\sum_{n=-2}^{-\infty}a_{n}\left(z-z_{*}\right)^{n}+\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}\left(z-z_{*}\right)^{n}
\]
}
\item \textsf{Une primitive $G$ de $g$ est donnée par
\[
G\left(z\right)=\sum_{n=-2}^{-\infty}\frac{a_{n}}{n+1}\left(z-z_{*}\right)^{n+1}+\sum_{n=0}^{\infty}\frac{a_{n}}{n+1}\left(z-z_{*}\right)^{n+1},
\]
où il est clair que la série a le même rayon de convergence que celle
de $g$. }
\item \textsf{Comme la fonction $z\mapsto1/\left(z-z_{*}\right)$ n'a pas
de primitive autour de $z_{*}$, on voit que le seul choix pour $a$
est $\mathrm{res}\left(f,z_{*}\right)$.}
\end{itemize}
\end{proof}
\begin{rem}
\textsf{Ce lemme est simplement une formalisation du fait que le résidu
est la seule obstruction d'intégration. En d'autres termes, une fonction
a une primitive sur un voisinage épointé de $z_{*}$ si et seulement
si son résidu est nul. }
\end{rem}


\subsection{\textsf{Théorème}}

\textsf{Le théorème des résidus formalise simplement le calcul des
intégrales pour des fonctions holomorphes avec un nombre fini de singularités:}
\begin{thm}[Théorème des résidus]
\textsf{Soit $U$ un ouvert simplement connexe et soit $f:U\setminus F\to\mathbb{C}$
une fonction holomorphe où $F$ est fini. Soit $\gamma\subset U\setminus F$
un lacet. Alors on a
\[
\frac{1}{2\pi i}\oint_{\gamma}f\left(z\right)\mathrm{d}z=\sum_{z_{*}\in F}\mathrm{res}\left(f,z_{*}\right)\mathrm{Ind}_{\gamma}\left(z_{*}\right).
\]
 }
\end{thm}

\begin{proof}
\textsf{L'idée est de \textquotedbl neutraliser\textquotedbl{} tous
les résidus \textquotedbl artificiellement\textquotedbl{} et de compter
ce qu'on a retranché pour faire ça:}
\begin{itemize}
\item \textsf{Soit $g:U\setminus F\to\mathbb{C}$ la fonction définie par
\[
g\left(z\right)=f\left(z\right)-\sum_{z_{*}\in F}\frac{\mathrm{res}\left(f,z_{*}\right)}{z-z_{*}}.
\]
}
\item \textsf{La fonction admet une primive localement autour de chaque
$z_{*}$ par le lemme \ref{lem:neutralized-residue}.}
\item \textsf{Pour tout lacet $\lambda:U\setminus F\to\mathbb{C}$, on a
que $\frac{1}{2\pi i}\oint_{\lambda}g\left(z\right)\mathrm{d}z=0$:
tout lacet peut être contracté à travers les points de $F$ sans changer
l'intégrale, grâce au fait que $g$ a une primitive autour de chacun
des points de $F$. }
\item \textsf{Ainsi
\[
\frac{1}{2\pi i}\oint_{\gamma}f\left(z\right)\mathrm{d}z=\frac{1}{2\pi i}\oint_{\gamma}\sum_{z_{*}\in F}\frac{\mathrm{res}\left(f,z_{*}\right)}{z-z_{*}}=\sum_{z_{*}\in F}\mathrm{res}\left(f,z_{*}\right)\frac{1}{2\pi i}\oint\frac{1}{z-z_{*}}=\sum_{z_{*}\in F}\mathrm{res}\left(f,z_{*}\right)\mathrm{Ind}_{\gamma}\left(z_{*}\right).
\]
 }
\end{itemize}
\end{proof}
\begin{rem}
\textsf{La manière intuitive de penser à ce théorème est en se disant
qu'on veut contracter le contour $\gamma$ jusqu'à ce qu'il soit un
point (à ce moment l'intégrale de contour vaudra $0$). A chaque fois
que l'on passe par un point, on prend un terme qui vient de son résidu.}
\end{rem}

\textsf{Souvent, on s'intérresse à des lacet simples, qui sont les
bords de domaines simplement connexes (par le théorème de Jordan,
que l'on ne prouvera pas, mais il est plutôt intuitif). Dans cas,
l'indice du lacet devient $1$ pour tout point à l'intérieur du domaine
et $0$ autrement:}
\begin{cor}
\textsf{Soit $U$ un domaine simplement connexe et $f:U\setminus F\to\mathbb{C}$
une fonction holomorphe, où $F$ est un ensemble fini. Soit $\gamma\subset U\setminus F$
un lacet simple avec $\gamma=\partial\Omega$ où $\Omega\subset U$
est simplement connexe. On a 
\[
\frac{1}{2\pi i}\oint_{\gamma}f\left(z\right)\mathrm{d}z=\sum_{z_{*}\in F\cap\Omega}\mathrm{res}\left(f,z_{*}\right).
\]
 }
\end{cor}

\textsf{Si on s'intéresse à la valeur d'une fonction holomorphe en
un point, on a le corollaire suivant, qui étend la formule de Cauchy:}
\begin{cor}
\textsf{Si $f:U\to\mathbb{C}$ est une fonction holomorphe où $U\subset\mathbb{C}$
est un domaine simplement connexe, alors pour tout $z_{*}\in U$ et
tout $\gamma\subset U\setminus\left\{ z_{*}\right\} $, on a
\[
\frac{1}{2\pi i}\oint_{\gamma}\frac{f\left(z\right)}{z-z_{*}}\mathrm{d}z_{*}=\mathrm{Ind}_{\gamma}\left(z_{*}\right)f\left(z_{*}\right).
\]
}
\end{cor}

\begin{proof}
\textsf{Cela suit du théorème des résidus appliqué à la fonction $z\mapsto f\left(z\right)/\left(z-z_{*}\right)$. }
\end{proof}


\subsection{Calcul des résidus}

\textsf{Le calcul des résidus pour les fonctions méromorphes se fait
de manière très simple. }
\begin{lem}
\textsf{Soient $f,g$ deux fonctions méromorphes sur un domaine $U\subset\mathbb{C}$
et soit $z_{*}\in U$:}
\begin{itemize}
\item \textsf{Si $f$ a un pôle simple en $z_{*}$: $\mathrm{res}\left(f,z_{*}\right)=\lim_{z\underset{\neq}{\to}z_{*}}\left(z-z_{*}\right)f\left(z\right)$.}
\item \textsf{Si $f$ a un pôle d'ordre $k$ en $z_{*}$, alors 
\[
\mathrm{res}\left(f,z_{*}\right)=\lim_{z\underset{\neq}{\to}z_{*}}\frac{1}{\left(k-1\right)!}\frac{\mathrm{d}^{k-1}}{\mathrm{d}z^{k-1}}\left(\left(z-z_{*}\right)^{k}f\left(z\right)\right)
\]
 }
\item \textsf{Si $f$ est holomorphe en $z_{*}$ et si $g$ a un zéro simple
(c'est-à-dire $v_{z_{*}}\left(g\right)=1$), alors 
\[
\mathrm{res}\left(\frac{f}{g},z_{*}\right)=\frac{f\left(z_{*}\right)}{g'\left(z_{*}\right)}.
\]
}
\item \textsf{La fonction $f/f'$ est méromorphe sur $U$. Ses pôles sont
donnés par les zéros et les pôles de $f$ et on a
\[
\mathrm{res}\left(\frac{f'}{f},z_{*}\right)=v_{z_{*}}\left(f\right).
\]
}
\end{itemize}
\end{lem}

\begin{proof}
\textsf{La preuve consiste simplement à faire des développements de
Laurent de $f$ et de $g$: }
\begin{itemize}
\item \textsf{Pour les deux premières assertions: multiplier par $\left(z-z_{*}\right)^{k}$
sert simplement à décaler les coefficients vers la partie positive
et dériver à faire descendre les coefficients de la partie positive.}
\item \textsf{Pour les deux dernières assertions: cela suit d'une simple
mise en évidence de $\left(z-z_{*}\right)^{v_{z_{*}}\left(f\right)}$
et de $\left(z-z_{*}\right)^{v_{z_{*}}\left(g\right)}$ dans le développement
en série.}
\end{itemize}
\end{proof}


\subsection{\textsf{Comptage des zéros}}

\textsf{Une application utile du théorème des résidus est au comptage
des zéros et pôles d'une fonction holomorphe.}
\begin{prop}[Comptage de zéros]
\textsf{Soit $U$ un ouvert simplement connexe et $f$ une fonction
méromorphe sur $U$ avec un ensemble fini $F$ de pôles et de zéros.
Pour tout lacet $\gamma\subset U\setminus F$, on a
\[
\frac{1}{2\pi i}\oint_{\gamma}\frac{f'\left(z\right)}{f\left(z\right)}\mathrm{d}z=\sum_{z_{*}\in F}v_{z_{*}}\left(f\right)\mathrm{Ind}_{\gamma}\left(z_{*}\right).
\]
}
\end{prop}

\begin{proof}
\textsf{Cela suit directement de la proposition \ref{prop:logarithmic-derivative-poles}
et du théorème des résidus. }
\end{proof}
\begin{rem}
\textsf{Dans ce comptage, les zéros sont comptés positivement, pondérés
par leurs multiplicités, et les pôles sont comptés négativement, pondérés
par leurs ordres. }
\end{rem}


\subsection{\textsf{Résidu à l'infini}}
\begin{itemize}
\item \textsf{Sur la sphère de Riemann $\hat{\mathbb{C}}$, les notions
de singularités sont toujours bien définies, et on peut étudier ce
qui se passe à l'infini par inversion, comme expliqué dans la section
\ref{subsec:riemann-sphere}.}
\item \textsf{Si une fonction $f:U\to\mathbb{C}$ est méromorphe au voisinage
de l'infini, on a que $w\mapsto f\left(\frac{1}{w}\right)$ est méromorphe
au voisinage de $0$. }
\item \textsf{En appliquant la formule de changement de variables pour $M>0$
assez grand
\[
\frac{1}{2\pi i}\oint_{\partial D\left(0,M\right)}f\left(z\right)\mathrm{d}z=\oint_{\partial D\left(0,\frac{1}{M}\right)}f\left(\frac{1}{w}\right)\left(-\frac{1}{w^{2}}\right)\mathrm{d}w=-\oint_{\partial D\left(0,M\right)}\frac{f\left(1/w\right)}{w^{2}}\mathrm{d}w.
\]
}
\item \textsf{Cela suggère de définir le résidu en l'infini comme celui
de $w\mapsto-f\left(1/w\right)/w^{2}$ en $0$. }
\end{itemize}
\begin{defn}
\textsf{Si $f:U\to\mathbb{C}$ est une fonction méromorphe au voisinage
de l'infini, on définit le résidu de $f$ en $\infty$ comme le résidu
de $h$ définie par $h\left(w\right)=-f\left(1/w\right)/w^{2}$ en
$0$: 
\[
\mathrm{res}\left(f,\infty\right)=\mathrm{res}\left(h,0\right).
\]
}
\end{defn}

\begin{rem}
\textsf{Grâce au résidu à l'infini, on peut déformer un contour pour
le faire passer à travers l'infini (il est pratique de visualiser
ce qui se passe sur la projetion stéréographique: le contour passe
simplement le pôle Nord).}
\end{rem}


\section{\textsf{Calcul d'intégrales réelles}}

\subsection{\textsf{Motivation}}
\begin{itemize}
\item \textsf{On a vu grâce au théorème des résidus que calculer une intégrale
de contour le long d'un lacet revient simplement à sommer les résidus
aux singularités. }
\item \textsf{C'est souvent beaucoup plus simple que les méthodes apprises
pour les intégrales réelles, qui consistent à trouver la primitive
(or une telle primitive n'est souvent pas disponible).}
\item \textsf{Cela pose la question de savoir s'il est possible d'utiliser
la méthode des résidus pour calculer les intégrales réelles (sans
trouver de primitive, donc).}
\item \textsf{La réponse est assez simplement: certaines intégrales réelles
peuvent se ramener (par ce qui ressemble à une collection d'astuces)
à des calculs d'intégrales complexes.}
\item \textsf{Même si cela ne fonctionne a priori que dans des cas particuliers,
la classe de ces cas particuliers est assez grande et permet en particulier
d'obtenir un grand nombre de résultats très utiles qui seraient difficiles
à obtenir autrement. }
\end{itemize}


\subsection{\textsf{Transformées de Fourier}}

\textsf{Parmi les exemples les plus intéressants d'intégrales réelles
calculables avec des méthodes complexes se trouvent les transformées
de Fourier.}
\begin{defn}
\textsf{La transformée de Fourier d'une fonction intégrable (au sens
de Riemann impropre sur $\left(-\infty,\infty\right)$) $f:\mathbb{R}\to\mathbb{C}$
est la fonction $\hat{f}:\mathbb{R}\to\mathbb{C}$ définie par
\[
\hat{f}\left(\xi\right)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}f\left(x\right)e^{-i\xi x}\mathrm{d}x.
\]
}
\end{defn}

\begin{rem}
\textsf{Pour motiver la transformée de Fourier (qui sera vue en Analyse
IV), on peut simplement donner la formule d'inversion de Fourier 
\[
f\left(x\right)=\int_{-\infty}^{\infty}\hat{f}\left(\xi\right)e^{i\xi x}\mathrm{d}\xi,
\]
où on voit que $f$ est décomposée en une somme continue (intégrale)
de fonctions trigonométriques $x\mapsto e^{i\xi x}=\cos\xi x+i\sin\xi x$
de fréquences $\xi$. }
\begin{itemize}
\item \textsf{Si $f$ est un signal sonore qu'on entend (où $x$ est le
temps), $\hat{f}$ contient les intensités des notes / fréquences
du signal.}
\item \textsf{Si $f$ un signal lumineux qu'on voit sont (où $x$ est le
temps), $\hat{f}$ contient les intensités des couleurs. }
\end{itemize}
\end{rem}

\textsf{Grâce à la méthode des résidus, on peut calculer de nombreuses
transformées de Fourier:}


\subsection{\textsf{Calcul de transformées de Fourier}}
\begin{itemize}
\item \textsf{Pour les intégrales de la forme 
\[
\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}f\left(x\right)e^{-i\xi x}\mathrm{d}x,
\]
l'idée est souvent de prendre pour contour d'intégration le bord du
demi-disque supérieur $\Gamma_{R}^{+}$ ou inférieur $\Gamma_{R}^{-}$,
de rayon $R$ centré en $0$.}
\item \textsf{Typiquement on prend l'union du segment $\left[-R,R\right]$
avec un demi-cercle de rayon $R$ (supérieur $C_{R}^{+}=\left\{ Re^{i\theta}:\theta\in\left[0,\pi\right]\right\} $
ou inférieur $C_{R}^{-}:=\left\{ Re^{i\theta}:\theta\in\left[-\pi,0\right]\right\} $).}
\item \textsf{Ainsi l'intégrale 
\[
\frac{1}{2\pi i}\oint_{\partial\Gamma_{R}}g\left(z\right)\mathrm{d}\zeta=\sum_{z\in\mathrm{sing}\left(g\right)\cap\Gamma_{R}}\mathrm{res}\left(z,g\right),
\]
pour tout $R>0$, où $\mathrm{sing}\left(g\right)$ désigne l'ensemble
des singularités de $g$. }
\item \textsf{Maintenant, s'il se trouve que l'intégrale le long de $C_{R}^{+}$
ou $C_{R}^{-}$ tend vers $0$ quand $R\to+\infty$ il ne restera
que l'intégrale le long de l'axe réel, ce qui est le résultat souhaité. }
\end{itemize}
\textsf{Le fait que l'un de $C_{R}^{+}$ et de $C_{R}^{-}$ est négligeable
est donné par le lemme de Jordan:}
\begin{lem}[Lemme de Jordan]
\textsf{Soit $f$ une fonction méromorphe sur $\mathbb{C}$ avec
$\left|f\left(z\right)\right|=\mathcal{O}\left(1/\left|z\right|\right)$
quand $\left|z\right|\to\infty$. On a que
\begin{align*}
\int_{C_{R}^{+}}f\left(z\right)e^{-i\xi z}\mathrm{d}z\underset{R\to+\infty}{\longrightarrow}0\quad\text{pour }\xi & <0,\\
\int_{C_{R}^{-}}f\left(z\right)e^{-i\xi z}\mathrm{d}z\underset{R\to+\infty}{\longrightarrow}0\quad\text{pour }\xi & >0.
\end{align*}
 }
\end{lem}

\begin{proof}
\textsf{Montrons seulement le cas $\xi<0$ (l'autre cas est identique):}
\begin{itemize}
\item \textsf{On voit que $f\left(x\right)e^{-i\xi x}$ est borné par $\left|f\left(z\right)\right|=\mathcal{O}\left(1/\left|z\right|\right)$
en module et donc l'intégrale est bornée.}
\item \textsf{On a $\left|e^{-i\xi z}\right|=e^{\xi\Im\mathfrak{m}\left(z\right)}$,
quand $\xi<0$, ce qui nous permet d'espérer que l'essentiel de l'intégrale
tend vers $0$ sur l'essentiel du contour $C_{R}^{+}$.}
\item \textsf{Comme $\left|f\left(z\right)z\right|$ est borné quand $z\to\infty$,
pour tout $\epsilon>0$, on a qu'il existe $\delta>0$ tel que sur
le secteur $C_{R,\delta}^{+}=\left\{ Re^{i\theta}:\theta\in\left[\delta,\pi-\delta\right]\right\} $,
on ait
\[
\left|\int_{C_{R}^{+}}f\left(z\right)e^{-i\xi z}\mathrm{d}z-\int_{C_{R,\delta}^{+}}f\left(z\right)e^{-i\xi z}\right|\mathrm{d}z\leq2\delta\max_{f\in C_{R}^{+}\setminus C_{R,\delta}^{+}}R\left|f\left(z\right)\right|\leq\epsilon\quad\forall R>0.
\]
 }
\item \textsf{Maintenant, en faisant tendre $R\to\infty$, on a 
\[
\left|\int_{C_{R,\delta}}f\left(z\right)e^{-i\xi z}\mathrm{d}z\right|\leq e^{-R\sin\delta}\underset{R\to+\infty}{\longrightarrow}0.
\]
}
\item \textsf{Ainsi pour tout $\epsilon>0$, on a 
\[
\limsup_{R\to+\infty}\left|\int_{C_{R}^{+}}f\left(z\right)e^{-i\xi z}\mathrm{d}z\right|\leq\epsilon,
\]
ce qui donne le résultat. }
\end{itemize}
\end{proof}
\textsf{Cela nous amène au résultat suivant:}
\begin{prop}[Transformées de Fourier par résidus]
\textsf{\label{prop:residues-for-fourier}On a que
\begin{align*}
\hat{f}\left(\xi\right) & =i\sum_{z_{*}\in\mathrm{sing}\left(g\right)\cap\mathbb{H}^{+}}\mathrm{res}\left(e^{-i\xi z}f\left(z\right),z_{*}\right)\qquad\text{si }\xi<0\\
\hat{f}\left(\xi\right) & =-i\sum_{z_{*}\in\mathrm{sing}\left(g\right)\cap\mathbb{H}^{-}}\mathrm{res}\left(e^{-i\xi z}f\left(z\right),z_{*}\right)\qquad\text{si }\xi>0.
\end{align*}
 }
\end{prop}

\begin{proof}
\textsf{Faisons seulement le cas $\xi<0$; le cas $\xi>0$ est identique;
grâce au théorème des résidus, et ensuite au de Jordan, on a}

\textsf{
\[
i\sum_{z_{*}\in\mathrm{sing}\left(g\right)\cap\mathbb{H}^{+}}\mathrm{res}\left(e^{-i\xi z}f,z_{*}\right)=\lim_{R\to+\infty}\int_{C_{R}^{+}}f\left(x\right)e^{-i\xi x}\mathrm{d}x=\lim_{R\to+\infty}\int_{-R}^{R}f\left(x\right)e^{-i\xi x},
\]
ce qui est le résultat désiré. }
\end{proof}
\begin{example}
\textsf{Si on veut calculer la transformée de Fourier de $1/\left(x^{2}+1\right)$,
on a
\begin{align*}
\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{-i\xi x}}{x^{2}+1}\mathrm{d}x & =\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{e^{-i\xi x}}{\left(x+i\right)\left(x-i\right)}\mathrm{d}x=ie^{-i\xi\left(-i\right)}\mathrm{res}\left(f,i\right)=-\frac{i}{2i}e^{-\xi}=\frac{e^{-\xi}}{2}\qquad\text{pour }\xi<0\\
\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{-i\xi x}}{x^{2}+1}\mathrm{d}x & =\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{e^{-i\xi x}}{\left(x+i\right)\left(x-i\right)}\mathrm{d}x=-ie^{-i\xi\left(i\right)}\mathrm{res}\left(f,-i\right)=-\frac{i}{-2i}e^{\xi}=\frac{e^{\xi}}{2}\qquad\text{pour }\xi>0,
\end{align*}
ce qui donne 
\[
\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{-i\xi x}}{x^{2}+1}\mathrm{d}x=\frac{e^{-\left|\xi\right|}}{2}.
\]
}
\end{example}


\subsection{\textsf{Autres exemples d'intégrales }}

\textsf{L'intégrale indéfinie d'une fonction analytique $f$ sur $\mathbb{R}$,
qui correspond au cas $\xi=0$ de la transformée de Fourier de $f$,
s'exprime facilement en termes des pôles si $f$ décroît assez vite:}
\begin{lem}
\textsf{Si $f$ est une fonction méromorphe sur $\mathbb{C}$ avec
$f\left(z\right)=o\left(1/\left|z\right|\right)$ quand $\left|z\right|\to\infty$
et l'ensemble des pôles de $f$ fini, on a
\[
\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}f\left(z\right)\mathrm{d}z=i\sum_{z\in\mathrm{sing}\left(f\right)\cap\mathbb{H}^{+}}\mathrm{res}\left(f,z\right)=-i\sum_{z\in\mathrm{sing}\left(f\right)\cap\mathbb{H}^{-}}\mathrm{res}\left(f,z\right).
\]
}
\end{lem}

\begin{proof}
\textsf{C'est la même preuve que pour la Proposition \ref{prop:residues-for-fourier}:}
\begin{itemize}
\item \textsf{Si on note $C_{\rho}^{+}=\left\{ \rho e^{i\theta}:\theta\in\left[0,\pi\right]\right\} $
et $C_{\rho}^{-}=\left\{ \rho e^{i\theta}:\theta\in\left[-\pi,0\right]\right\} $,
comme avant on a que l'intégrale
\[
\left|\int_{C_{\rho}^{\pm}}f\left(z\right)\mathrm{d}z\right|\leq\pi\rho\sup_{z\in C_{\rho}}\left|f\left(z\right)\right|\underset{\rho\to+\infty}{\longrightarrow}0.
\]
}
\item \textsf{Par conséquent pour les demi-disques supérieur $\Gamma_{\rho}^{+}$
et inférieur $\Gamma_{\rho}^{-}$, on 
\begin{align*}
\sum_{z\in\mathrm{sing}\left(f\right)\cap\mathbb{H}^{+}}\mathrm{res}\left(f,z\right) & =\lim_{\rho\to\infty}\frac{1}{2\pi i}\oint_{\partial\Gamma_{R}^{+}}f\left(z\right)\mathrm{d}z=\frac{1}{2\pi i}\int_{-\infty}^{+\infty}f\left(z\right)\mathrm{d}z\\
-\sum_{z\in\mathrm{sing}\left(f\right)\cap\mathbb{H}^{-}}\mathrm{res}\left(f,z\right) & =-\lim_{\rho\to\infty}\frac{1}{2\pi i}\oint_{\partial\Gamma_{R}^{+}}f\left(z\right)\mathrm{d}z=-\frac{1}{2\pi i}\int_{-\infty}^{+\infty}f\left(z\right)\mathrm{d}z,
\end{align*}
ce qui donne le résultat. }
\end{itemize}
\end{proof}
\textsf{Une autre classe de fonctions qui peuvent se calculer avec
la méthode des résidus est constituée des intégrales de la forme $\int_{0}^{2\pi}R\left(\cos t,\sin t\right)\mathrm{d}t$,
où $R$ est une fraction rationnelle, c'est-à-dire de la forme $P/Q$
où $P$ et $Q$ sont des polynômes:}
\begin{prop}
\textsf{Si $R\left(x,y\right)$ est une fonction rationnelle qui n'a
pas de pôles sur $\left\{ \left(x,y\right)\in\mathbb{R}^{2}:x^{2}+y^{2}=1\right\} $,
on a que
\[
\int_{0}^{2\pi}R\left(\cos\theta,\sin\theta\right)\mathrm{d}\theta=2\pi i\sum_{z\in\mathrm{sing}\left(r\right)\cap D\left(0,1\right)}\mathrm{res}\left(r,z\right),
\]
où 
\[
r\left(z\right)=\frac{1}{iz}R\left(\frac{1}{2}\left(z+\frac{1}{z}\right),\frac{1}{2i}\left(z-\frac{1}{z}\right)\right).
\]
}
\end{prop}

\begin{proof}
\textsf{Comme pour $z=e^{i\theta}\in\partial D\left(0,1\right)$,
on a $\cos\theta=\frac{1}{2}\left(z+\bar{z}\right)=\frac{1}{2}\left(z+\frac{1}{z}\right)$
et $\sin\theta=\frac{1}{2i}\left(z-\bar{z}\right)=\frac{1}{2}\left(z-\frac{1}{z}\right)$,
on a
\[
\int_{0}^{2\pi}R\left(\cos\theta,\sin\theta\right)\mathrm{d}\theta=\oint_{\partial D\left(0,1\right)}\frac{1}{iz}R\left(\frac{1}{2}\left(z+\frac{1}{z}\right),\frac{1}{2i}\left(z-\frac{1}{z}\right)\right)\mathrm{d}z=\oint_{\partial D\left(0,r\right)}r\left(z\right)\mathrm{d}z=2\pi i\sum_{z\in\mathrm{sing}\left(r\right)\cap D\left(0,1\right)}\mathrm{res}\left(r,z\right).
\]
}
\end{proof}
\begin{example}
\textsf{Pour $a>1$, on a 
\[
\int_{0}^{2\pi}\frac{1}{a+\sin\theta}\mathrm{d}\theta=\oint_{\partial D\left(0,1\right)}\frac{1}{a+\frac{1}{2i}\left(z-\frac{1}{z}\right)}\frac{1}{iz}\mathrm{d}z=\oint_{\partial D\left(0,\right)1}\frac{2}{z^{2}+2iaz-1}\mathrm{d}z,
\]
on a deux pôles simples en $z_{*}:=\left(-ia+i\sqrt{a^{2}-1}\right)$
et $1/z_{*}$; seul $z_{*}$ est dans $D\left(0,1\right)$ et le résidu
y est
\[
\mathrm{res}\left(r,z_{*}\right)=\frac{2z_{*}}{z_{*}^{2}+1}=\frac{-i}{\sqrt{a^{2}-1}},
\]
ce qui donne 
\[
\int_{0}^{2\pi}\frac{1}{a+\sin\theta}\mathrm{d}\theta=\frac{2\pi}{\sqrt{a^{2}-1}}.
\]
 }
\end{example}


\section{\textsf{Théorème des nombres premiers}}

\subsection{\textsf{Énoncé}}

\textsf{Le théorème des nombres premiers est l'un des plus remarquables
théorèmes de toutes les mathématiques. }
\begin{itemize}
\item \textsf{Pour $x>0$, on définit $\pi\left(x\right)=\sum_{p\le x}1$
comme le nombre de nombres premiers plus petits que $x$. }
\item \textsf{On note $f\left(x\right)\sim g\left(x\right)$ quand $x\to\infty$
si $f\left(x\right)/g\left(x\right)\underset{x\to\infty}{\longrightarrow}1$. }
\end{itemize}
\textsf{Le théorème nous donne la répartition approximative des nombres
premiers:}
\begin{thm}[Théorème des nombres premiers (Hadamard, de la Vallée Poussin)]
\textsf{\label{thm:prime-number-theorem}Quand $n\to\infty$, on
a 
\[
\pi\left(n\right)\sim\frac{n}{\log n}.
\]
}
\end{thm}

\begin{proof}
\textsf{La preuve est donnée dans la section \ref{subsec:proof-of-prime-number-theorem}. }
\end{proof}


\subsection{\textsf{Les fonctions $\zeta$ et $\Phi$.}}

\textsf{On va maintenant introduire deux fonctions méromorphes qui
seront fondamentales dans notre analyse: la fonction $\zeta$ et la
fonction $\Phi$. Elles seront définies sur des demi-plans \textquotedbl droits\textquotedbl :}
\begin{defn}
\textsf{Pour $t\in\mathbb{R}$, on note $\mathbb{H}_{t}=\left\{ s\in\mathbb{C}:\Re\mathfrak{e}\left(s\right)>t\right\} $
et $\bar{\mathbb{H}}_{t}=\left\{ s\in\mathbb{C}:\Re\mathfrak{e}\left(s\right)\geq t\right\} $. }
\end{defn}

\textsf{Les fonctions $\zeta$ et $\Phi$ sont initialement définies
sur $\mathbb{H}_{1}$ (on les étendra plus loin). }
\begin{defn}
\textsf{On définit les fonctions $\zeta$ et $\Phi$ sur $\mathbb{H}_{1}$
par 
\begin{align*}
\zeta\left(s\right) & =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{s}}\\
\Phi\left(s\right) & =\sum_{p}\frac{\log p}{p^{s}}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\log p_{k}}{p_{k}^{s}},
\end{align*}
où la somme est sur la suite des nombres premiers $p_{0},p_{1},p_{2},\ldots=2,3,5,\ldots$. }
\end{defn}

\begin{rem}
\textsf{\label{rem:holomorphicity-of-phi-and-zeta-over-h1}Le fait
que ces deux fonctions soient bien définies et holomorphes sur $\mathbb{H}_{1}$
est facile à voir, en utilisant que les séries $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{t}}$
et $\sum_{p}\frac{\log p}{p^{s}}<\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\log n}{n^{t}}$
convergent pour tout $t\in\mathbb{R}$ avec $t>1$.}
\end{rem}

\begin{lem}
\textsf{Pour tout $s\in\mathbb{H}_{1}$, on a 
\[
\zeta\left(s\right)=\prod_{p}\frac{1}{1-p^{-s}}.
\]
}
\end{lem}

\begin{proof}
\textsf{Si on regarde l'ensemble $\mathcal{E}\left(N\right)$ des
nombres dont les diviseurs premiers sont au plus $N$, on a
\[
\prod_{p\leq N}\frac{1}{1-p^{-s}}=\prod_{p\leq N}\left(1+\frac{1}{p^{s}}+\frac{1}{p^{2s}}+\frac{1}{p^{3s}}+\cdots\right)=\sum_{n\in\mathcal{E}\left(N\right)}\frac{1}{n^{s}}.
\]
En faisant tendre $N\to\infty$, on obtient le résultat. }
\end{proof}
\textsf{Un premier lemme qui nous sera utile:}
\begin{lem}
\textsf{\label{lem:zeta-only-has-one-pole-in-h0}La fonction $s\mapsto\zeta\left(s\right)-\frac{1}{s-1}$
a un prolongement holomorphe à $\mathbb{H}_{0}$. }
\end{lem}


\subsection{\textsf{\protect\label{subsec:proof-of-prime-number-theorem}Preuve
du théorème des nombres premiers}}

\textsf{Nous pouvons maintenant passer à la preuve du théorème des
nombres premiers. L'idée est la suivante:}
\begin{itemize}
\item \textsf{Connecter le comportement asymptotique quand $n\to\infty$
de la fonction $\pi$ à celui de la fonction $\varphi\left(x\right)=\sum_{p\leq x}\log p$.}
\item \textsf{Connecter le comportement asymptotique de $\varphi$ à la
convergence de l'intégrale $I_{1}=\int_{1}^{\infty}\left(\varphi\left(x\right)-x\right)/x^{2}\mathrm{d}x$.}
\item \textsf{Connecter la convergence de $I_{1}$ à l'absence de pôles
de $I\left(s\right)=\int_{1}^{\infty}\left(\varphi\left(x\right)-x\right)/x^{s+1}\mathrm{d}x$
sur $\overline{\mathbb{H}}_{1}$.}
\item \textsf{Connecter les pôles de $I$ et les pôles de $\Phi\left(s\right)=\sum_{p}\frac{\log p}{p^{s}}$,
où la somme est sur la suite des nombres premiers.}
\item \textsf{Connecter les pôles de la fonction $\Phi$ aux zéros de la
fonction $\zeta$.}
\item \textsf{Etudier les zéros de la fonction $\zeta$ et montrer qu'elle
n'en a pas sur $\bar{\mathbb{H}}_{1}$. }
\end{itemize}
\textsf{La connexion entre $\pi$ et $\varphi$ est donnée par le
lemme suivant:}
\begin{lem}
\textsf{\label{lem:from-pi-to-phi}Soit $\varphi\left(x\right)=\sum_{p\leq x}\log p$,
où la somme est sur les nombres premiers $p\leq x$. Si $\varphi\left(n\right)\sim n$
quand $n\to\infty$, alors $\pi\left(n\right)\sim n/\log n$. }
\end{lem}

\textsf{La connexion entre le comportement asymptotique de $\varphi$
et la convergence de l'intégrale $I_{1}$ est donnée par:}
\begin{lem}
\textsf{\label{lem:from-phi-to-i1}Si $I_{1}=\int_{1}^{\infty}\left(\varphi\left(x\right)-x\right)/x^{2}\mathrm{d}x$
converge, alors $\varphi\left(n\right)\sim n$. }
\end{lem}

\textsf{La connexion entre la convergence de $I_{1}$ et l'absence
de pôles de $I\left(s\right)$ est donnée par:}
\begin{lem}
\textsf{\label{lem:from-i1-to-i}Si $I\left(s\right)=\int_{1}^{\infty}\left(\varphi\left(x\right)-x\right)/x^{s+1}\mathrm{d}x$
a une extension méromorphe à $\mathbb{H}_{\frac{1}{2}}$ sans pôle
sur $\bar{\mathbb{H}}_{1}$, alors $I_{1}$ converge. }
\end{lem}

\textsf{La connexion entre $I$ et $\Phi$ est donnée par:}
\begin{lem}
\textsf{\label{lem:from-i-to-bigphi}La fonction $I$ s'étend en une
fonction méromorphe sur $\mathbb{H}_{\frac{1}{2}}$ qui satisfait
\[
I\left(s\right)=\frac{\Phi\left(s\right)}{s}-\frac{1}{s-1}.
\]
}
\end{lem}

\textsf{La connexion entre les pôles de de $\Phi$ et ceux de $\zeta$
est donnée par:}
\begin{lem}
\textsf{\label{lem:from-bigphi-to-zeta}Sur $\mathbb{H}_{\frac{1}{2}}$,
la fonction $\Phi$ a une extension méromorphe avec des pôles simples
qui correspondent aux zéros et aux pôles de la fonction $\zeta$: }
\begin{itemize}
\item \textsf{Tout zéro d'ordre $n$ de $\zeta$ correspond à un pôle simple
avec résidu $-n$ de $\Phi$. }
\item \textsf{Le pôle simple de $\zeta$ correspond à un pôle simple avec
résidu $1$ de $\Phi$. }
\end{itemize}
\end{lem}

\textsf{Pour les zéros de la fonction $\zeta$ on a:}
\begin{lem}
\textsf{\label{lem:zeta-zeroes}Sur $\bar{\mathbb{H}}_{1}$, la fonction
$\zeta$ n'a aucun zéro. }
\end{lem}

\textsf{Avec tous ces ingrédients, nous avons maintenant la preuve
du théorème des nombres premiers:}
\begin{proof}[Preuve du théorème \ref{thm:prime-number-theorem}]
\textsf{Avec les lemmes ci-dessus, la preuve est très simple: }
\begin{itemize}
\item \textsf{Par le lemme \ref{lem:zeta-zeroes}, la fonction $\zeta$
n'a pas de zéro.}
\item \textsf{Par le lemme \ref{lem:from-bigphi-to-zeta} le seul pôle de
la fonction $\Phi$ sur $\bar{\mathbb{H}_{1}}$ est un pôle simple
en $1$, avec un résidu de $1$. }
\item \textsf{Par le lemme \ref{lem:from-i-to-bigphi}, la fonction $I$
n'a pas de pôle sur $\bar{\mathbb{H}}_{1}$.}
\item \textsf{Par le lemme \ref{lem:from-i1-to-i}, l'intégrale $I_{1}$
converge.}
\item \textsf{Par le lemme \ref{lem:from-phi-to-i1}, on a que $\varphi\left(n\right)\sim n$.}
\item \textsf{Par le lemme \ref{lem:from-pi-to-phi}, on a que $\pi\left(n\right)\sim n/\log n$. }
\end{itemize}
\end{proof}
\begin{rem}
\textsf{Dans les sections ci-dessous, la preuve des lemmes nécessaires
est donnée, entre-coupée d'énoncés préliminaires pour la preuve de
ces lemmes. Les énoncés se déduisent dans l'ordre linéaire: il n'y
a que dans la preuve du théorème \ref{thm:prime-number-theorem} qu'on
a fait appel à des lemmes prouvés ultiérieurement (il est présenté
ainsi pour des raisons de clarté, et pour permettre de voir la structure
d'ensemble).}
\end{rem}


\subsection{\textsf{Preuve du lemme \ref{lem:zeta-only-has-one-pole-in-h0}}}

\textsf{Nous montrons maintenant que la fonction $\zeta$ s'étend
en une fonction méromorphe au-delà de $\mathbb{H}_{1}$:}
\begin{lem*}[Lemme \ref{lem:zeta-only-has-one-pole-in-h0}]
\textsf{La fonction $s\mapsto\zeta\left(s\right)-\frac{1}{s-1}$
a un prolongement holomorphe à $\mathbb{H}_{0}$. }
\end{lem*}
\begin{proof}
\textsf{L'idée est de couper en morceaux:}
\begin{itemize}
\item \textsf{Observons d'abord que $\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x^{s}}\mathrm{d}x=\frac{x^{-s+1}}{-s+1}\Big|_{1}^{\infty}=\frac{1}{s-1}.$ }
\item \textsf{On peut ensuite écrire 
\begin{align*}
\zeta\left(s\right)-\frac{1}{s-1} & =\left(\sum_{n=1}^{\infty}\int_{n}^{n+1}\frac{1}{n^{s}}\mathrm{d}x\right)-\left(\sum_{n=1}^{\infty}\int_{n}^{n+1}\frac{1}{x^{s}}\mathrm{d}x\right)\\
 & =\sum_{n=1}^{\infty}\int_{n}^{n+1}\left(\frac{1}{n^{s}}-\frac{1}{x^{s}}\right)\mathrm{d}x\\
 & =\sum_{n=1}^{\infty}\varphi_{n}\left(s\right),
\end{align*}
où 
\[
\varphi_{n}\left(s\right)=\int_{n}^{n+1}\left(\frac{1}{n^{s}}-\frac{1}{x^{s}}\right)\mathrm{d}x.
\]
}
\item \textsf{Maintenant, en utilisant la majoration classique $\left|\int_{a}^{b}f\left(x\right)\mathrm{d}x\right|\leq\left|b-a\right|\sup_{x\in\left[a,b\right]}\left|f\left(x\right)\right|$
suivie de l'inégalité des accroissements finis, on obtient
\[
\left|\varphi_{n}\left(s\right)\right|\leq\sup_{x\in\left[n,n+1\right]}\left|\frac{1}{n^{s}}-\frac{1}{x^{s}}\right|\leq\sup_{x\in\left[n,n+1\right]}\left|\frac{s}{x^{s+1}}\right|=\frac{\left|s\right|}{n^{\Re\mathfrak{e}\left(s\right)+1}}.
\]
 }
\item \textsf{On a gagné un facteur de $\frac{1}{n}$ au dénominateur: comme
\[
\sum_{n=1}^{\infty}\left|\varphi_{n}\left(s\right)\right|\leq\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\left|s\right|}{n^{\Re\mathfrak{e}\left(s\right)+1}}<\infty
\]
 pour tout $s\in\mathbb{H}_{0}$, on a que $\sum_{n=1}^{\infty}\varphi_{n}$
converge normalement sur $\mathbb{H}_{0}$.}
\item \textsf{En conséquence $\sum_{n=1}^{\infty}\varphi_{n}$ est un prolongement
analytique de $s\mapsto\zeta\left(s\right)-\frac{1}{s-1}$ à $\mathbb{H}_{0}$. }
\end{itemize}
\end{proof}


\subsection{\textsf{Preuve du lemme \ref{lem:from-pi-to-phi}}}

\textsf{Nous ramenons maintenant le théorème des nombres premiers
à un énoncé sur le comportement asymptotique de $\varphi$:}
\begin{lem*}[Lemme \ref{lem:from-pi-to-phi}]
\textsf{Soit $\varphi\left(x\right)=\sum_{p\leq x}\log p$, où la
somme est sur les nombres premiers $p\leq x$. Si $\varphi\left(n\right)\sim n$
quand $n\to\infty$, alors $\pi\left(n\right)\sim n/\log n$. }
\end{lem*}
\begin{proof}
\textsf{Montrons que $\pi\left(x\right)\sim\varphi\left(x\right)/\log\left(x\right)$:}
\begin{itemize}
\item \textsf{On a 
\[
\varphi\left(x\right)=\sum_{p\leq x}\log p\leq\sum_{p\leq x}\log x=\pi\left(x\right)\log\left(x\right),
\]
ce qui nous donne la direction facile
\[
\pi\left(x\right)\geq\varphi\left(x\right)/\log\left(x\right).
\]
}
\item \textsf{Maintenant pout tout $\epsilon>0$, on a 
\begin{align*}
\varphi\left(x\right) & \geq\sum_{x^{1-\epsilon}\leq p\leq x}\log\left(p\right)\\
 & \geq\sum_{x^{1-\epsilon}\leq p\leq x}\log\left(x^{1-\epsilon}\right)\\
 & \geq\left(1-\epsilon\right)\sum_{x^{1-\epsilon}\leq p\leq x}\log\left(x\right)\\
 & \geq\left(1-\epsilon\right)\left(\pi\left(x\right)-\pi\left(x^{1-\epsilon}\right)\right)\ln\left(x\right)\\
 & =\left(1-\epsilon\right)\pi\left(x\right)\ln\left(x\right)\left(1-\frac{\pi\left(x^{1-\epsilon}\right)}{\pi\left(x\right)}\right)
\end{align*}
 ce qui donne
\[
\varphi\left(x\right)\geq\left(1-\epsilon\right)\left(\pi\left(x\right)-\pi\left(x^{1-\epsilon}\right)\right)\log\left(x\right)\geq\left(1-\epsilon\right)\pi\left(x\right)\log\left(x\right)\left(1-\frac{\pi\left(x^{1-\epsilon}\right)}{\pi\left(x\right)}\right).
\]
}
\item \textsf{Maintenant, comme $\pi\left(x^{1-\epsilon}\right)\leq x^{1-\epsilon}$
et comme $\pi\left(x\right)\geq\varphi\left(x\right)/\log\left(x\right)$
(la direction facile), on a $\pi\left(x^{1-\epsilon}\right)/\pi\left(x\right)\leq x^{1-\epsilon}\log\left(x\right)/\varphi\left(x\right)$.}
\item \textsf{Maintenant comme $\varphi\left(x\right)\sim x$, on a $x^{1-\epsilon}\ln\left(x\right)/\varphi\left(x\right)\underset{x\to\infty}{\longrightarrow}0$
et donc pour tout $\epsilon>0$, il existe $M\geq0$ tel que pour
tout $x\geq M$, on ait
\[
\varphi\left(x\right)\geq\left(1-\epsilon\right)\left(\pi\left(x\right)-\pi\left(x^{1-\epsilon}\right)\right)\log\left(x\right)\geq\left(1-\epsilon\right)\pi\left(x\right)\log\left(x\right)\left(1-\epsilon\right)=\left(1-\epsilon\right)^{2}\pi\left(x\right)\log\left(x\right).
\]
}
\item \textsf{Comme $\epsilon>0$ est arbitraire, on a que $\lim_{x\to\infty}\pi\left(x\right)/\log\left(x\right)=1$,
ce qui est ce qu'on voulait montrer. }
\end{itemize}
\end{proof}


\subsection{\textsf{Preuve du lemme \ref{lem:from-phi-to-i1}}}

\textsf{Nous connectons maintenant le comportement asymptotique de
$\varphi\left(n\right)$ avec la convergence de l'intégrale $I_{1}$:}
\begin{lem*}[Lemme \ref{lem:from-phi-to-i1}]
\textsf{Si $I_{1}=\int_{1}^{\infty}\left(\varphi\left(x\right)-x\right)/x^{2}\mathrm{d}x$
converge, alors $\varphi\left(n\right)\sim n$. }
\end{lem*}
\begin{proof}
\textsf{L'idée est que si $\varphi\left(x\right)-x$ devient trop
grand ou trop petit (dans les négatifs), cela empêche l'intégrale
$F\left(y\right)=\int_{1}^{y}\left(\varphi\left(x\right)-x\right)/x^{2}\mathrm{d}x$
de se stabiliser quand $y\to\infty$. }
\begin{itemize}
\item \textsf{Il suffit de montrer que pour tout $\epsilon>0$, l'ensemble
$\left\{ x\in\mathbb{R}_{+}^{*}:\left|\varphi\left(x\right)-x\right|\geq\epsilon x\right\} $
est borné.}
\item \textsf{Posons $\lambda=1+\epsilon>1$ et montrons d'abord par l'absurde
que $\left\{ x\in\mathbb{R}_{+}^{*}:\varphi\left(x\right)\geq\lambda x\right\} $
est borné}
\begin{itemize}
\item \textsf{Sinon, il existe une suite $\left(a_{n}\right)_{n\geq0}$
dans $\mathbb{R}_{+}^{*}$ avec $a_{n}\to+\infty$ telle que $\varphi\left(a_{n}\right)\geq\lambda a_{n}$.}
\item \textsf{On aurait alors,
\[
\int_{a_{n}}^{\lambda a_{n}}\frac{\varphi\left(x\right)-x}{x^{2}}\mathrm{d}x\geq\int_{a_{n}}^{\lambda a_{n}}\frac{\lambda a_{n}-x}{x^{2}}\mathrm{d}x=\int_{1}^{\lambda}\frac{\lambda a_{n}-ta_{n}}{t^{2}a_{n}^{2}}a_{n}\mathrm{d}t=\int_{1}^{\lambda}\frac{\lambda-t}{t^{2}}\mathrm{d}t\geq\frac{1}{\lambda^{2}}\int_{1}^{\lambda}\left(\lambda-t\right)\mathrm{d}t=\frac{\left(\lambda-1\right)^{2}}{2\lambda^{2}}=c\left(\lambda\right)>0
\]
où dans la première inégalité on a utilisé que $\varphi\left(x\right)\geq\varphi\left(a_{n}\right)\geq\lambda a_{n}$
sur $\left[a_{n},\lambda a_{n}\right]$ (car $\varphi$ est croissante)
et dans la première égalité on a utilisé le changement de variable
$x=ta_{n},\mathrm{d}x=a_{n}\mathrm{d}t$.}
\item \textsf{Ainsi on aurait une suite $a_{n}\to+\infty$ avec $F\left(\lambda a_{n}\right)-F\left(a_{n}\right)\geq c\left(\lambda\right)>0$
pour tout $n\geq0$ et donc $F$ ne pourrait pas converger. }
\end{itemize}
\item \textsf{Posons maintenant $\mu=1-\epsilon<1$ et montrons que $\left\{ x\in\mathbb{R}_{+}^{*}:\varphi\left(x\right)\leq\mu x\right\} $
est borné de la même manière.}
\begin{itemize}
\item \textsf{Sinon, il existe une suite $\left(b_{n}\right)_{n\geq0}$
dans $\mathbb{R}_{+}^{*}$ avec $b_{n}\to+\infty$ telle que $\varphi\left(b_{n}\right)\leq\mu b_{n}$. }
\item \textsf{On aurait alors, en utilisant les mêmes techniques que pour
$\left(a_{n}\right)_{n\geq0}$ ci-dessus:
\[
\int_{\mu b_{n}}^{b_{n}}\frac{\varphi\left(x\right)-x}{x^{2}}\mathrm{d}x\leq\int_{\mu b_{n}}^{b_{n}}\frac{\mu b_{n}-x}{x^{2}}\mathrm{d}x=\int_{\mu}^{1}\frac{\mu-t}{t^{2}}\mathrm{d}t\leq-\left(\mu-1\right)^{2}=\tilde{c}\left(\mu\right)<0.
\]
 }
\item \textsf{Ainsi on aurait une suite $b_{n}\to+\infty$ avec $F\left(b_{n}\right)-F\left(\mu b_{n}\right)\leq\tilde{c}\left(\mu\right)<0$
et donc $F$ ne pourrait pas converger.}
\end{itemize}
\item \textsf{On en déduit que $\left\{ x\in\mathbb{R}_{+}^{*}:\left|\varphi\left(x\right)-x\right|\geq\epsilon x\right\} $
est borné pour tout $\epsilon>0$ et ainsi $\left|\frac{\varphi\left(x\right)}{x}-1\right|\underset{x\to+\infty}{\longrightarrow}0$,
ce qui est qu'on voulait démontrer. }
\end{itemize}
\end{proof}


\subsection{\textsf{\protect\label{subsec:laplace-transform}Transformation de
Laplace}}

\textsf{Afin de prouver le lemme \ref{lem:from-i1-to-i} qui nous
permet de conclure de l'existence de l'intégrale $I_{1}=\int_{1}^{\infty}\frac{\varphi\left(x\right)-x}{x^{2}}$
à partir de l'absence de pôle de $I\left(s\right)=\int_{1}^{\infty}\frac{\varphi\left(x\right)-x}{x^{s+1}}\mathrm{d}x$
sur $\bar{\mathbb{H}}_{0}$, nous aurons besoin d'un résultat sur
la transformation de Laplace. }
\begin{defn}
\textsf{Pour une fonction $f:\mathbb{R}_{+}\to\mathbb{C}$ bornée
et continue par morceaux, on définit sa transformée de Laplace $\mathcal{L}f:\mathbb{H}_{0}\to\mathbb{C}$
par
\[
\mathcal{L}f\left(z\right)=\int_{0}^{+\infty}f\left(t\right)e^{-zt}\mathrm{d}t.
\]
}
\end{defn}

\begin{rem}
\textsf{\label{rem:laplace-transform-is-holomoprhic}La convergence
de l'intégrale $\mathcal{L}f\left(z\right)$ pour $z\in\mathbb{H}_{0}$
est facile à voir comme $f$ est bornée (et continue par morceaux),
grâce à la décroissance exponentielle de $e^{zt}$ quand $t\to+\infty$,
et il est facile de voir qu'elle est holomorphe sur $\mathbb{H}_{0}$
pour les mêmes raisons. }
\end{rem}

\textsf{Intuitivement, quand $z\to0$, sir $\mathcal{L}f$ et $f$
sont assez régulières, on devrait retrouver $\int_{0}^{\infty}f\left(t\right)\mathrm{d}t$;
c'est précisément ce que donne le théorème suivant:}
\begin{thm}
\textsf{\label{thm:laplace}Soit $f:\mathbb{R}_{+}\to\mathbb{C}$
bornée et continue par morceaux. Si $\mathcal{L}f$ s'étend en une
fonction méromorphe sur $\mathbb{H}_{-\delta}$ pour un $\delta>0$
qui soit sans pôle sur $\bar{\mathbb{H}}_{0}$, alors $\int_{0}^{\infty}f\left(t\right)\mathrm{d}t$
existe et vaut $\mathcal{L}f\left(0\right)$. }
\end{thm}

\begin{rem}
\textsf{Malgré sont côté intuitif, ce théorème est vraiment non trivial,
en ceci qu'il connecte la présence d'une extension méromorphe à $\mathcal{L}f$
(qui n'a a priori pas forcément d'interprétation en tant qu'intégrale
de $f$) au comportement de $f$. Comme on le voit dans la preuve,
l'idée-clé est que si une fonction a un prolongement analytique, on
peut exprimer ses valeurs en termes d'intégrales de contours qui peuvent
se promener n'importe où dans la région du prolongement analytique. }
\end{rem}

\begin{proof}[Preuve du lemme \ref{thm:laplace}]
\textsf{Pour $T>0$, définissons la fonction entière $\mathcal{L}_{T}f\left(z\right)=\int_{0}^{T}f\left(t\right)e^{-tz}$;
ce qu'il nous faut montrer est que quand $T\to\infty$:
\[
\mathcal{L}_{T}f\left(0\right)-\mathcal{L}f\left(0\right)=\underset{T\to+\infty}{\longrightarrow}0.
\]
}
\begin{itemize}
\item \textsf{L'idée est d'exploiter la méromorphie de $\mathcal{L}_{T}f-\mathcal{L}f$
pour exprimer sa valeur en $0$ en terme d'une intégrale de contour
et de montrer que cette intégrale de contour est aussi petite qu'on
veut. }
\item \textsf{Pour $R>0$, posons $\Omega_{R}=\mathbb{H}_{-\delta/2}\cap D\left(0,R\right)$;
on décompose le lacet $\partial\Omega_{R}$ en quatre morceaux (orienté
dans le sens trigonométrique):}
\begin{itemize}
\item \textsf{Le demi-cercle $C_{R}^{+}=\partial\Omega_{R}\cap\mathbb{\bar{H}}_{0}$,
orienté de bas en haut. }
\item \textsf{La corde $C_{R}^{-}=\partial\Omega_{R}\cap\partial\mathbb{H}_{-\delta/2}$,
orientée de haut en bas.}
\item \textsf{Un petit arc de cercle supérieur $S_{R}^{+}$ de longueur
$\mathcal{O}\left(\delta\right)$, orienté de droite à gauche.}
\item \textsf{Un petit arc de cercle inférieur $S_{R}^{-}$, de longueur
$\mathcal{O}\left(\delta\right)$, orienté de gauche à droite.}
\end{itemize}
\item \textsf{Pour $R$ fixé, on peut supposer, quitte à réduire $\delta>0$,
que $\mathcal{L}f$ n'a aucun pôle dans $\Omega_{R}$ (par hypothèse,
il n'y a aucun pôle sur $\bar{\mathbb{H}}_{0}$ et les pôles sur $\mathbb{H}_{-\delta/2}\setminus\bar{\mathbb{H}}_{0}$
sont isolés).}
\item \textsf{On a donc
\[
\mathcal{L}_{T}f\left(0\right)-\mathcal{L}f\left(0\right)=\frac{1}{2\pi i}\oint_{\partial\Omega_{R}}\left(\mathcal{L}_{T}f\left(z\right)-\mathcal{L}f\left(z\right)\right)\frac{\mathrm{d}z}{z}.
\]
}
\item \textsf{Maintenant, on peut multiplier par la fonction artificielle
$z\mapsto\left(1+z^{2}/R^{2}\right)e^{Tz}$ qui vaut $1$ en $0$
et n'a pas de pôle (la raison de son choix va devenir claire quand
on obtiendra la borne (\ref{eq:bound-difference-laplace-cutoff})
ci-dessous) et écrire
\begin{align*}
\mathcal{L}_{T}f\left(0\right)-\mathcal{L}f\left(0\right) & =\frac{1}{2\pi i}\oint_{\partial\Omega_{R}}\left(\mathcal{L}_{T}f\left(z\right)-\mathcal{L}f\left(z\right)\right)\left(1+\frac{z^{2}}{R^{2}}\right)e^{Tz}\frac{\mathrm{d}z}{z}\\
 & =A_{R,T}^{+}+A_{R,T}^{-}
\end{align*}
où $A_{R,T}^{+},A_{R,T}^{-}$ désignent les intégrales le long de
$C_{R}^{+}$ et de $\Gamma_{R}^{-}=S_{R}^{+}\cup C_{R}^{-}\cup S_{R}^{-}$
respectivement.}
\item \textsf{On décompose encore 
\[
A_{R,T}^{-}=E_{R,T}^{-}-F_{R,T}^{-},
\]
où 
\begin{align*}
E_{R,T}^{-} & =\frac{1}{2\pi i}\oint_{\Gamma_{R}^{-}}\mathcal{L}_{T}f\left(z\right)\left(1+\frac{z^{2}}{R^{2}}\right)e^{Tz}\frac{\mathrm{d}z}{z},\\
F_{R,T}^{-} & =\frac{1}{2\pi i}\oint_{\Gamma_{R}^{-}}\mathcal{L}f\left(z\right)\left(1+\frac{z^{2}}{R^{2}}\right)e^{Tz}\frac{\mathrm{d}z}{z}.
\end{align*}
 }
\item \textsf{On va montrer que pour tout $\epsilon>0$, on peut trouver
$R$ assez grand pour que $\left|A_{R,T}^{+}\right|\leq\epsilon/2$
et que $\left|E_{R}^{-}\right|\leq\epsilon/2$ et qu'ensuite pour
tout $R$ fixé, $\lim_{T\to\infty}F_{R,T}^{-}=0$. Cela donnera $\limsup_{T\to\infty}\left|\mathcal{L}_{T}f\left(0\right)-\mathcal{L}f\left(0\right)\right|\leq\epsilon$
pour tout $\epsilon$, et ainsi 
\[
\mathcal{L}_{T}f\left(0\right)\underset{T\to\infty}{\longrightarrow}\mathcal{L}f\left(0\right).
\]
}
\begin{itemize}
\item \textsf{Pour $A_{R,T}^{+}$:}
\begin{itemize}
\item \textsf{Pour $z\in\mathbb{H}_{0}$, si on note 
\[
M=\sup_{t\in\mathbb{R}_{+}}\left|f\left(t\right)\right|,
\]
 on a 
\begin{equation}
\left|\mathcal{L}_{T}f\left(z\right)-\mathcal{L}f\left(z\right)\right|=\left|\int_{T}^{\infty}f\left(t\right)e^{-zt}\mathrm{d}t\right|\leq M\int_{T}^{\infty}\left|e^{-zt}\mathrm{d}t\right|=\frac{Me^{-\Re\mathfrak{e}\left(z\right)T}}{\left|\Re\mathfrak{e}\left(z\right)\right|}.\label{eq:bound-difference-laplace-cutoff}
\end{equation}
}
\item \textsf{D'autre part pour $z\in\partial D\left(0,R\right)$, on a
$R/z=\bar{z}/R$, d'où
\begin{equation}
\left|e^{Tz}\left(1+\frac{z^{2}}{R^{2}}\right)\frac{1}{z}\right|=\frac{\left|e^{Tz}\right|}{R}\left|\frac{R}{z}+\frac{z}{R}\right|=\frac{\left|e^{Tz}\right|}{R}\left|\frac{z}{R}+\frac{\bar{z}}{R}\right|=2\frac{e^{T\Re\mathfrak{e}\left(z\right)}}{R^{2}}\left|\Re\mathfrak{e}\left(z\right)\right|.\label{eq:bound-artificial-term}
\end{equation}
}
\item \textsf{On voit que le terme artificiel $e^{Tz}\left(1+\frac{z^{2}}{R^{2}}\right)$
a précisément servi à équilibrer la borne supérieure sur $\left|\mathcal{L}_{T}f\left(z\right)-\mathcal{L}f\left(z\right)\right|$. }
\item \textsf{Ainsi, sur $z\in C_{R}^{+}$, on obtient:
\begin{equation}
\left|\left(\mathcal{L}_{T}f\left(z\right)-\mathcal{L}f\left(z\right)\right)\left(e^{Tz}\left(1+\frac{z^{2}}{R^{2}}\right)\frac{1}{z}\right)\right|\leq2\frac{M}{R^{2}}.\label{eq:bound-integrand-laplace}
\end{equation}
 }
\item \textsf{Cela nous permet de majorer l'intégrale $A_{R,T}^{+}$ en
termes de la longueur de $C_{R}^{+}$ (qui vaut $\pi R$) et du maximum
de l'intégrand (qui vaut $2M/R$)
\begin{equation}
\left|A_{R,T}^{+}\right|=\left|\frac{1}{2\pi i}\oint_{C_{R}^{+}}\left(\mathcal{L}_{T}f\left(z\right)-\mathcal{L}f\left(z\right)\right)\left(1+\frac{z^{2}}{R^{2}}\right)e^{Tz}\frac{\mathrm{d}z}{z}\right|\leq\frac{1}{2\pi}\cdot\pi R\cdot\left(2\frac{M}{R^{2}}\right)=\frac{M}{R}.\label{eq:bound-first-integral-laplace}
\end{equation}
 }
\item \textsf{Ainsi, pour $R\geq2M/\epsilon$, on a que $\left|A_{R,T}^{+}\right|\leq\epsilon/2$
pour tout $T\in\mathbb{R}_{+}$.}
\end{itemize}
\item \textsf{Pour $E_{R,T}^{-}$, on procède de manière similaire:}
\begin{itemize}
\item \textsf{Comme $\mathcal{L}_{T}f$ est une fonction entière, on peut
déformer $\Gamma_{R}^{-}$ en $O_{R}^{-}$, le demi-cercle $\left\{ z\in\partial D\left(0,R\right):\Re\mathfrak{e}\left(z\right)\leq0\right\} $,
et écrire
\[
\left|\frac{1}{2\pi i}\int_{\Gamma_{R}^{-}}\mathcal{L}_{T}f\left(z\right)e^{Tz}\left(1+\frac{z^{2}}{R^{2}}\right)\mathrm{d}z\right|=\left|\frac{1}{2\pi i}\int_{O_{R}^{-}}\mathcal{L}_{T}f\left(z\right)e^{Tz}\left(1+\frac{z^{2}}{R^{2}}\right)\mathrm{d}z\right|.
\]
}
\item \textsf{On ensuite l'inégalité:
\[
\left|\mathcal{L}_{T}f\left(z\right)\right|=\left|\int_{0}^{T}f\left(t\right)e^{-tz}\mathrm{d}z\right|\leq M\left|\int_{0}^{T}e^{-\Re\mathfrak{e}\left(z\right)t}\mathrm{d}t\right|=M\frac{e^{-\Re\mathfrak{e}\left(z\right)T}-1}{\left|\Re\mathfrak{e}\left(z\right)\right|}\leq\frac{Me^{-\Re\mathfrak{e}\left(z\right)T}}{\left|\Re\mathfrak{e}\left(z\right)\right|}.
\]
 }
\item \textsf{En réutilisant (\ref{eq:bound-artificial-term}), pour tout
$z\in\partial D\left(0,R\right)$, on a
\[
\left|e^{Tz}\left(1+\frac{z^{2}}{R^{2}}\right)\frac{1}{z}\right|=2\frac{e^{T\Re\mathfrak{e}\left(z\right)}}{R^{2}}\left|\Re\mathfrak{e}\left(z\right)\right|,
\]
}
\item \textsf{Cela nous donne la borne similaire à (\ref{eq:bound-integrand-laplace}):
\[
\left|\mathcal{L}_{T}f\left(z\right)e^{Tz}\left(1+\frac{z^{2}}{R^{2}}\right)\frac{1}{z}\right|\leq2\frac{M}{R^{2}}.
\]
}
\item \textsf{On peut majorer l'intégrale $E_{R,T}^{-}$ comme pour (\ref{eq:bound-first-integral-laplace})
\[
\left|E_{R,T}^{-}\right|=\left|\frac{1}{2\pi i}\oint_{\Gamma_{R}^{-}}\mathcal{L}_{T}f\left(z\right)\left(1+\frac{z^{2}}{R^{2}}\right)e^{Tz}\frac{\mathrm{d}z}{z}\right|\leq\frac{1}{2\pi}\frac{Me^{-\Re\mathfrak{e}\left(z\right)T}}{\left|\Re\mathfrak{e}\left(z\right)\right|}\left(2\frac{e^{T\Re\mathfrak{e}\left(z\right)}}{R^{2}}\left|\Re\mathfrak{e}\left(z\right)\right|\right)\leq\frac{M}{R}.
\]
}
\item \textsf{Ainsi, comme pour $A_{R,T}^{+}$, pour $R\geq2M/\epsilon$,
on a $\left|E_{R,T}^{-}\right|\leq\epsilon/2$. }
\end{itemize}
\item \textsf{Pour $F_{R,T}^{-}$, on observe d'abord que sur $\left\{ z\in\mathbb{C}:\Re\mathfrak{e}\left(z\right)<0\right\} $,
on a
\[
e^{Tz}=e^{\Re\mathfrak{e}\left(z\right)T}\underset{T\to+\infty}{\longrightarrow}0.
\]
}
\item \textsf{Ainsi, pour tout $R$ fixé, on a, comme $\mathcal{L}f\left(z\right)\left(1+\frac{z^{2}}{R^{2}}\right)$
est indépendant de $T$,
\[
F_{R,T}^{-}=\frac{1}{2\pi i}\oint_{\Gamma_{R}^{-}}\mathcal{L}f\left(z\right)\left(1+\frac{z^{2}}{R^{2}}\right)e^{Tz}\frac{\mathrm{d}z}{z}\underset{T\to+\infty}{\longrightarrow}0.
\]
 }
\end{itemize}
\item \textsf{Comme annoncé plus haut, pour tout $\epsilon>0$, si on prend
$R=2M/\epsilon$, on a que $\left|A_{R,T}^{+}\right|\leq\epsilon/2$
et $\left|E_{R,T}^{-}\right|\leq\epsilon/2$ pour tout $T$. Comme
$F_{R,T}^{-}\underset{T\to+\infty}{\longrightarrow}0$ pour tout $R$
fixé, on a
\[
\limsup_{T\to+\infty}\left|\mathcal{L}_{T}f\left(0\right)-\mathcal{L}f\left(0\right)\right|\leq\epsilon,
\]
et donc 
\[
\limsup_{T\to+\infty}\left|\mathcal{L}_{T}f\left(0\right)-\mathcal{L}f\left(0\right)\right|=0,
\]
ce qui nous donne 
\[
\mathcal{L}_{T}f\left(0\right)\underset{T\to\infty}{\longrightarrow}\mathcal{L}f\left(0\right),
\]
comme désiré. }
\end{itemize}
\end{proof}


\subsection{\textsf{Estimation de $\varphi\left(x\right)/x$}}

\textsf{L'autre ingrédient clé afin de prouver le lemme \ref{lem:from-i1-to-i},
est une petite estimation a priori sur $\varphi\left(x\right)/x$. }
\begin{lem}
\textsf{\label{lem:phi-over-x-is-bounded}La fonction $x\mapsto\varphi\left(x\right)/x$
est bornée sur $\mathbb{R}_{+}^{*}$.}
\end{lem}

\begin{proof}
\textsf{L'idée est de borner $\varphi\left(2x\right)-\varphi\left(x\right)$
par $Cx$ pour une constante $C>0$:}
\begin{itemize}
\item \textsf{Soit $\prod_{p\in\left[n+1,2n\right]}p$ le produit des nombres
premiers entre $n+1$ et $2n$.}
\item \textsf{On a 
\[
\prod_{p\in\left[n+1,2n\right]}p\leq\left(2n\right)!/\left(n!\right)^{2}=\binom{2n}{n},
\]
 car tous les nombres premiers $p\in\left[n+1,2n\right]$ divisent
le numérateur $\left(2n\right)!$ et ne sont pas éliminés par le dénominateur
$\left(n!\right)^{2}$. }
\item \textsf{Comme 
\[
\left(1+1\right)^{2n}=\sum_{k=0}^{2n}\binom{2n}{k}\geq\binom{2n}{n},
\]
on obtient donc
\[
\prod_{p\in\left[n+1,2n\right]}p\leq\binom{2n}{n}\leq\left(1+1\right)^{2n}=2^{2n}.
\]
 }
\item \textsf{Donc 
\[
\varphi\left(2n\right)-\varphi\left(n\right)=\sum_{p\in\left[n+1,2n\right]}\log p=\log\left(\prod_{p\in\left[n+1,2n\right]}p\right)\leq\left(2\log\left(2\right)\right)n,
\]
ce qui suggère déjà que $\varphi$ croît au plus linéairement (ce
qui est ce qu'on veut montrer).}
\item \textsf{Il faut maintenant généraliser une telle inégalité aux réels:
our $x\in\mathbb{R}_{+}^{*}$, on a
\[
\varphi\left(x\right)\geq\varphi\left(\lfloor x\rfloor\right)
\]
et
\[
\varphi\left(2x\right)\leq\varphi\left(2\lfloor x\rfloor\right)+\log\left(2x+1\right).
\]
donc 
\[
\varphi\left(2x\right)-\varphi\left(x\right)\leq\varphi\left(2\lfloor x\rfloor\right)-\varphi\left(\lfloor x\rfloor\right)+\log\left(2x+1\right)\leq2\lfloor x\rfloor\log2+\log\left(2x+1\right)\leq2x\log2+\log\left(2x+1\right)
\]
 }
\item \textsf{Comme $\log\left(2x+1\right)\leq2x$ pour $x\geq0$ (on égalité
en $x=0$, et on a l'inégalité des dérivées $\frac{2}{2x+1}\leq2$),
on a, en posant $C=\left(\log2+1\right)$,
\[
\varphi\left(2x\right)-\varphi\left(x\right)\leq2Cx
\]
 }
\item \textsf{Donc 
\[
\varphi\left(x\right)-\varphi\left(\frac{x}{2}\right)\leq Cx
\]
et ainsi pour tout $n\geq1$, on a
\begin{align*}
\varphi\left(x\right)-\varphi\left(\frac{x}{2^{n}}\right) & =\varphi\left(x\right)-\varphi\left(\frac{x}{2}\right)+\varphi\left(\frac{x}{2}\right)-\varphi\left(\frac{x}{4}\right)+\cdots+\varphi\left(\frac{x}{2^{n-1}}\right)-\varphi\left(\frac{x}{2^{n}}\right)\\
 & \leq C\left(x+\frac{x}{2}+\frac{x}{4}+\cdots+\frac{x}{2^{n-1}}\right)\\
 & \leq2Cx
\end{align*}
}
\item \textsf{Il suit que $\varphi\left(x\right)/x\leq2C$, ce qu'on voulait
démontrer. }
\end{itemize}
\end{proof}


\subsection{\textsf{Preuve du lemme \ref{lem:from-i1-to-i}}}

\textsf{Nous connectons maintenant la convergence de l'intégrale $I_{1}$
à l'analyticité de la fonction $I\left(s\right)$:}
\begin{lem*}[Lemme \ref{lem:from-i1-to-i}]
\textsf{Si $I\left(s\right)=\int_{1}^{\infty}\left(\varphi\left(x\right)-x\right)/x^{s+1}\mathrm{d}x$
a une extension méromorphe à $\mathbb{H}_{\frac{1}{2}}$ sans pôle
sur $\bar{\mathbb{H}}_{1}$, alors $I_{1}$ converge. }
\end{lem*}
\begin{proof}
\textsf{Il faut essentiellement se ramener au lemme \ref{thm:laplace}
sur la transformée de Laplace, en garantissant que les conditions
soient satisfaites:}
\begin{itemize}
\item \textsf{Si on fait le changement de variable $x=e^{t}$, on a, en
posant $f\left(t\right)=\left(\varphi\left(e^{t}\right)e^{-t}-1\right)$,
\[
,
\]
\begin{align*}
I\left(s\right) & =\int_{1}^{\infty}\frac{\varphi\left(x\right)-x}{x^{s+1}}\mathrm{d}x\\
 & =\int_{0}^{\infty}\frac{\varphi\left(e^{t}\right)-e^{t}}{e^{t\left(s+1\right)}}e^{t}\mathrm{d}t\\
 & =\int_{0}^{\infty}\left(\varphi\left(e^{t}\right)-e^{t}\right)e^{-t\left(s+1\right)}e^{t}\mathrm{d}t\\
 & =\int_{0}^{\infty}\left(\frac{\varphi\left(e^{t}\right)}{e^{t}}-1\right)e^{-t\left(s-1\right)}\mathrm{d}t\\
 & =\int_{0}^{\infty}f\left(t\right)e^{-t\left(s-1\right)}\mathrm{d}t\\
 & =\mathcal{L}f\left(s-1\right)
\end{align*}
}
\item \textsf{De manière similaire, on a 
\[
I_{1}=\int_{1}^{\infty}\frac{\varphi\left(x\right)-x}{x^{2}}\mathrm{d}x=\int_{0}^{\infty}\frac{\varphi\left(e^{t}\right)-e^{t}}{e^{2t}}e^{t}\mathrm{d}t=\int_{0}^{\infty}\left(\frac{\varphi\left(e^{t}\right)}{e^{t}}-1\right)\mathrm{d}t=\int_{0}^{\infty}f\left(t\right)\mathrm{d}t.
\]
}
\item \textsf{Maintenant comme $I$ est méromorphe sur $\mathbb{H}_{\frac{1}{2}}$,
on a que $\mathcal{L}f$ est méromorphe sur $\mathbb{H}_{-\frac{1}{2}}$.}
\item \textsf{Par le lemme \ref{lem:phi-over-x-is-bounded}, $\varphi\left(e^{t}\right)/e^{t}$
est bornée par le lemme. On a donc que $f$ est bornée et continue
par morceaux.}
\item \textsf{On peut appliquer le théorème \ref{thm:laplace} pour déduire
que si $I\left(s\right)$ n'a pas de pôles sur $\bar{\mathbb{H}_{1}},$alors
$I_{1}$ converge. }
\end{itemize}
\end{proof}
\textsf{ }


\subsection{\textsf{Relation entre $\Phi$ et $\zeta$ sur $\mathbb{H}_{\frac{1}{2}}$.}}

\textsf{Nous étudions maintenant la relation entre $\Phi$ et $\zeta$,
qui nous sera servira pour deux buts: }
\begin{itemize}
\item \textsf{Pour relier les pôles de $\Phi$ aux zéros de la fonction
$\zeta$: c'est l'objet de la proposition \ref{prop:bigphi-minus-dlog-zeta-is-holomorphic},
qui sera utile pour le lemme \ref{lem:from-bigphi-to-zeta}.}
\item \textsf{Pour étendre la fonction $\Phi$ en une fonction méromorphe
sur $\mathbb{H}_{\frac{1}{2}}$: c'est l'objet du corollaire \ref{cor:phi-has-meromorphic-extension}
ci-dessous, qui sera utile pour le lemme \ref{lem:from-i-to-bigphi}. }
\end{itemize}
\begin{prop}
\textsf{\label{prop:bigphi-minus-dlog-zeta-is-holomorphic}Sur $\mathbb{H}_{\frac{1}{2}}$,
la fonction $\Phi+\zeta'/\zeta$ s'étend en une fonction holomorphe. }
\end{prop}

\begin{proof}
\textsf{L'idée est de montrer que 
\[
-\frac{\zeta'\left(s\right)}{\zeta\left(s\right)}-\Phi\left(s\right)=\sum_{p}\frac{\log p}{p^{2s}}\frac{1}{\left(1-\frac{1}{p^{s}}\right)},
\]
et que le membre de droite converge normalement sur $\mathbb{H}_{\frac{1}{2}}$:}
\begin{itemize}
\item \textsf{On écrit $\zeta'/\zeta$ comme la dérivée du logarithme de
$\zeta$:
\begin{align*}
-\frac{\zeta'\left(s\right)}{\zeta\left(s\right)} & =-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}\left(\log\prod_{p}\left(\frac{1}{1-p^{-s}}\right)\right)\\
 & =\left(\sum_{p}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}\log\left(1-p^{-s}\right)\right)\\
 & =\sum_{p}\frac{p^{-s}\log p}{\left(1-p^{-s}\right)}\\
 & =\sum_{p}\frac{\log p}{p^{s}-1}.
\end{align*}
}
\item \textsf{Notons que c'est vrai pour $s\in(1,\infty)$ (tout est réel
strictement positif, donc on peut prendre le log sans problème), et
qu'on peut étendre l'identité par prolongement analytique à $\mathbb{H}_{1}$
(il est clair que la somme converge). }
\item \textsf{Maintenant 
\[
\frac{1}{p^{s}-1}=\frac{1}{p^{s}}\left(\frac{1}{1-p^{-s}}\right)=\frac{1}{p^{s}}+\sum_{k=2}^{\infty}\frac{1}{p^{ks}}=\frac{1}{p^{s}}+\frac{1}{p^{2s}}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{p^{ks}}=\frac{1}{p^{s}}+\frac{1}{p^{2s}}\left(1-\frac{1}{p^{s}}\right).
\]
}
\item \textsf{Il suit que
\[
-\frac{\zeta'\left(s\right)}{\zeta\left(s\right)}=\sum_{p}\frac{\log p}{p^{s}-1}=\sum_{p}\left(\frac{\log p}{p^{s}}+\frac{\log p}{p^{2s}}\left(1+\frac{1}{p^{s}}+\frac{1}{p^{2s}}+\frac{1}{p^{3s}}+\cdots\right)\right)=\Phi\left(s\right)+\sum_{p}\frac{\log p}{p^{2s}}\left(\frac{1}{1-p^{-s}}\right).
\]
}
\item \textsf{Pour $p\geq5$ et $s\in\mathbb{H}_{\frac{1}{2}}$, on a
\[
\left|\frac{\log p}{p^{2s}}\left(\frac{1}{1-p^{-s}}\right)\right|=\frac{\log p}{\left|p^{2s}\right|\left|1-\frac{1}{p^{s}}\right|}\leq\frac{\log p}{\left|p^{2s}\right|\left|1-\left|\frac{1}{p^{s}}\right|\right|}\leq\frac{\log p}{\left|p^{2s}\right|\left|1-\frac{1}{2}\right|}=2\frac{\log p}{\left|p^{2s}\right|}=2\frac{\log p}{p^{2\Re\mathfrak{e}\left(s\right)}},
\]
 où on a utilisé que $\left|p^{s}\right|=\left|p^{\Re\mathfrak{e}\left(s\right)}\right|\geq\sqrt{p}\geq2$. }
\item \textsf{Comme pour $t\in\mathbb{R}$ avec $t>\frac{1}{2}$
\[
\sum_{p}\frac{\log p}{p^{2t}}\leq\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\log n}{n^{2t}}<+\infty
\]
on déduit que 
\[
s\mapsto\sum_{p}\frac{\log p}{p^{2s}}\left(1-\frac{1}{p^{s}}\right)
\]
converge normalement sur $\mathbb{H}_{\frac{1}{2}}$. }
\item \textsf{On déduit que 
\[
s\mapsto-\frac{\zeta'\left(s\right)}{\zeta\left(s\right)}-\Phi\left(s\right)=\sum_{p}\frac{\log p}{p^{2s}}\left(1-\frac{1}{p^{s}}\right)
\]
 a une extension holomorphe à $\mathbb{H}_{\frac{1}{2}}$, ce qui
est le résultat désiré. }
\end{itemize}
\end{proof}
\textsf{Afin de prouver le lemme \ref{lem:from-i-to-bigphi} qui connecte
la fonction $I\left(s\right)=\int_{1}^{\infty}\left(\varphi\left(x\right)-x\right)/x^{s+1}\mathrm{dx}$
à la fonction $\Phi\left(s\right)=\sum_{p}\left(\log p\right)/p^{s}$,
nous avons besoin d'un lemme sur la méromorphie de $\Phi$ sur $\mathbb{H}_{\frac{1}{2}}$.}
\begin{cor}
\textsf{\label{cor:phi-has-meromorphic-extension}La fonction $\Phi$
s'étend en une fonction méromorphe sur $\mathbb{H}_{\frac{1}{2}}$.}
\end{cor}

\begin{proof}
\textsf{Comme la fonction $\zeta$ a une extension méromorphe sur
$\mathbb{H}_{0}$ par le lemme \ref{lem:zeta-only-has-one-pole-in-h0},
on a que $\zeta'/\zeta$ est méromorphe sur $\mathbb{H}_{0}$. Le
résultat suit donc du lemme \ref{prop:bigphi-minus-dlog-zeta-is-holomorphic}.}
\end{proof}


\subsection{\textsf{Preuve du lemme \ref{lem:from-i-to-bigphi}}}

\textsf{Nous connectons maintenant la fonction $I$ et la fonction
$\Phi$, et en particulier leurs pôles. Rappelons d'abord:}
\begin{lem*}[Lemme \ref{lem:from-i-to-bigphi}]
\textsf{La fonction $I$ s'étend en une fonction méromorphe sur $\mathbb{H}_{\frac{1}{2}}$
qui satisfait 
\begin{equation}
I\left(s\right)=\frac{\Phi\left(s\right)}{s}-\frac{1}{s-1}.\label{eq:from-i-to-big-phi}
\end{equation}
 }
\end{lem*}
\begin{proof}
\textsf{Comme on sait que $\Phi\left(s\right)$ a une extension méromorphe
sur $\mathbb{H}_{\frac{1}{2}}$, par prolongement analytique, il suffit
de vérifier (\ref{eq:from-i-to-big-phi}) pour $s\in\mathbb{H}_{1}$. }
\begin{itemize}
\item \textsf{Si on écrit $p_{0},p_{1},p_{2},\ldots=2,3,5,\ldots$ la suite
des nombres premiers, on a, en notant $C_{n}=\sum_{p\leq n}\log p$,
\begin{align*}
\int_{1}^{\infty}\frac{\varphi\left(x\right)}{x^{s+1}}\mathrm{d}x & =\sum_{k=0}^{\infty}\int_{p_{k}}^{p_{k+1}}\frac{\varphi\left(x\right)}{x^{s+1}}\mathrm{d}x\\
 & =\sum_{k=0}^{\infty}C_{p_{k}}\int_{p_{k}}^{p_{k+1}}\frac{\mathrm{d}x}{x^{s+1}}\\
 & =-\frac{1}{s}\sum_{k=0}^{\infty}C_{p_{k}}\left(\frac{1}{p_{k+1}^{s}}-\frac{1}{p_{k}^{s}}\right)\\
 & \overset{\left(*\right)}{=}\frac{1}{s}\sum_{k=0}^{\infty}\left(C_{p_{k}}-C_{p_{k-1}}\right)\frac{1}{p_{k}^{s}}\\
 & =\frac{1}{s}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\log p_{k}}{p_{k}^{s}}\\
 & =\frac{\Phi\left(s\right)}{s},
\end{align*}
où en $\left(*\right)$ on a utilisé la formule de resommation d'Abel
(intégration par partie discrète) 
\begin{align*}
\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}\left(b_{k+1}-b_{k}\right) & =\sum_{k=0}^{\infty}a_{k}b_{k+1}-a_{k}b_{k}\\
 & =\sum_{k=0}^{\infty}\left(a_{k-1}b_{k}-a_{k}b_{k}\right)\\
 & =-\sum_{k=0}^{\infty}\left(a_{k}-a_{k-1}\right)b_{k},
\end{align*}
où on a supposé que les termes à l'infini tendaient vers $0$ et que
$a_{-1}=0$.}
\item \textsf{Donc 
\[
\int_{1}^{\infty}\frac{\varphi\left(x\right)-x}{x^{s+1}}\mathrm{d}x=\int_{1}^{\infty}\frac{\varphi\left(x\right)}{x^{s+1}}\mathrm{d}x-\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x^{s}}\mathrm{d}x=\frac{\Phi\left(s\right)}{s}-\frac{1}{s+1}.
\]
 }
\end{itemize}
\end{proof}


\subsection{\textsf{Preuve du lemme \ref{lem:from-bigphi-to-zeta}}}

\textsf{Nous connectons maintenant les pôles de $\Phi$ avec les zéros
de la fonction $\zeta$ (ce qui nous intéressera en particulier est
d'exclure la présence de pôles autres que celui en $s=1$). Rappelons
d'abord:}
\begin{lem*}[Lemme \ref{lem:from-bigphi-to-zeta}]
\textsf{Sur $\mathbb{H}_{\frac{1}{2}}$, la fonction $\Phi$ a une
extension méromorphe avec des pôles simples qui correspondent aux
zéros et aux pôles de la fonction $\zeta$: }
\end{lem*}
\begin{itemize}
\item \textsf{Tout zéro d'ordre $n$ de $\zeta$ correspond à un pôle simple
avec résidu $-n$ de $\Phi$. }
\item \textsf{Le pôle simple de $\zeta$ en $s=1$ correspond à un pôle
simple avec résidu $1$ de $\Phi$. }
\end{itemize}
\begin{proof}
\textsf{Il s'agit simplement d'utiliser la connexion entre $\Phi$
et la dérivée logarithmique $-\zeta'/\zeta$:}
\begin{itemize}
\item \textsf{Par la proposition \ref{prop:bigphi-minus-dlog-zeta-is-holomorphic},
les pôles de $\Phi$ et de la dérivée logarithmique $-\zeta'/\zeta$
coïncident sur $\mathbb{H}_{\frac{1}{2}}$. }
\item \textsf{Par le lemme \ref{lem:zeta-only-has-one-pole-in-h0}, la fonction
$\zeta$ a un seul pôle, qui est un pôle simple en $s=1$. }
\item \textsf{Par la proposition \ref{prop:logarithmic-derivative-poles},
les pôles de $\zeta'/\zeta$ correspondent aux zéros et au seul pôle
de $\zeta$ (qui correspondent à des pôles simples de résidus la multiplicité
de ces zéros) qui est un pôle simple (qui donne donc un pôle simple
de résidu $-1$ en $s=1$)}
\item \textsf{En changeant les signes, on obtient les pôles de $-\zeta'/\zeta$,
qui correspondent à ceux de $\Phi$.}
\end{itemize}
\end{proof}


\subsection{\textsf{Preuve du lemme \ref{lem:zeta-zeroes}}}

\textsf{Le dernier lemme-clé de la preuve du théorème des nombres
premier élimine la possibilité de zéros sur $\bar{\mathbb{H}_{1}}:$}
\begin{lem*}[Lemme \ref{lem:zeta-zeroes}]
\textsf{Sur $\bar{\mathbb{H}}_{1}$, la fonction $\zeta$ n'a aucun
zéro. }
\end{lem*}
\begin{proof}
\textsf{Par le lemme \ref{lem:from-bigphi-to-zeta}, les zéros de
$\zeta$ correspondent à des pôles de $\Phi$. Comme par la remarque
\ref{rem:holomorphicity-of-phi-and-zeta-over-h1} $\Phi$ n'a pas
de pôle sur $\mathbb{H}_{1}$, il suffit de montrer que $\Phi$ n'a
pas de pôle sur la droite $\partial\mathbb{H}_{1}$:}
\begin{itemize}
\item \textsf{Supposons que $1+ib\in\partial\mathbb{H}_{1}$ avec $b>0$
soit un zéro d'ordre $n$ de la fonction $\zeta$. }
\item \textsf{La définition de $\zeta$ donne $\zeta\left(\bar{s}\right)=\overline{\zeta\left(s\right)}$
et donc $1-ib=\overline{1+ib}\in\partial\mathbb{H}_{1}$ est aussi
un zéro de $\zeta$ d'ordre $n$. }
\item \textsf{On va regarder les pôles de $\Phi$ sur $\partial\mathbb{H}_{1}$,
qui sont des pôles simples avec résidus entiers négatifs (correspondant
à l'ordre des zéros de $\zeta$, par le lemme \ref{lem:from-bigphi-to-zeta}),
sauf en $1$ où on a un pôle simple de résidu $1$ (par le lemme \ref{lem:from-bigphi-to-zeta}).}
\item \textsf{Comme pour tout $a,b\in\mathbb{R}$, $a^{-ib}=\overline{a^{ib}}$,
pour tout $\epsilon>0$ et tout $b>0$, on a
\[
\sum_{p}\frac{\log p}{p^{1+\epsilon}}\left(\frac{1}{p^{ib/2}}+\frac{1}{p^{-ib/2}}\right)^{4}>0.
\]
}
\item \textsf{Si on développe 
\[
\left(p^{ib/2}+p^{-ib/2}\right)^{4}=p^{2ib}+p^{-2ib}+4p^{ib}+4p^{-ib}+6,
\]
et ainsi
\[
\sum_{p}\frac{\log p}{p^{1+\epsilon}}\left(\frac{1}{p^{ib/2}}+\frac{1}{p^{-ib/2}}\right)^{4}=\Phi\left(1+2ib+\epsilon\right)+\Phi\left(1-2ib+\epsilon\right)+4\Phi\left(1+ib+\epsilon\right)+4\Phi\left(1-ib+\epsilon\right)+6\Phi\left(1+\epsilon\right)>0
\]
 pour tout $b>0,\epsilon>0$.}
\item \textsf{Comme $\Phi$ n'a que des pôles simples sur $\mathbb{H}_{\frac{1}{2}}$,
si on multiplie le tout par $\epsilon$ et qu'on fait tendre $\epsilon\to0$,
on obtient
\begin{align*}
0\leq & \lim_{\epsilon\underset{>}{\to0}}\epsilon\sum_{p}\frac{\log p}{p^{1+\epsilon}}\left(\frac{1}{p^{ib/2}}+\frac{1}{p^{-ib/2}}\right)^{4}\\
= & \lim_{\epsilon\to0}\epsilon\left(\Phi\left(1+2ib+\epsilon\right)+\Phi\left(1-2ib+\epsilon\right)+4\Phi\left(1+ib+\epsilon\right)+4\Phi\left(1-ib+\epsilon\right)+6\Phi\left(1+\epsilon\right)\right)\\
= & 6\mathrm{res}\left(\Phi,1\right)+4\mathrm{res}\left(\Phi,1+ib\right)+4\mathrm{res}\left(\Phi,1-ib\right)+\mathrm{res}\left(\Phi,1+2ib\right)+\mathrm{res}\left(\Phi,1-2ib\right)\\
= & 6-4m-4m-\mathrm{res}\left(\Phi,1+2ib\right)-\mathrm{res}\left(\Phi,1-2ib\right)\\
\leq & 6-8m,\\
\end{align*}
où on a utilisé que les résidus de $\Phi$ en $\pm2ib$ étaient nuls
ou négatifs, ce qui force $m=0$.}
\end{itemize}
\end{proof}


\subsection{\textsf{L'hypothèse de Riemann}}

\textsf{Dans le lemme \ref{lem:zeta-zeroes}, on a exclu la présence
de zéros de $\zeta$ sur $\bar{\mathbb{H}}_{1}$. }

\textsf{En principe, la fonction $\zeta$ n'a pas de zéros sur $\mathbb{H}_{\frac{1}{2}}$
et tous les zéros sur $\mathbb{H}_{0}$ sont sur la droite $\partial\mathbb{H}_{\frac{1}{2}}$,
mais on ne sait pas le prouver: c'est l'objet de la célèbre hypothèse
de Riemann. }

\textsf{Si l'hypothèse de Riemann est vraie, on aura l'asymptotique
optimale (qui réciproquement impliquerait l'hypothèse de Riemann)
\[
\pi\left(x\right)=\int_{2}^{x}\frac{1}{\ln\left(t\right)}\mathrm{d}t+\mathcal{O}\left(\sqrt{x}\log x\right).
\]
}

\section{\textsf{Applications conformes}}

\subsection{\textsf{Motivation}}
\begin{itemize}
\item \textsf{Dans les chapitres précédents, on a utilisé des idées géométriques
pour comprendre les fonctions holomorphes, en voyant $\mathbb{C}$
comme le plan complexe (ou la sphère de Riemann). }
\item \textsf{On va maintenant voir que l'analyse complexe permet de comprendre
de manière profonde la géométrie en deux dimensions.}
\end{itemize}

\subsection{\textsf{Transformations conformes}}
\begin{defn}
\textsf{Soient $U,V\subset\mathbb{C}$ des domaines du plan complexe.
Une application conforme $f:U\to V$ est une fonction holomorphe bijective
entre $U$ et $V$.}
\end{defn}

\begin{prop}
\textsf{La dérivée d'une application conforme ne s'annule pas.}
\end{prop}

\begin{proof}
\textsf{Par l'absurde, supposons qu'il existe $z_{*}\in U$ tel que
$f'\left(z_{*}\right)=0$.}
\begin{itemize}
\item \textsf{Par changement de variable (et translation de $U$) et soustraction
d'une constante (et translation de $V$), on peut supposer que $z_{*}=0$
et que $f\left(z_{*}\right)=0$.}
\item \textsf{Par conséquent, $f\left(z\right)=z^{n}g\left(z\right)$, avec
$n\geq2$ et $g\left(0\right)\neq0$.}
\item \textsf{En utilisant le même raisonnement que dans la preuve du théorème
de l'application ouverte, il existe $\epsilon>0$ et une fonction
holomorphe $\varphi:D\left(0,\epsilon\right)\to\mathbb{C}$ telle
$f\left(z\right)=\varphi^{n}\left(z\right)$ pour $z\in D\left(0,\epsilon\right)$. }
\item \textsf{Comme $n\geq2$, $\varphi$ ne peut pas être bijective. }
\end{itemize}
\end{proof}
\begin{cor}
\textsf{L'inverse d'une application conforme est conforme. }
\end{cor}

\begin{rem}
\textsf{Une application conforme peut être caractérisée comme un difféomorphisme
qui préserve les angles localement. }
\end{rem}


\subsection{\textsf{Transformation de Möbius}}
\begin{defn}
\textsf{Une transformation de Möbius (ou homographie) est une fonction
méromorphe de la forme 
\[
\varphi_{\begin{pmatrix}a & b\\
c & d
\end{pmatrix}}:z\mapsto\frac{az+b}{cz+d},
\]
avec $a,b,c,d\in\mathbb{C}$ et $ad-bc\neq0$. }
\end{defn}

\begin{rem}
\textsf{La condition $ad-bc\neq0$ garantit que l'application est
bien définie et non constante; elle est équivalente à demander que
la matrice $\begin{pmatrix}a & b\\
c & d
\end{pmatrix}$ soit dans $\mathrm{GL}_{2}\left(\mathbb{C}\right)$, le groupe des
matrices complexes $2\times2$ inversibles.}
\end{rem}

\textsf{}
%
\begin{rem}
\textsf{Les homographies forment une représentation de $\mathrm{GL}_{2}\left(\mathbb{C}\right)$:
si $A,B\in\mathrm{GL}_{2}\left(\mathbb{C}\right)$, on a
\[
\varphi_{A}\circ\varphi_{B}=\varphi_{AB},
\]
où $AB$ désigne le produit matriciel.}
\end{rem}

\textsf{}
%
\begin{rem}
\textsf{L'invariance projective $\varphi_{A}=\varphi_{\lambda A}$
pour tout $A\in\mathrm{GL}_{2}\left(\mathbb{C}\right)$ et tout $\lambda\in\mathbb{C}^{*}$
fait que l'on peut toujours supposer $\mathrm{det}\left(A\right)=1$
et donc que $A$ est dans $\mathrm{SL}_{2}\left(\mathbb{C}\right)$,
le sous-groupe dit spécial des matrices complexes de déterminant $1$.}
\end{rem}

\textsf{}
%
\begin{rem}
\textsf{On peut aller plus loin et voir que la représentation des
homographies passe au quotient par la relation $A\sim\lambda A$ pour
$\lambda\in\mathbb{C}^{*}$, ce qui donne une représentation du groupe
dit projectif spécial $\mathrm{PSL}_{2}\left(\mathbb{C}\right)=\mathrm{SL}_{2}\left(\mathbb{C}\right)/\sim$. }
\end{rem}

\textsf{}
%
\begin{rem}
\textsf{Les transformations de Möbius s'étendent naturellement en
des applications conformes $\hat{\mathbb{C}}\to\hat{\mathbb{C}}$
sur la sphère de Riemann, qui préservent les angles sur la sphère
et envoie des cercles sur des cercles.}
\end{rem}


\subsection{\textsf{Transformations du disque unité}}
\begin{defn}
\textsf{Une transformation de Möbius du disque unité $D\left(0,1\right)$
est une transformation de Möbius de la forme
\[
z\mapsto e^{i\theta}\frac{z-a}{1-\bar{a}z}=e^{i\theta}\varphi_{a}\left(z\right):=\varphi_{,\theta}
\]
pour $\theta\in\mathbb{R}$ et $a\in D\left(0,1\right)$. }
\end{defn}

\textsf{}
%
\begin{rem}
\textsf{Il est facile de vérifier que l'inverse de l'application $\varphi_{a}$
est $\varphi_{-a}$, et donc l'inverse de $\varphi_{a,\theta}$ est
$\varphi_{-e^{i\theta}a,-\theta}$: 
\[
w\mapsto\varphi_{-a}\left(e^{-i\theta}w\right)=e^{-i\theta}\frac{w+e^{i\theta}a}{1+\overline{e^{i\theta}a}w}=e^{-i\theta}\varphi_{-e^{i\theta}a}\left(w\right).
\]
}
\end{rem}

\textsf{}
%
\begin{rem}
\textsf{\label{rem:moebius-maps-unit-disk-to-self}Il est facile de
voir qu'une telle transformation envoie $\partial D\left(0,1\right)$
sur $\partial D\left(0,1\right)$ par
\[
\left|\varphi_{a}\left(e^{i\theta}\right)\right|=\left|\frac{e^{i\theta}-a}{1-\bar{a}e^{i\theta}}\right|=\left|\frac{e^{i\theta}-a}{e^{i\theta}\left(e^{-i\theta}-\bar{a}\right)}\right|=\left|e^{-i\theta}\right|\left|\frac{e^{i\theta}-a}{e^{-i\theta}-\bar{a}}\right|=1,
\]
et comme de plus $a\in D\left(0,1\right)$ est envoyé vers $0\in D\left(0,1\right)$,
par le principe du maximum, $D\left(0,1\right)$ est envoyé sur $D\left(0,1\right)$,
et par bijectivité c'est une application conforme $D\left(0,1\right)\to D\left(0,1\right)$. }

\end{rem}

\textsf{}
%
\begin{rem}
\textsf{Il est facile de vérifier que le sous-groupe des transformations
de Möbius du disque unité vers lui-même est celui des transformations
de la forme $z\mapsto e^{i\theta}\varphi_{a}\left(z\right)$. }
\end{rem}

\textsf{Le lemme de Schwarz nous aide à voir que les seules transformations
conformes du disque unité vers lui-même sont les transformations de
Möbius du disque unité. }
\begin{lem}[Lemme de Schwarz]
\textsf{\label{lem:schwarz-lemma}Si $f:D\left(0,1\right)\to D\left(0,1\right)$
est une fonction holomorphe avec $f\left(0\right)=0$, on a $\left|f\left(z\right)\right|\leq\left|z\right|$
et $\left|f'\left(0\right)\right|\leq1$. Si de plus $\left|f\left(z_{*}\right)\right|=\left|z_{*}\right|$
pour $z_{*}\in D\left(0,1\right)\setminus\left\{ 0\right\} $ ou $\left|f'\left(0\right)\right|=1$,
on a $f\left(z\right)=e^{i\theta}z$ pour un $\theta\in\mathbb{R}$. }
\end{lem}

\begin{proof}
\textsf{Regardons la fonction $\varphi:z\mapsto f\left(z\right)/z$:}
\begin{itemize}
\item \textsf{On a que $\varphi$ s'étend en une fonction holomorphe sur
$D\left(0,1\right)$: si $f\left(z\right)=\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}z^{n}$,
on a $\varphi\left(z\right)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n+1}z^{n}$.}
\item \textsf{Comme $\left|1/z\right|\to1$ quand $\left|z\right|\underset{<}{\to1}$,
on a que $\varphi$ atteint son maximum sur $\partial D\left(0,1\right)$,
qui vaut $1$, et donc $\left|\varphi\left(z\right)\right|\leq1$
sur $D\left(0,1\right)$, avec égalité si et seulement si $\varphi$
est constante.}
\item \textsf{Cela donne $\left|f\left(z\right)\right|\leq\left|z\right|$
pour $z\in D\left(0,1\right)\setminus\left\{ 0\right\} $ et comme
$\varphi\left(0\right)=f'\left(0\right)$, on obtient le résultat.}
\end{itemize}
\end{proof}
\textsf{Grâce au lemme de Schwarz, on peut faire un grand pas vers
la classification des applications conformes $D\left(0,1\right)\to D\left(0,1\right)$. }
\begin{lem}
\textsf{\label{lem:conf-map-disk-preserving-origin}Si $\varphi:D\left(0,1\right)\to D\left(0,1\right)$
est une application conforme avec $\varphi\left(0\right)=0$, alors
$\varphi\left(z\right)=e^{i\theta}z$. }
\end{lem}

\begin{proof}
\textsf{Soit $\psi:D\left(0,1\right)\to D\left(0,1\right)$ l'applications
inverse, qui est telle que $\psi\left(0\right)=0$. Comme on a $\left|\psi'\left(0\right)\right|\leq1$
par le lemme de Schwarz, on a
\[
\left|\varphi'\left(a\right)\right|=\frac{1}{\left|\psi'\left(a\right)\right|}\geq1
\]
et donc $\left|\varphi'\left(a\right)\right|\geq1$. Comme on a $\left|\varphi'\left(0\right)\right|\leq1$
par le lemme de Schwarz, on déduit $\varphi\left(z\right)=e^{i\theta}z$
pour un certain $\theta\in\mathbb{R}$. }
\end{proof}
\begin{thm}
\textsf{Les applications conformes $D\left(0,1\right)\to D\left(0,1\right)$
sont des transformations de Möbius du disque unité.}
\end{thm}

\begin{proof}
\textsf{On a déjà vu que les transformations de Möbius du disque unité
(remarque \ref{rem:moebius-maps-unit-disk-to-self}) sont des applications
conformes $D\left(0,1\right)\to D\left(0,1\right)$. Il faut montrer
la réciproque:}
\begin{itemize}
\item \textsf{Soit $\varphi:D\left(0,1\right)\to D\left(0,1\right)$ une
application conforme telle que $\varphi\left(a\right)=0$, où $a=\varphi^{-1}\left(0\right)$;
on veut montrer que $\varphi\left(z\right)=e^{i\theta}\varphi_{a}\left(z\right)$. }
\item \textsf{Si on regarde $\varphi\circ\varphi_{-a}$, on a que c'est
une application conforme $D\left(0,1\right)\to D\left(0,1\right)$
qui envoie $0$ sur $0$.}
\item \textsf{Par le lemme \ref{lem:conf-map-disk-preserving-origin}, $\varphi\circ\varphi_{-a}\left(z\right)=e^{i\theta}z$,
et donc en $\varphi\left(w\right)=e^{i\theta}\varphi_{a}\left(w\right)$,
en posant $z=\varphi_{a}\left(w\right)$. }
\end{itemize}
\end{proof}


\subsection{\textsf{Transformations du demi-plan supérieur}}

\textsf{Les transformations de Möbius du demi-plan supérieur $\mathbb{H}=\left\{ z\in\mathbb{C}:\Im\mathfrak{m}\left(z\right)>0\right\} $
sont particulièrement simples:}
\begin{defn}
\textsf{Les transformations de Möbius du demi-plan $\mathbb{H}$ sont
les applications de la forme
\[
z\mapsto\frac{az+b}{cz+d},
\]
avec 
\[
\begin{pmatrix}a & b\\
c & d
\end{pmatrix}\in\mathrm{SL}_{2}\left(\mathbb{R}\right).
\]
Grâce à l'application 
\[
z\mapsto-i\frac{z-1}{z+1}
\]
 qui envoie $D\left(0,1\right)$ sur $\mathbb{H}$ et son inverse
\[
w\mapsto\frac{i-w}{w+i}
\]
on peut montrer que les seules applications conformes $\mathbb{H}\to\mathbb{H}$
correspondent à des matrices dans $\mathrm{SL}_{2}\left(\mathbb{R}\right)$. }
\end{defn}

\begin{xca}
\textsf{Montrer que les applications conformes $\mathbb{H}\to\mathbb{H}$
sont de la forme
\[
z\mapsto\frac{az+b}{cz+d},
\]
où $\begin{pmatrix}a & b\\
c & d
\end{pmatrix}\in\mathrm{SL}_{2}\left(\mathbb{R}\right)$. }
\end{xca}


\subsection{\textsf{Familles normales}}

\textsf{Pour la preuve du théorème de l'application conforme de Riemann,
nous aurons besoin d'une petite définition, qui ressemble à la compacité
pour les fonctions et la convergence normale:}
\begin{defn}
\textsf{On dit qu'une famille $\mathcal{F}$ de fonctions holomorphes
$U\to\mathbb{C}$ est normale si pour chaque suite $\left(f_{n}\right)_{n\geq0}$
il existe sous-suite $\left(f_{n_{k}}\right)_{k}$ et $f:U\to\mathbb{C}$
holomorphe telle que $f_{n_{k}}\to f$ uniformément sur les compacts.}
\end{defn}

\begin{rem}
\textsf{Il n'est pas nécessaire que la limite $f$ soit dans $\mathcal{F}$,
donc c'est plus de la précompacité (compacité de l'adhérence) que
de la compacité.}
\end{rem}

\textsf{La proposition suivante nous permet de dire facilement que
certaines familles sont normales:}
\begin{prop}
\textsf{\label{prop:normal-families}Soit $\mathcal{F}$ une famille
de fonctions holomorphes $U\to\mathbb{C}$ qui est uniformément bornée
sur les compacts de $U$. Alors $\mathcal{F}$ est une famille normale.}
\end{prop}

\begin{proof}
\textsf{Cela repose sur un théorème de topologie de l'espace des fonctions:}
\begin{itemize}
\item \textsf{Par la formule de Cauchy, on a que la famille des dérivées
$f'$ des fonctions $f\in\mathcal{F}$ est aussi uniformément bornée
sur les compacts de $U$: pour tout compact $K$, on prend un contour
$\gamma\subset U\setminus K$ et on exprime les dérivées en terme
d'une intégrale de contour sur $\gamma$, c'est-à-dire
\[
f'\left(z\right)=\frac{1}{2\pi i}\oint_{\gamma}\frac{f\left(\zeta\right)}{\left(\zeta-z\right)^{2}}\mathrm{d}\zeta
\]
\begin{align*}
\left|f'\right| & \leq m\\
\left|f\left(z\right)=f\left(w\right)\right|=\oint_{z}^{w}f'\left(\zeta\right)\mathrm{d}\zeta & \leq M\left|z-w\right|
\end{align*}
 }
\item \textsf{En utilisant le théorème d'Arzelà-Ascoli (qui sera vu dans
le cours d'espaces métriques et topologiques), la restriction des
fonctions de $\mathcal{F}$ à tout compact $K$ (qui est uniformément
équicontinue et bornée dans la terminologie de ce cours) est telle
que toute suite admet une sous-suite uniformément convergente sur
$K$.}
\item \textsf{Ensuite, on applique un argument d'extraction diagonale:}
\begin{itemize}
\item \textsf{Pour $m\geq1$, posons $K_{m}=\left\{ z\in U\cap\bar{D}\left(0,m\right):\mathrm{dist}\left(z,\partial U\right)\geq\frac{1}{m}\right\} $;
on a que $\left(K_{m}\right)_{m\geq1}$ forme une suite telle que
$\bigcup_{m=1}^{\infty}K_{m}=U$.}
\item \textsf{Pour $K_{1}$, il existe une suite $\left(f_{1,n}\right)_{n\geq0}$
telle que $f_{1,n}$ converge uniformément sur $K_{1}$.}
\item \textsf{Pour $K_{2}$, on peut extraire de $\left(f_{1,n}\right)_{n\geq0}$
une sous-suite $\left(f_{2,n}\right)_{n\geq0}$ (en faisant un petit
abus de notation: on devrait écrire $\left(f_{1,n_{k}}\right)_{k\geq0}$
avec $n_{k}$ croissante) telle que $f_{2,n}$ converge uniformément
sur $K_{2}$.}
\item \textsf{Par récurrence, pour tout $j\geq3$, on trouve $\left(f_{j,n}\right)_{n}$,
sous-suite de $\left(f_{j-1,n}\right)_{n}$ telle que $f_{j,n}$ converge
uniformément sur $K_{j}$.}
\item \textsf{Prenons la suite \textquotedbl diagonale\textquotedbl{} $\left(f_{j,j}\right)_{j\geq1}$:
pour tout $\ell\geq1$ on a qu'elle converge sur $K_{\ell}$.}
\item \textsf{Comme pour tout compact $K$, il existe $L\geq1$ tel que
$K\subset K_{L}$, on a convergence uniforme de $\left(f_{j,j}\right)$
sur $K$. }
\end{itemize}
\item \textsf{La limite de la sous-suite $\left(f_{j,j}\right)_{j\geq1}$
est holomorphe par la proposition \ref{prop:holomorphic-limits}.}
\end{itemize}
\end{proof}


\subsection{\textsf{Théorème de l'application conforme de Riemann}}

\textsf{Le théorème de l'application conforme nous permet d'envoyer
tout domaine simplement connexe distinct du plan vers le disque unité,
d'une manière essentiellement unique.}
\begin{thm}[Théorème de l'application conforme de Riemann]
\textsf{Soit $U\subsetneq\mathbb{C}$ un domaine simplement connexe
et $z_{*}\in U$. Il existe une unique application conforme $\varphi:U\to D\left(0,1\right)$
telle que $\varphi\left(z_{*}\right)=0$ et $\varphi'\left(z_{*}\right)>0$. }
\end{thm}

\begin{xca}
\textsf{Montrer que l'hypothèse $\neq\mathbb{C}$ est nécessaire et
identifier quelle partie de la preuve ne fonctionne pas. }
\end{xca}

\textsf{Le théorème de l'application conforme a un corollaire particulièrement
utile:}
\begin{cor}
\textsf{Si $U,V\subsetneq\mathbb{C}$ sont des domaines simplement
connexes et $z_{*}\in U,w_{*}\in V$, il existe une unique application
conforme $\varphi:U\to V$ telle que $\varphi\left(z_{*}\right)=w_{*}$
et $\varphi'\left(z_{*}\right)>0$.}
\end{cor}

\begin{proof}
\textsf{Il suffit de composer $\varphi_{V}^{-1}\circ\varphi_{U}$
où $\varphi_{U}:U\to D\left(0,1\right)$ et $\varphi_{V}:V\to D\left(0,1\right)$
sont comme donnés par le théorème. }
\end{proof}
\textsf{L'idée de la partie difficile de la preuve (l'existence) sera
d'optimiser sur une classe de fonctions injectives $\Sigma_{U}$:}
\begin{defn}
\textsf{Soit $U\subsetneq\mathbb{C}$ un domaine simplement connexe
et $z_{*}\in U$. On note $\Sigma_{U,z_{*}}$ l'ensemble des applications
holomorphes $f:U\to D\left(0,1\right)$ qui sont injectives, telles
que $f\left(z_{*}\right)=0$ et telles que $f'\left(z_{*}\right)>0$. }
\end{defn}

\textsf{Montrons d'abord que c'est une classe non vide.}
\begin{lem}
\textsf{\label{lem:sigma-class}Soit $U\subsetneq\mathbb{C}$ un domaine
simplement connexe et $z_{*}\in U$. On a que $\Sigma_{U,z_{*}}\neq\emptyset$.}
\end{lem}

\begin{proof}
\textsf{L'idée est que si on pouvait trouver un voisinage entier d'un
point $a\in\mathbb{C}$ à distance au moins $r$ de $U$, on pourrait
simplement prendre $z\mapsto\frac{r}{z-a}$; comme ce n'est pas forcément
possible (par exemple pour $U=\mathbb{C}\setminus\mathbb{R}_{-}$),
l'idée est de prendre une racine carrée pour réduire le domaine (dans
le cas de $\mathbb{C}\setminus\mathbb{R}_{-}$, on obtiendrait $\mathbb{H}_{0}$
de la section précédente) et \textquotedbl faire de la place\textquotedbl{}
dans le complémentaire. }
\begin{itemize}
\item \textsf{Soit $w_{0}\in\mathbb{C}\setminus U$. Comme $U$ est simplement
connexe, il existe une détermination de $z\mapsto\sqrt{z-w_{0}}$,
c'est-à-dire une fonction $\varphi:U\to\mathbb{C}$ telle que $\varphi^{2}\left(z\right)=z-w_{0}$.}
\item \textsf{Comme la fonction $z\mapsto z-w_{0}$ est injective, on a
que $\varphi$ est injective et qu'il n'y a pas de points $z_{1},z_{2}\in U$
telle que $\varphi\left(z_{1}\right)=-\varphi\left(z_{2}\right)$.}
\item \textsf{Par le théorème de l'application ouverte, $\varphi\left(U\right)$
contient un disque $D\left(b,r\right)$ avec $0<r<\left|b\right|$
(il suffit de prendre $r$ assez petit).}
\item \textsf{Si on pose $a=-b$, on a $D\left(a,r\right)\cap\varphi\left(U\right)=\emptyset$
et on a que la fonction $\psi:\Omega\to\mathbb{C}$ définie par
\[
\psi\left(z\right)=\frac{r}{\varphi\left(z\right)-\left(-b\right)}=\frac{r}{\varphi\left(z\right)-a}
\]
est telle que $\psi\left(U\right)\subset\mathbb{D}$. }
\item \textsf{En post-composant $\psi$ avec une transformation de Möbius
du disque unité, on peut clairement supposer que $\psi\left(z_{*}\right)=0$
et $\psi'\left(z_{*}\right)>0$. }
\end{itemize}
\end{proof}
\textsf{Montrons ensuite que si on optimise avec succès la dérivée
on obtiendra une application surjective (et donc conforme):}
\begin{lem}
\textsf{\label{lem:sigma-can-optimize}Soit $U$ un domaine simplement
connexe, $z_{*}\in U$ et $\psi:U\to D\left(0,1\right)$ avec $\psi\in\Sigma_{U,z_{*}}$.
Si $\psi$ n'est pas surjective sur $D\left(0,1\right)$, il existe
$\chi\in\Sigma_{U,z_{*}}$ avec $\chi'\left(z_{*}\right)>\psi'\left(z_{*}\right)$.}
\end{lem}

\begin{proof}
\textsf{Soit $\alpha\in D\left(0,1\right)\setminus\psi\left(D\left(0,1\right)\right)$
(qui existe par hypothèse de non surjectivité); on va essayer d'augmenter
la dérivée de $\psi$. }
\begin{itemize}
\item \textsf{Soit $\varphi_{\alpha}:D\left(0,1\right)\to D\left(0,1\right)$
la transformation (conforme) de Möbius définie par 
\[
\varphi_{\alpha}\left(z\right)=\frac{z-\alpha}{1-\bar{\alpha}z},
\]
dont l'inverse est $\varphi_{-\alpha}:D\left(0,1\right)\to D\left(0,1\right)$
(comme noté plus haut).}
\item \textsf{Soit $\psi_{0}:=\varphi_{\alpha}\circ\psi$; on a que $\psi\in\Sigma_{U}$
et que $0\notin\psi_{0}\left(D\left(0,1\right)\right)$.}
\item \textsf{Comme $U$ est simplement connexe, il existe une détermination
$\psi_{1}$ de $\sqrt{\psi_{0}}$, c'est-à-dire une fonction $\psi_{1}$
telle que $\psi_{1}^{2}=\psi_{0}$.}
\item \textsf{En post-composant avec une transformation de Möbius $\varphi_{\beta,\theta}$,
on peut `ramener' $z_{*}$ à l'origine et avoir dérivée positive en
$z_{*}$: $\chi=\varphi_{\beta,\theta}\circ\psi_{1}$.}
\item \textsf{Soit $c:\mathbb{C}\to\mathbb{C}$ l'application de mise au
carré, de sorte que $c\circ\psi_{1}=\psi_{0}$.}
\item \textsf{Si on pose 
\[
\chi=\varphi_{\beta,\theta}\circ\psi_{1}=e^{i\theta}\varphi_{\beta}\circ\psi_{1},
\]
où $\beta=\psi_{1}\left(z_{*}\right)$, on a $\chi\left(z_{*}\right)=0$
et avec $\theta\in\mathbb{R}$ tel que $\chi'\left(z_{*}\right)>0$,
on a 
\begin{align*}
\psi & =\varphi_{-\alpha}\circ c\circ\psi_{-e^{i\theta}\beta,-\theta}\circ\chi\\
 & =F\circ\chi,
\end{align*}
où $F=\varphi_{-\alpha}\circ c\circ\psi_{-\beta}$. }
\item \textsf{On a donc que $\chi\in\Sigma_{U,z_{*}}$, montrons maintenant
que $\chi'\left(z_{*}\right)>\psi'\left(z_{*}\right)$:}
\begin{itemize}
\item \textsf{Si on calcule 
\[
\psi'\left(z_{*}\right)=F'\left(0\right)\chi\left(z_{*}\right).
\]
}
\item \textsf{Maintenant comme on a $F\left(0\right)=0$ et $F:\mathbb{D}\to\mathbb{D}$,
par le lemme de Schwarz, on a $\left|F'\left(0\right)\right|<1$ (si
on avait égalité, $F$ serait bijective, or $F$ n'est pas injective). }
\item \textsf{Ainsi 
\[
\chi'\left(z_{0}\right)=\frac{1}{\left|F'\left(0\right)\right|}\psi'\left(z_{*}\right)>\psi'\left(z_{*}\right).
\]
 }
\end{itemize}
\end{itemize}
\end{proof}
\textsf{Nous sommes maintenant en position de prouver le théorème
de l'application conforme de Riemann. }
\begin{proof}
\textsf{On montre d'abord l'unicité, ensuite l'existence d'une application
conforme $U\to D\left(0,1\right)$, et finalement l'existence de l'application
conforme souhaitée:}
\begin{itemize}
\item \textsf{Pour l'existence d'une application conforme $f:U\to D\left(0,1\right)$}
\begin{itemize}
\item \textsf{On a que $\Sigma_{U,z_{*}}$ est non vide par le lemme \ref{lem:sigma-class}.}
\item \textsf{Soit $\left(f_{n}\right)_{n\geq0}$ une suite dans $\Sigma_{U,z_{*}}$
qui optimise la dérivée, c'est-à-dire telle que $f_{n}'\left(z_{*}\right)\to\sup_{f\in\Sigma_{U,z_{*}}}f'\left(z\right)$
quand $n\to\infty$. }
\item \textsf{Comme $\Sigma_{U}$ est une famille normale par la proposition
\ref{prop:normal-families}, il existe une sous-suite $f_{n_{k}}\to f$
quand $k\to\infty$.}
\item \textsf{D'abord, remarquons que $f$ est non constante: sa dérivée
en $z_{*}$ est non nulle.}
\item \textsf{Montrons que $f\in\Sigma_{U,z_{*}}$:}
\begin{itemize}
\item \textsf{Il est évident que $f\left(z_{*}\right)=0$. }
\item \textsf{Comme $f\left(U\right)\subset\bar{D}\left(0,1\right)$ (c'est
évident par passage à la limite, vu que $f_{n}\left(U\right)\subset D\left(0,1\right)$
pour tout $n\geq0$) et que $f$ est non-constante, par le théorème
de l'application ouverte, on a $f\left(U\right)\subset D\left(0,1\right)$. }
\item \textsf{Montrons que $f$ est injective: soit $z_{1}\in U$ et $\alpha=f\left(z_{1}\right)$,
on veut montrer qu'il est impossible de trouver $z_{2}\in U\setminus\left\{ z_{1}\right\} $
tel que $f\left(z_{2}\right)=f\left(z_{1}\right)$:}
\begin{itemize}
\item \textsf{Pour tout $z_{2}\in U$, comme $f$ n'est pas constante, par
le principe des zéros isolés, on a qu'il existe un voisinage $D\left(z_{2},\delta\right)$
tel que $z_{1}\notin\bar{D}\left(z_{2},\delta\right)$ et tel que
$z\mapsto f\left(z\right)-f\left(z_{1}\right)$ n'a pas de zéro sur
$\partial D\left(z_{2},\delta\right)$. }
\item \textsf{D'autre part, on a que $z\mapsto f_{n}\left(z\right)-f_{n}\left(z_{1}\right)$
n'a pas de zéro sur $D\left(z_{2},\delta\right)$, par injectivité
de $f_{n}$ et comme $z_{1}\notin\bar{D}\left(z_{2},\delta\right)$.}
\item \textsf{Comme $\xi_{n}\left(z\right)=f_{n}\left(z\right)-f_{n}\left(z_{1}\right)$
converge uniformément vers $\xi\left(z\right)=f\left(z\right)-f\left(z_{1}\right)$,
on peut compter les zéros sur $D\left(z_{2},\delta\right)$ en calculant
\[
\frac{1}{2\pi i}\oint_{\partial D\left(z_{2},\delta\right)}\frac{\xi_{n}'\left(z\right)}{\xi_{n}\left(z\right)}\mathrm{d}z
\]
 et en déduire que $\xi\left(z\right)=f\left(z\right)-f\left(z_{1}\right)$
n'a pas de zéros sur $D\left(z_{2},\epsilon\right)$ en passant à
la limite $n\to\infty$:
\[
\frac{1}{2\pi i}\oint_{\partial D\left(z_{2},\delta\right)}\frac{\xi_{n}'\left(z\right)}{\xi_{n}\left(z\right)}\mathrm{d}z\underset{n\to\infty}{\longrightarrow}\frac{1}{2\pi i}\oint_{\partial D\left(z_{2},\delta\right)}\frac{\xi'\left(z\right)}{\xi\left(z\right)}\mathrm{d}z.
\]
 }
\item \textsf{Comme $z_{2}\in U\setminus\left\{ z_{1}\right\} $ était arbitraire,
on déduit que $f\left(z_{2}\right)\neq f\left(z_{1}\right)$ pour
tout $z_{2}\neq z_{1}$, ce qui donne que $f$ est injective. }
\end{itemize}
\end{itemize}
\item \textsf{Maintenant par le lemme \ref{lem:sigma-can-optimize} comme
la valeur $f'\left(z_{*}\right)$ ne peut pas être augmentée dans
$\Sigma_{U,z_{*}}$, la fonction $f$ est surjective et c'est donc
l'application conforme recherchée, ce qui nous permet de conclure. }
\end{itemize}
\end{itemize}
\end{proof}

\section{\textsf{Fonctions périodiques et elliptiques}}

\subsection{\textsf{Motivation}}
\begin{itemize}
\item \textsf{Sur $\mathbb{R}$, les fonctions périodiques forment une classe
importante de fonctions qui incluent les fonctions trigonométriques
$\sin,\cos$.}
\item \textsf{Les fonction périodiques $\mathbb{R}\to\mathbb{C}$ correspondent
naturellement aux fonctions définies sur le cercle: si par exemple
$f:\mathbb{R}\to\mathbb{C}$ est $2\pi$-périodique, on peut définir
$\tilde{f}:\mathbb{S}^{1}\to\mathbb{C}$ par $\tilde{f}\left(e^{i\theta}\right)=f\left(\theta\right)$
(le point étant que le choix de $\theta$ modulo $2\pi$ n'importe
pas).}
\item \textsf{Sur $\mathbb{C}$, de nombreuses fonctions sont périodiques
par rapport à une direction: par exemple, la fonction exponentielle
est périodique.}
\item \textsf{Une fonction périodique $f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}$ correspond
naturellement à une fonction définie sur un cylindre.}
\item \textsf{Sur $\mathbb{C}$, une fonction peut aussi être périodique
par rapport à deux directions indépendantes: c'est ce qu'on appelle
une fonction elliptique. }
\item \textsf{Les fonctions elliptiques correspondent naturellement à des
fonctions définies sur le tore. }
\end{itemize}


\subsection{\textsf{Fonctions périodiques}}

\textsf{Les fonctions périodiques (avec une période) forment une classe
de fonction très riches avec de nombreux exemples utiles. }
\begin{defn}
\textsf{Une fonction méromorphe sur $\mathbb{C}$ est dite périodique
de période $T\in\mathbb{C}$ si on a }

\textsf{
\[
f\left(z+T\right)=f\left(z\right).
\]
}
\end{defn}

\begin{example}
\textsf{La fonction $\exp:\mathbb{C}\to\mathbb{C}$ est périodique
de période $2\pi i$. }
\end{example}

\begin{rem}
\textsf{Une fonction périodique correspond naturellement à une fonction
définie sur le cylindre $\mathbb{C}/\sim$ où $\sim$ est la relation
d'équivalence $z\sim w\iff z-w\in T\mathbb{Z}$. }
\end{rem}

\textsf{Un exemple intéressant de fonction méromorphe périodique est
donné par la proposition suivante:}
\begin{prop}
\textsf{\label{prop:identity-inverse-sine-square}On a
\[
\sum_{n\in\mathbb{Z}}\frac{1}{\left(z-n\right)^{2}}=\frac{\pi^{2}}{\sin^{2}\left(\pi z\right)}.
\]
}
\end{prop}

\begin{proof}
\textsf{Soient $f,g$ définies par 
\begin{align*}
f\left(z\right)= & \sum_{n\in\mathbb{Z}}\frac{1}{\left(z-n\right)^{2}}\\
g\left(z\right)= & \frac{\pi^{2}}{\sin^{2}\left(\pi z\right)}.
\end{align*}
 Montrons que $f$ est convergente sur $\mathbb{C}\setminus\mathbb{Z}$
et ensuite que $f=g$ en utilisant le théorème de Liouville:}
\begin{itemize}
\item \textsf{La série définissant $f$ converge uniformément (note: les
pôles ne sont pas importants, ce qui est important est la convergence
de la queue de la série par rapport à $n$) dans toutes les bandes
$\left[a,b\right]\times i\mathbb{R}=\left\{ z\in\mathbb{C}:\Re\mathfrak{e}\left(z\right)\in\left[a,b\right]\right\} $
pour $a,b\in\mathbb{R}$ avec $a<b$:}
\begin{itemize}
\item \textsf{On a que 
\[
\sum_{n\in\mathbb{Z}\cap\left(b,+\infty\right)}\frac{1}{\left(z-n\right)^{2}}
\]
 est uniformément convergente sur $\left[a,b\right]\times i\mathbb{R}$,
car pour $n\in\mathbb{Z}\cap\left(b,+\infty\right)$, on 
\[
\frac{1}{\left|z-n\right|^{2}}\leq\frac{1}{\left|b-n\right|^{2}}
\]
et 
\[
\sum_{n\in\mathbb{Z}\cap\left(b,+\infty\right)}^{+\infty}\frac{1}{\left(b-n\right)^{2}}<+\infty.
\]
 }
\item \textsf{De même, on a que
\[
\sum_{n\in\mathbb{Z}\cap\left(-\infty,a\right)}\frac{1}{\left(z-n\right)^{2}}
\]
 est uniformément convergente sur $\left[a,b\right]\times i\mathbb{R}$.}
\item \textsf{La somme $\sum_{n\in\mathbb{Z}\cap\left[a,b\right]}$ ne contient
qu'un nombre fini de termes, et cela nous donne la convergence uniforme
de $f$ dans toutes les bandes $\left[a,b\right]\times i\mathbb{R}$. }
\end{itemize}
\item \textsf{Identifions les pôles de $f$ et $g$:}
\begin{itemize}
\item \textsf{Les fonctions $f,g$ définies par sont clairement $1$-périodiques,
donc il suffit de montrer qu'elles ont les mêmes pôles en $0$.}
\item \textsf{Si on fait un développement de Taylor de $g$ en $0$, on
obtient 
\begin{align*}
\frac{\pi^{2}}{\left(\pi z-\frac{\pi^{3}z^{3}}{6}+\mathcal{O}\left(z^{5}\right)\right)^{2}} & =\frac{\pi^{2}}{\pi^{2}z^{2}-\frac{1}{3}\pi^{4}z^{4}+\mathcal{O}\left(z^{6}\right)}\\
 & =\frac{1}{z^{2}}\left(\frac{1}{1-\frac{1}{3}\pi^{2}z^{2}+\mathcal{O}\left(z^{4}\right)}\right)\\
 & =\frac{1}{z^{2}}\left(1+\frac{\pi^{2}}{3}z^{2}+\mathcal{O}\left(z^{4}\right)\right)\\
 & =\frac{1}{z^{2}}+\frac{\pi^{2}}{3}+\mathcal{O}\left(z^{2}\right)
\end{align*}
 et ainsi on voit que $g$ a le même pôle (ordre $2$, coefficient
dominant $1$, résidu $0$) que $f$ en $0$.}
\end{itemize}
\item \textsf{Montrons que $f\left(z\right),g\left(z\right)\to0$ quand
$\left|\Im\mathfrak{m}\left(z\right)\right|\to+\infty$. }
\begin{itemize}
\item \textsf{Pour $f$, on a que 
\[
\left|\sum_{n\in\mathbb{Z}}\frac{1}{\left(z-n\right)^{2}}\right|\leq\sum_{n\in\mathbb{Z}}\frac{1}{\left|z-n\right|^{2}}\underset{\left|\Im\mathfrak{m}\left(z\right)\right|\to\infty}{\longrightarrow}0,
\]
ce qui est facile à montrer en utilisant 
\[
\frac{1}{\left|z-n\right|^{2}}=\frac{1}{\left(\Im\mathfrak{m}\left(z\right)\right)^{2}+\left(\Re\mathfrak{e}\left(z\right)-n\right)^{2}}
\]
}
\item \textsf{Pour $g$ on a que $\left|\sin^{2}\left(z\right)\right|=\sin^{2}\left(\Re\mathfrak{e}\left(z\right)\right)+\sinh^{2}\left(\Im\mathfrak{m}\left(z\right)\right)$,
qui tend vers $+\infty$ quand $\left|\Im\mathfrak{m}\left(z\right)\right|\to+\infty$
et donc $g\to0$.}
\end{itemize}
\item \textsf{On a que $f-g$ se prolonge en une fonction entière, qui bornée
et constante, et comme $f-g\to0$ quand $\Im\mathfrak{m}\left(z\right)\to\infty$,
on a $f=g$. }
\end{itemize}
\end{proof}
\begin{cor}
\textsf{On a
\[
\sum_{n\in\mathbb{Z}}\frac{1}{n^{2}}=\frac{\pi^{2}}{6}.
\]
}
\end{cor}

\begin{proof}
\textsf{On a que la fonction $f$ donnée par $f\left(z\right)=\pi^{2}/\sin^{2}\left(\pi z\right)-1/z^{2}$
peut être prolongée en $0$ par $\frac{\pi^{2}}{3}$ par le développement
en série de la preuve de la proposition \ref{prop:identity-inverse-sine-square}.
En même temps, par la proposition \ref{prop:identity-inverse-sine-square},
on a $f\left(z\right)=\sum_{n\in\mathbb{Z}^{*}}1/\left(z-n\right)^{2}$,
ce qui donne $f\left(0\right)=2\sum_{n=1}^{\infty}1/n^{2}$, d'où
le résultat. }
\end{proof}
\begin{xca}
\textsf{Montrer que la série $\sum_{n\in\mathbb{Z}^{*}}\left(\frac{1}{z-n}+\frac{1}{n}\right)$
est normalement convergente sur $\mathbb{C}\setminus\mathbb{Z}$ et
(en dérivant par rapport à $z$) que 
\[
\frac{1}{z}+\sum_{n\in\mathbb{Z}^{*}}\left(\frac{1}{z-n}+\frac{1}{n}\right)=\frac{\pi}{\tan\pi z}.
\]
}
\end{xca}


\subsection{\textsf{Fonctions elliptiques}}

\textsf{Les fonctions elliptiques sont les fonctions \textquotedbl doublement
périodiques\textquotedbl , c'est-à-dire qui ont des périodicités
par rapport à deux périodes $T_{1},T_{2}\in\mathbb{C}^{*}$ qui sont
linéairement indépendantes (quand $T_{1},T_{2}$ sont identifiées
avec des vecteurs de $\mathbb{R}^{2}$). }
\begin{defn}
\textsf{Soient $T_{1},T_{2}\in\mathbb{C}^{*}$ tels que $T_{1}/T_{2}\notin\mathbb{R}$.
On appelle réseau généré par $T_{1},T_{2}$ l'ensemble $\Lambda_{T_{1},T_{2}}=T_{1}\mathbb{Z}+T_{2}\mathbb{Z}$
défini par
\[
\Lambda_{T_{1},T_{2}}=\left\{ k_{1}T_{1}+k_{2}T_{2}:k_{1},k_{2}\in\mathbb{Z}\right\} .
\]
On appelle parallélogramme fondamental le domaine $Q_{T_{1},T_{2}}$
défini par 
\[
Q\left(T_{1},T_{2}\right)=\left\{ \lambda_{1}T_{1}+\lambda_{2}T_{2}:\lambda_{1},\lambda_{2}\in\left[0,1\right]\right\} .
\]
}
\end{defn}

\begin{example}
\textsf{L'exemple le plus classique et utile de réseau est celui généré
par $1,i$, qu'on note parfois $\mathbb{Z}+i\mathbb{Z}$ ou $\mathbb{Z}\left[i\right]$
ou $\mathbb{Z}^{2}$.}
\end{example}

\textsf{Une fonction elliptique est périodique par rapport à un réseau
si elle est invariante par translation du réseau:}
\begin{defn}
\textsf{Une fonction méromorphe $f$ sur $\mathbb{C}$ est dite elliptique
par rapport au réseau $\Lambda_{T_{1},T_{2}}$ si 
\[
f\left(z+\mu\right)=f\left(z\right)\quad\forall\mu\in\Lambda_{T_{1},T_{2}}.
\]
}
\end{defn}

\begin{rem}
\textsf{Il est facile de voir que c'est équivalent à exiger $f\left(z+T_{1}\right)=f\left(z+T_{2}\right)=f\left(z\right)$. }
\end{rem}

\textsf{On peut commencer par voir que les seuls exemples intéressants
sont ceux des fonctions qui ont des pôles:}
\begin{prop}
\textsf{\label{prop:no-interesting-holomorphic-elliptic-function}Si
$f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}$ est une fonction holomorphe elliptique,
alors $f$ est constante. }
\end{prop}

\begin{proof}
\textsf{Si $f$ est holomorphe bi-périodique, on a 
\[
\sup_{z\in\mathbb{C}}\left|f\left(z\right)\right|=\max_{z\in Q\left(T_{1},T_{2}\right)}\left|f\left(z\right)\right|<+\infty
\]
 car pour tout $z\in\mathbb{C}$, il existe $\mu\in\Lambda_{T_{1},T_{2}}$
tel que $z-\mu\in Q\left(T_{1},T_{2}\right)$. Ainsi $f$ est entière
et bornée, donc constante par le théorème de Liouville.}
\end{proof}
\textsf{On va étudier la fonction elliptique la plus célèbre: la fonction
$\wp$ de Weierstrass (à ne pas confondre avec la fonction pathologique
de Weierstrass qui apparaît parfois en analyse réelle). }
\begin{defn}
\textsf{Soit $\Lambda=\Lambda_{T_{1},T_{2}}$ un réseau. La fonction
de Weierstrass $\wp_{\Lambda}$ est définie par 
\begin{equation}
\frac{1}{z^{2}}+\sum_{\lambda\in\Lambda\setminus\left\{ 0\right\} }\left(\frac{1}{\left(z-\lambda\right)^{2}}-\frac{1}{\lambda^{2}}\right).\label{eq:def-wp}
\end{equation}
}
\end{defn}

\textsf{Cette définition a du sens grâce à la proposition suivante:}
\begin{prop}
\textsf{La série dans (\ref{eq:def-wp}) est normalement convergente
sur $\mathbb{C}\setminus\Lambda$ et définit une fonction elliptique
paire sur $\mathbb{C}$.}
\end{prop}

\begin{proof}
\textsf{On a}
\begin{itemize}
\item \textsf{On observe d'abord que 
\[
\sum_{\lambda\in\Lambda\setminus\left\{ 0\right\} }\frac{1}{\left|\lambda\right|^{3}}<+\infty.
\]
}
\begin{itemize}
\item \textsf{En effet, si on regarde $A_{n}=\left(D\left(0,n+1\right)\setminus D\left(0,n\right)\right)$,
on a $\mathcal{O}\left(n\right)$ points de $\Lambda$ dans cet anneau,
et
\[
\sum_{\lambda\in\Lambda\cap A_{n}}\frac{1}{\left|\lambda\right|^{3}}=\mathcal{O}\left(\frac{n}{n^{3}}\right)=\mathcal{O}\left(\frac{1}{n^{2}}\right).
\]
 }
\item \textsf{Si on somme sur tous les $n\geq0$, on arrive donc à une somme
convergente. }
\end{itemize}
\item \textsf{Montrons la convergence uniforme sur tous les disques $\bar{D}\left(0,R\right)$.}
\begin{itemize}
\item \textsf{On a pour tout $z\in D\left(0,R\right)$ et $\lambda\in\mathbb{C}\setminus D\left(0,2R\right)$,
$\left|2-\frac{z}{\lambda}\right|\leq\frac{5}{2}$ et$\left|1-\frac{z}{\lambda}\right|\geq\frac{1}{2}$,
et donc
\[
\left|\frac{1}{\left(z-\lambda\right)^{2}}-\frac{1}{\lambda^{2}}\right|=\left|\frac{\lambda^{2}-\left(z-\lambda\right)^{2}}{\lambda^{2}\left(z-\lambda\right)^{2}}\right|=\left|\frac{2\lambda z-z^{2}}{\lambda^{2}\left(z-\lambda\right)^{2}}\right|=\frac{\left|z\left(2-\frac{z}{\lambda}\right)\right|}{\left|\lambda\right|^{3}\left|1-\frac{z}{\lambda}\right|^{2}}\leq10\frac{R}{\left|\lambda\right|^{3}},
\]
donc la somme 
\[
\sum_{\lambda\in\Lambda\setminus D\left(0,2R\right)}\left(\frac{1}{\left(z-\lambda\right)^{2}}-\frac{1}{\lambda^{2}}\right)
\]
 converge uniformément sur $\bar{D}\left(0,R\right)$. }
\item \textsf{On a un nombre fini de termes correspondant à $\lambda\in D\left(0,2R\right)$,
donc ils n'affectent pas la convergence.}
\item \textsf{On a donc que $\wp_{\Lambda}$ est une fonction méromorphe
sur $\mathbb{C}$.}
\end{itemize}
\item \textsf{La parité de $\wp_{\Lambda}$ est évidente en utilisant que
$-\Lambda=\Lambda$.}
\item \textsf{Montrons maintenant la bi-périodicité de $\wp_{\Lambda}$:}
\begin{itemize}
\item \textsf{La dérivée est obtenue en dérivant terme à terme
\[
\wp{}_{\Lambda}'\left(z\right)=-2\sum\frac{1}{\left(z-\lambda\right)^{3}}.
\]
}
\item \textsf{On a que $\wp_{\Lambda}'$ est manifestement bi-périodique.}
\item \textsf{On obtient que pour tout $\mu\in\Lambda$, 
\[
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\left(\wp_{\Lambda}\left(z+\mu\right)-\wp_{\Lambda}\left(z\right)\right)=\wp_{\Lambda}'\left(z+\mu\right)-\wp_{\lambda}'\left(z\right)=0.
\]
 }
\item \textsf{Il suit que pour $\mu\in\left\{ T_{1},T_{2}\right\} $ on
a
\[
z\mapsto\wp_{\Lambda}\left(z+\mu\right)-\wp_{\Lambda}\left(z\right)
\]
est constante, et on peut voir que cette constante est nulle en prenant
$z=-\frac{\mu}{2}$ et en utilisant que $\wp_{\Lambda}$ est paire;
cela implique le résultat.}
\end{itemize}
\end{itemize}
\end{proof}
\textsf{La fonction de Weierstrass a de nombreuses propriétés intéressantes.
En particulier, celle-ci sera laissée en exercice:}
\begin{xca}
\textsf{Montrer, en utilisant la Proposition \ref{prop:no-interesting-holomorphic-elliptic-function}
et une analyse des pôles, que $\left(\wp_{\Lambda}'\right)^{2}\left(z\right)=4\wp^{3}\left(z\right)-g_{2}\wp\left(z\right)-g_{3}$
avec
\begin{align*}
g_{2} & =60\sum_{\lambda\in\Lambda\setminus\left\{ 0\right\} }\frac{1}{\lambda^{4}}\\
g_{3} & =140\sum_{\lambda\in\Lambda\setminus\left\{ 0\right\} }\frac{1}{\lambda^{6}}.
\end{align*}
}
\end{xca}

\begin{rem}
\textsf{On peut montrer (avec un peu de travail) que cette équation
différentielle un peu mystérieuse permet de construire une bijection
entre $\mathbb{C}/\Lambda$ (le tore) à la courbe elliptique 
\[
C=\left\{ \left(x,y\right)\in\mathbb{C}^{2}:y^{2}=4x^{3}-g_{2}x-g_{3}\right\} 
\]
 à travers l'application 
\[
z\mapsto\left(\wp_{\Lambda}\left(z\right),\wp_{\Lambda}'\left(z\right)\right),
\]
ce qui permet d'équiper la courbe $C$ d'une structure de groupe additif
(comme $\mathbb{C}\setminus\Lambda$ l'hérite de $\mathbb{C}$). Les
groupes elliptiques sont des groupes très étudiés, avec de nombreuses
propriétés fascinantes. }
\end{rem}


\section*{\textsf{Partie II: Analyse vectorielle et opérateurs différentiels}}

\section{\textsf{Champs scalaires et vectoriels}}

\subsection{\textsf{Motivation}}
\begin{itemize}
\item \textsf{Les idées de Newton ont amené l'idée de force qui permet de
comprendre comment les objets se déplacent.}
\item \textsf{Une conceptualisation importante des lois de Newton se fait
au travers de l'idée de champs: pour comprendre la dynamique d'un
objet soumis aux lois de la gravitation, on construit le champ de
force gravitationnel qui représente la force totale exercée sur un
objet de masse 1.}
\item \textsf{A son tour, le champ vectoriel de force gravitationnelle peut
être décrit en termes d'un champ scalaire, qui est celui de l'énergie
potentielle.}
\item \textsf{Cette approche en termes de champs est particulièrement puissante
pour l'électromagnétisme, où la dynamique des champs pertinents peut
être décrite en termes des équations de Maxwell.}
\item \textsf{La mécanique des fluides est complètement en termes d'équations
de champs (de vitesses du fluide à différents points), qui suivent
des équations compliquées à suivre.}
\item \textsf{Le but de cette partie du cours est d'introduire les objets
importants associés aux champs, c'est-à-dire aux fonctions $\mathbb{R}^{d}\to\mathbb{R}$
avec $d=2,3$ en particulier, et leurs propriétés.}
\end{itemize}


\subsection{\textsf{Définitions}}

\textsf{Soit $\Omega\subset\mathbb{R}^{n}$ un domaine de $\mathbb{R}^{n}$
(c'est-à-dire un ouvert connexe).}
\begin{defn}
\textsf{On appelle une fonction continue $f:\Omega\to\mathbb{R}$
un champ scalaire, et on appelle une fonction continue $f:\Omega\to\mathbb{R}^{n}$
un champ vectoriel.}
\end{defn}

\begin{rem}
\textsf{On peut en principe aussi considérer des champs à valeurs
matricielles ou tensorielles en physique (par exemple en relativité
générale), mais on ne le fera pas dans ce cours. }
\end{rem}


\section{\textsf{Intégrale curviligne et circulation}}

\subsection{\textsf{Motivation pour l'intégrale curviligne}}
\begin{itemize}
\item \textsf{Soit $\Omega\subset\mathbb{R}^{n}$ un domaine}
\item \textsf{Pour un champ scalaire $f:\Omega\to\mathbb{R}$ qui est $\mathcal{C}^{1}$,
son gradient $\nabla f:\Omega\to\mathbb{R}^{n}$ définit un champ
vectoriel. }
\item \textsf{On peut se poser la question de comment retrouver $f$ (à
constante additive près) à partir de $\nabla f$.}
\item \textsf{Une autre question naturelle est de savoir quelles sont les
conditions qu'il faut sur un champ vectoriel $X:\Omega\to\mathbb{R}^{n}$,
pour qu'il existe un champ scalaire $\mathcal{C}^{1}$ $\phi:\Omega\to\mathbb{R}$
tel que $X=\nabla\phi$. }
\end{itemize}

\subsection{\textsf{Intégrale curviligne}}
\begin{defn}
\textsf{Soit $f:\mathbb{R}^{n}\supset\Omega\to\mathbb{R}$ un champ
scalaire continu et $\gamma:\left[0,1\right]\to\Omega$ un chemin
(continu, $\mathcal{C}^{1}$ par morceaux avec dérivée bornée). On
appelle intégrale curviligne de $f$ le long de $\gamma$ l'intégrale
\[
\int f\mathrm{d}s=\int_{0}^{1}f\left(\gamma\left(t\right)\right)\|\gamma'\left(t\right)\|\mathrm{d}t.
\]
}
\end{defn}

\begin{rem}
\textsf{Il est facile de voir que l'intégrale curviligne ne dépend
pas de la paramétrisation de $\gamma$, et que l'on peut faire les
opérations que l'on a faites en analyse complexe avec les chemins
$\int_{\ominus\gamma}f\mathrm{d}s=-\int_{\gamma}f\mathrm{d}s$, $\int_{\gamma\oplus\tilde{\gamma}}f\mathrm{d}s=\int_{\gamma}f\mathrm{d}s+\int_{\tilde{\gamma}}f\mathrm{d}s$. }
\end{rem}

\textsf{}
%
\textsf{A partir de l'intégrale curviligne de la fonction $1$, on
peut obtenir la longueur de $\gamma$. }


\subsection{\textsf{Circulation}}
\begin{defn}
\textsf{Soit $X:\mathbb{R}^{n}\supset\Omega\to\mathbb{R}^{n}$ un
champ vectoriel continu et $\gamma:\left[0,1\right]\to\Omega$ un
chemin (continu, $\mathcal{C}^{1}$ par morceaux avec dérivée bornée).
On appelle circulation de $X$ le long de $\gamma$ ou circulation
de $X$ le long de $\gamma$ l'intégrale 
\[
\int X\cdot\mathrm{d}s=\int_{0}^{1}X\left(\gamma\left(t\right)\right)\cdot\gamma'\left(t\right)\mathrm{d}t,
\]
où $\cdot$ désigne le produit scalaire de $\mathbb{R}^{n}$.}
\end{defn}

\begin{rem}
\textsf{Pour $n=2$, la différence avec les intégrales de contour
complexes est dans le produit scalaire $\cdot$. }
\end{rem}

\textsf{}
%
\begin{rem}
\textsf{Il est facile de voir que comme pour les intégrales complexes,
la circulation ne dépend pas de la paramétrisation du chemin, que
\[
\int_{\ominus\gamma}X\cdot\mathrm{d}s=-\int_{\gamma}X\cdot\mathrm{d}s
\]
 et que l'on a
\[
\int_{\gamma\oplus\tilde{\gamma}}X\cdot\mathrm{d}s=\int_{\gamma}X\cdot\mathrm{d}s+\int_{\tilde{\gamma}}X\cdot\mathrm{d}s.
\]
}
\end{rem}

\textsf{}
%
\begin{rem}
\textsf{En physique, le travail effectué par une force qui déplace
un objet le long d'une trajectoire $\gamma$ est donné par la circulation
de la force le long de $\gamma$. }
\end{rem}


\subsection{\textsf{Circulation d'un gradient}}

\textsf{La circulation du gradient d'une fonction permet bien de retrouver
la fonction. }
\begin{prop}
\textsf{Soit $\Omega\subset\mathbb{R}^{n}$ un domaine et soit $f:\Omega\to\mathbb{R}$
un champ scalaire $\mathcal{C}^{1}$. Alors pour tout chemin $\gamma:\left[0,1\right]\to\Omega$,
on a 
\[
\int_{\gamma}\nabla f\cdot\mathrm{d}s=f\left(\gamma\left(1\right)\right)-f\left(\gamma\left(0\right)\right),
\]
et en particulier pour tout lacet $\lambda$, on a $\int_{\lambda}\nabla f\cdot\mathrm{d}s=0$. }
\end{prop}

\begin{proof}
\textsf{Si on suppose $\gamma$ de classe $\mathcal{C}^{1}$ preuve
se réduit à la règle de dérivation des fonctions composées et à un
simple changement de variable en dimension $1$:
\[
\int_{0}^{1}\nabla f\left(\gamma\left(t\right)\right)\cdot\gamma'\left(t\right)\mathrm{d}t=\int_{0}^{1}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(f\circ\gamma\right)\left(t\right)=f\left(\gamma\left(1\right)\right)-f\left(\gamma\left(0\right)\right).
\]
Si $\gamma$ n'est que $\mathcal{C}^{1}$ par morceaux, il on utilise
cet argument sur chacun des morceaux et on obtient le résultat désiré. }
\end{proof}
\begin{rem}
\textsf{C'est l'analogue du résultat vu en analyse complexe sur la
circulation de la dérivée d'une fonction holomorphe. }
\end{rem}


\subsection{\textsf{\protect\label{subsec:existence-of-potential}Existence d'un
potentiel scalaire}}

\textsf{Posons-nous maintenant la question de savoir si pour un champ
vectoriel $X$, il existe un champ scalaire $f$ tel que $X=\nabla f$. }
\begin{defn}
\textsf{Soit $\Omega\subset\mathbb{R}^{n}$. On dit que $X:\Omega\to\mathbb{R}^{n}$
dérive d'un potentiel (scalaire) s'il existe un champ scalaire $\mathcal{C}^{1}$
tel que $\nabla f=X$. }
\end{defn}

\begin{rem}
\textsf{S'il existe, le potentiel est unique à constante additive
près. }
\end{rem}

\textsf{}
%
\begin{prop}
\textsf{Soit $X:\mathbb{R}^{n}\supset\Omega\to\mathbb{R}^{n}$ un
champ vectoriel tel que pour tout lacet $\lambda:\left[0,1\right]\to\Omega$,
on ait $\int_{\lambda}X\cdot\mathrm{d}s=0$. Alors $X$ a un potentiel. }
\end{prop}

\begin{proof}
\textsf{Soit $x_{*}\in\Omega$. }
\begin{itemize}
\item \textsf{On a que $f\left(x\right)=\int_{x_{*}}^{x}X\mathrm{\cdot d}s$
est bien défini: il ne dépend pas du choix du chemin de $x_{*}$ à
$x$ (si on a deux chemins $\mu,\tilde{\mu}$ qui vont de $x$ à $x_{*}$
on a que $\mu\ominus\tilde{\mu}$ est un lacet). }
\item \textsf{Maintenant pour tout $v\in\mathbb{R}^{n}$,
\[
\partial_{v}f=\lim_{h\underset{>0}{\longrightarrow}0}\frac{f\left(x+hv\right)-f\left(x\right)}{h}=\lim_{h\underset{>0}{\longrightarrow}0}\frac{\int_{x}^{x+hv}X\cdot\mathrm{d}s}{h},
\]
où l'intégrale dans le membre de droite ne dépend pas du chemin.}
\item \textsf{Si on paramètre le segment $\left[x,x+hv\right]$ par $\gamma\left(t\right)=x+thv$,
par le théorème de la moyenne, pour tout $h$, il existe $t_{h}\in\left[0,1\right]$
tel que
\[
\frac{\int_{x}^{x+hv}X\cdot\mathrm{d}s}{h}=\frac{X\left(t_{h}v\right)\cdot\left(hv\right)}{h}\underset{h\underset{>0}{\longrightarrow}0}{\longrightarrow}X\cdot v.
\]
}
\item \textsf{Ainsi on a $\partial_{v}f=X\cdot v$ et donc $\nabla f=X$. }
\end{itemize}
\end{proof}
\begin{rem}
\textsf{C'est l'analogue du résultat vu en analyse complexe sur l'existence
d'une primitive sous la condition de Morera; la preuve est similaire,
aussi. }
\end{rem}

\textsf{}
%
\begin{rem}
\textsf{En physique, les champs de forces dites conservatrices sont
celles qui dérivent d'un potentiel, appelée énergie potentielle. Si
on déplace un corps dans un champ de force conservatrice, sont énergie
potentielle sera modifiée par le travail effectué pendant le déplacement,
qui ne dépend pas du chemin. }
\end{rem}


\section{\textsf{\protect\label{sec:curl}Rotationnel}}

\subsection{\textsf{Motivation}}
\begin{itemize}
\item \textsf{Dans la section précédente on a vu que l'existence d'un potentiel
pour un champ vectoriel se réduisait à la question de savoir si les
circulations dépendent du chemin.}
\item \textsf{Cela donnait donc que si le long de tout lacet $\lambda$,
la circulation de $X$ le long de $\lambda$ vaut $0$, alors $X$
a un potentiel.}
\item \textsf{Comme en analyse complexe, cela suggère de regarder les intégrales
le long de lacets infinitésimaux.}
\item \textsf{En dimension $2$, cela se fait comme en analyse complexe,
et on obtient un champ scalaire qui décrit les intégrales de contour
infinitésimales.}
\item \textsf{En dimension $3$, c'est plus compliqué car les contours peuvent
être dans plusieurs directions, et on obtient un vecteur pour décrire
les inte'grales de contour infinitésimales.}
\item \textsf{En dimensions $n\geq4$ c'est plus compliqué (même si conceptuellement
simple): il faut prendre en compte toutes les $\binom{n}{2}$ directions
indépendantes où les contours peuvent vivre; on ne verra pas ce cas
(qui est beaucoup moins utilisé en physique). }
\end{itemize}


\subsection{\textsf{Rotationnel 2D}}

\textsf{Le rotationnel 2D est un opérateur différentiel qui capture
l'intégrale de contour le long d'un lacet infinitésimal:}
\begin{defn}
\textsf{Soit $X:\mathbb{R}^{2}\supset\Omega\to\mathbb{R}^{2}$ un
champ vectoriel de classe $\mathcal{C}^{1}$. On note $\mathrm{rot}X:\Omega\to\mathbb{R}$
le champ scalaire défini par
\[
\mathrm{rot}X=\partial_{1}X_{2}-\partial_{2}X_{1}.
\]
En anglais, le rotationnel est appelé curl. }
\end{defn}

\textsf{La pertinence du rotationnel 2D pour décrire les intégrales
de contour infinitésimales est justifiée par la proposition suivante:}
\begin{prop}
\textsf{\label{prop:infinitesimal-green-riemann-1}Soit $X:\Omega\subset\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}$
une fonction $\mathcal{C}^{1}$. Soient $x\in\Omega$ et $T_{\epsilon}=x+\epsilon T$
où $T$ est un triangle. On a
\[
\ointctrclockwiseop_{\partial T_{\epsilon}}X\cdot\mathrm{d}s=\epsilon^{2}\mathrm{Aire}\left(T\right)\mathrm{rot}X+o\left(\epsilon^{2}\right),
\]
où $\partial T_{\epsilon}$ désigne le bord de $T_{\epsilon}$ orienté
dans le sens trigonométrique. }
\end{prop}

\begin{proof}
\textsf{Cela suit d'un calcul direct très similaire à ce qui a été
vu dans le cas complexe: }
\begin{itemize}
\item \textsf{Pour simplifier les calculs on peut supposer que $T$ est
un triangle rectangle avec sommets $\left(0,0\right),\left(a,0\right),\left(0,b\right)$:
on peut toujours supposer que $T$ est une union (avec intérieurs
disjoints) de tels triangles. }
\item \textsf{On paramètre les trois côtés de $x+\epsilon T$ par 
\begin{align*}
\gamma_{1}\left(t\right) & =\left(x_{1}+\epsilon\left(\frac{a}{2}+\left(t-\frac{1}{2}\right)a\right),x_{2}\right)\\
\gamma_{2}\left(t\right) & =\left(x_{1}+\epsilon\left(\frac{a}{2}-\left(t-\frac{1}{2}\right)a\right),x_{2}+\epsilon\left(\frac{b}{2}+\left(t-\frac{1}{2}\right)b\right)\right)\\
\gamma_{3}\left(t\right) & =\left(x_{1},x_{2}+\epsilon\left(\frac{b}{2}-\left(t-\frac{1}{2}\right)b\right)\right).
\end{align*}
}
\item \textsf{On a que les dérivées dans le temps de ces chemins sont
\begin{align*}
\gamma_{1}'\left(t\right) & =\left(\epsilon a,0\right)\\
\gamma_{2}'\left(t\right) & =\left(-\epsilon a,\epsilon b\right)\\
\gamma_{3}'\left(t\right) & =\left(0,-\epsilon b\right)
\end{align*}
 }
\item \textsf{On obtient que l'intégrale vaut l'intégrale $\int_{0}^{1}f\left(t\right)\mathrm{d}t$,
où 
\begin{align*}
f\left(t\right)= & \epsilon aX_{1}\left(x_{1}+\epsilon\left(\frac{a}{2}+\left(t-\frac{1}{2}\right)a\right),x_{2}\right)\\
- & \epsilon aX_{1}\left(x_{1}+\epsilon\left(\frac{a}{2}-\left(t-\frac{1}{2}\right)a\right),x_{2}+\epsilon\left(\frac{b}{2}+\left(t-\frac{1}{2}\right)b\right)\right)\\
+ & \epsilon bX_{2}\left(\left(x_{1}+\epsilon\left(\frac{a}{2}-\left(t-\frac{1}{2}\right)a\right),x_{2}+\epsilon\left(\frac{b}{2}+\left(t-\frac{1}{2}\right)b\right)\right)\right)\\
- & \epsilon bX_{2}\left(x_{1},x_{2}+\epsilon\left(\frac{b}{2}-\left(t-\frac{1}{2}\right)b\right)\right)
\end{align*}
}
\item \textsf{Ensuite on fait un développement de Taylor de $X$ autour
de $X$. }
\begin{itemize}
\item \textsf{Il est facile de voir que les contributions des termes \textquotedbl constant\textquotedbl{}
$X\left(x\right)$ vont s'annuler (puisque la somme des trois dérivées
$\gamma_{1}',\gamma_{2}',\gamma_{3}'$ vont s'annuler).}
\item \textsf{Le deuxième terme devient une somme de deux termes (on va
prendre la dérivée par rapport à la première coordonnée puis la deuxième);
de même pour le troisième terme.}
\item \textsf{La première partie du deuxième terme s'annule avec le premier
terme. }
\item \textsf{La deuxième partie du troisième terme s'annule avec le quatrième
terme. }
\item \textsf{Les seuls termes qui restent sont les \textquotedbl termes
croisés\textquotedbl{} (deuxième partie du deuxième terme et première
partie du troisième terme).}
\item \textsf{Les termes qui dépendent de $t$ viennent avec $t-\frac{1}{2}$
qui vaut \textquotedbl en moyenne\textquotedbl{} $0$ sur $\left[0,1\right]$,
donc ils disparaissent. }
\item \textsf{Finalement, il ne reste $\frac{\epsilon^{2}ab}{2}\left(\partial_{2}X_{1}\left(x\right)-\partial_{1}X_{2}\left(x\right)\right)$,
ce qui est le résultat souhaité. }
\end{itemize}
\end{itemize}
\end{proof}
\begin{rem}
\textsf{En physique, si $F$ décrit la force exercée par un fluide,
on a que le rotationnel en $x$ représente le travail effectué autour
d'une hélice infinitésimale attachée en $x$ quand elle fait un tour;
ceci explique le nom. }
\end{rem}


\subsection{\textsf{Rotationnel 3D}}

\textsf{Dans le cas tri-dimensionnel, la situation est plus compliquée,
en raison du fait qu'il faut choisir la direction de chaque contour
infinitésimal. }
\begin{defn}
\textsf{Soit $X:\mathbb{R}^{3}\supset\Omega\to\mathbb{R}^{3}$ un
champ vectoriel $\mathcal{C}^{1}$. On note $\mathrm{rot}X:\Omega\to\mathbb{R}^{3}$
le champ vectoriel défini par
\[
\mathrm{rot}X=\begin{pmatrix}\partial_{2}X_{3}-\partial_{3}X_{2}\\
\partial_{3}X_{1}-\partial_{1}X_{3}\\
\partial_{1}X_{2}-\partial_{2}X_{1}
\end{pmatrix}.
\]
}
\end{defn}

\begin{rem}
\textsf{On note parfois le rotationnel 3D par $\nabla\times X$, qui
permet de se souvenir de la formule en prenant le produit vectoriel
formel
\[
\begin{pmatrix}\partial_{1}\\
\partial_{2}\\
\partial_{3}
\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}X_{1}\\
X_{2}\\
X_{3}
\end{pmatrix}.
\]
}

\textsf{La proposition suivante justifie l'utilisation du rotationnel
3D pour calculer les intégrales de contour infinitésimales:}
\end{rem}

\begin{prop}
\textsf{\label{prop:infinitesimal-kelvin-stokes}Soit $X:\Omega\subset\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}$
une fonction $\mathcal{C}^{1}$. Soient $x\in\Omega$, $T_{\epsilon}=x+\epsilon T$
où $T$ est un triangle avec sommets $0,v,w$ (apparaissant dans cet
ordre le long de l'orientation de $T$). On a
\[
\ointctrclockwiseop_{\partial T_{\epsilon}}X\cdot\mathrm{d}s=\frac{\epsilon^{2}}{2}\mathrm{rot}X\left(x\right)\cdot\left(v\times w\right)+o\left(\epsilon^{2}\right).
\]
}
\end{prop}

\begin{proof}
\textsf{Présentons une esquisse de preuve:}
\begin{itemize}
\item \textsf{Dans le cas où $v$ et $w$ sont des vecteurs parallèle aux
vecteurs de la base canonique $\left(1,0,0\right)$, $\left(0,1,0\right)$
ou $\left(0,0,1\right)$, l'énoncé suit de la version 2D, en vérifiant
la compatibilité des \textquotedbl signes\textquotedbl{} entre le
sens trigonométrique en 2D et le produit vectoriel en 3D. }
\item \textsf{En général, on peut représenter l'intégrale de contour comme
un somme d'intégrales de contour le long de triangles perpendiculaires
aux vecteurs de la base canonique. }
\item \textsf{Par linéarité par rapport à $v$ et à $w$ du membre de droite,
on obtient le résultat. }
\end{itemize}
\end{proof}

\section{\textsf{\protect\label{sec:green-riemann}Formule de Green-Riemann
et existence de potentiels en 2D}}

\subsection{\textsf{Motivation}}
\begin{itemize}
\item \textsf{Dans la section \ref{subsec:existence-of-potential}, on a
ramené la question de l'existence d'un potentiel pour un champ vectoriel
à celle de la nullité des circulations le long des lacets.}
\item \textsf{Dans la section \ref{sec:curl}, on a vu qu'en 2D et 3D, les
circulations infinitésimales donnent le rotationnel.}
\item \textsf{Cela suggère que si un champ vectoriel a rotationnel nul et
si le domaine est simplement connexe, alors il a un potentiel. }
\item \textsf{Pour cela, on a besoin d'une formule qui nous permet d'intégrer
le rotationnel: en 2D c'est la formule de Green-Riemann.}
\end{itemize}


\subsection{\textsf{Formule de Green-Riemann}}

\textsf{La formule de Green-Riemann connecte précisément les circulations
macroscopiques (non-infinitésimales) avec le rotationnel d'un champ
vectoriel 2D. C'est donc la version macroscopique de la proposition
\ref{prop:infinitesimal-green-riemann-1}}
\begin{thm}[Green-Riemann]
\textsf{Si $\Omega\subset\mathbb{R}^{2}$ est un domaine borné tel
que $\partial\Omega$ est un lacet $\mathcal{C}^{1}$ par morceaux
et $X$ est un champ vectoriel $\mathcal{C}^{1}$ défini au voisinage
de $\bar{\Omega}$, on a
\[
\iint_{\Omega}\mathrm{rot}X=\ointctrclockwiseop_{\partial\Omega}X\cdot\mathrm{d}s,
\]
où $\partial\Omega$ est orienté dans le sens trigonométrique, et
où l'intégrale double est une intégrale de surface usuelle. }
\end{thm}

\begin{proof}
\textsf{On présente simplement une esquisse de preuve: }
\begin{itemize}
\item \textsf{On découpe $\Omega$ en petits triangles de diamètres $\mathcal{O}\left(\epsilon\right)$.}
\item \textsf{On additionne la version infinitésimale qui est la proposition
\ref{prop:infinitesimal-green-riemann-1} pour chaque petit triangle: }
\begin{itemize}
\item \textsf{Les circulations internes s'annulent et laissent le membre
de droite à une erreur $o\left(1\right)$ près.}
\item \textsf{Les intégrales de surface s'additionnent, ce qui donne l'intégrale
de surface désirée à une erreur $o\left(1\right)$ près: on a $\mathcal{O}\left(\frac{1}{\epsilon^{2}}\right)$
triangles, chacun donne $\epsilon^{2}\mathrm{rot}X$ fois son aire,
plus une erreur $o\left(\epsilon^{2}\right)$. }
\end{itemize}
\item \textsf{En faisant tendre $\epsilon\to0$, on obtient le résultat. }
\end{itemize}
\end{proof}
\begin{rem}
\textsf{Cette formule est très proche de la formule pour les fonctions
complexes $F:\Omega\to\mathbb{C}$ de classe $\mathcal{C}^{1}$ (au
sens des dérivées partielles réelles, pas nécessairement holomorphe)
qui donne
\[
\iint_{\Omega}\bar{\partial}F=\frac{1}{2i}\oint_{\partial\Omega}F\left(z\right)\mathrm{d}z,
\]
où $\bar{\partial}F=\frac{1}{2}\left(\partial_{1}F+i\partial_{2}F\right)$. }
\end{rem}


\subsection{\textsf{Existence de potentiel}}

\textsf{Grâce à Green-Riemann, on obtient le résultat souhaité. }
\begin{thm}
\textsf{Soit $\Omega\subset\mathbb{R}^{2}$ un domaine simplement
connexe et $X:\Omega\to\mathbb{R}^{2}$ un champ de vecteur $\mathcal{C}^{1}$
de rotationnel nul. Alors $X$ dérive d'un potentiel.}
\end{thm}

\begin{proof}
\textsf{Par la formule de Green-Riemann, et par simple connexité on
a que la circulation de $X$ le long de tout lacet simple est nulle;
on déduit (comme en analyse complexe) que la circulation le long de
tout lacet est nulle et ainsi que $X$ a un potentiel. }
\end{proof}

\section{\textsf{Formule de Kelvin-Stokes et existence de potentiel 3D}}

\subsection{\textsf{Motivation}}
\begin{itemize}
\item \textsf{Dans la section \ref{sec:green-riemann}, on a relié l'existence
d'un potentiel 2D à la nullité du rotationnel 2D grâce à la formule
de Green-Riemann.}
\item \textsf{On va maintenant faire de même en 3D: on a besoin d'une version
macroscopique de la proposition \ref{prop:infinitesimal-kelvin-stokes}:
c'est la formule de Kelvin-Stokes. }
\item \textsf{Pour introduire la formule de Kelvin-Stokes, on a besoin de
comprendre la version intégrale du produit mixte $Y\cdot\left(v\times w\right)$
qui apparaît dans la proposition \ref{prop:infinitesimal-kelvin-stokes}:
c'est le flux du champ de vecteur $Y$ à travers une surface (un petit
triangle dans ce cas).}
\end{itemize}

\subsection{\textsf{Surface}}

\textsf{On a déjà besoin de préciser ce qu'on entend par surface:
intuitivement, une surface paramétrique est quelque chose qu'on peut
paramétrer par deux paramètres:}
\begin{defn}
\textsf{\label{def:parametrized-smooth-surface}On dit que $S\subset\mathbb{R}^{3}$
est une surface paramétrée $\mathcal{C}^{1}$ de $\mathbb{R}^{3}$
s'il existe un bornée domaine $U\subset\mathbb{R}^{2}$ et une application
$\varphi:U\to\mathbb{R}^{3}$ de classe $\mathcal{C}^{1}$ injective
à dérivée bornée de rang $2$ telle que $\varphi\left(U\right)=S$. }
\end{defn}

\begin{rem}
\textsf{Une autre manière de demander que la dérivée a rang $2$ est
de demander que $\partial_{1}\varphi\times\partial_{2}\varphi$ ne
s'annule pas. }
\end{rem}

\textsf{Toutes les surfaces naturelles ne peuvent pas être paramétrées
globalement (par exemple la sphère). Intuitivement une surface est
un objet qui peut être paramétré localement:}
\begin{defn}
\textsf{\label{def:piecewise-smooth-surface}On dit que $S\subset\mathbb{R}^{3}$
est une surface lisse par morceaux si $S$ est connexe et est donnée
par une union disjointe $S=\Lambda\cup S_{1}\cup\cdots\cup S_{n}$
avec $S_{j}$ des surfaces paramétrées $\mathcal{C}^{1}$ (avec $n\geq1$)
et $\Lambda$ une union finie de chemins (courbes $\mathcal{C}^{1}$
avec dérivées bornées). }
\end{defn}

\textsf{Une surface lisse est une surface où l'ensemble $\Lambda$
ne pose pas de problème:}
\begin{defn}
\textsf{\label{def:smooth-surface}On dit que $S\subset\mathbb{R}^{3}$
est une surface lisse si elle est lisse par morceaux et telle que
pour tout $x\in S$, il existe $\epsilon>0$ tel que $S\cap B\left(x,\epsilon\right)$
soit une surface paramétrée $\mathcal{C}^{1}$. }
\end{defn}

\textsf{On a maintenant besoin du plan tangent à la surface:}
\begin{defn}
\textsf{Pour une surface lisse $S\subset\mathbb{R}^{3}$ avec $x=\varphi\left(w\right)$
où $w\in U$ (en suivant la notation de la définition \ref{def:parametrized-smooth-surface}),
le plan tangent à $S$ en $x$ est le sous-espace affine de $\mathbb{R}^{3}$
qui contient $x$ et est engendré par les directions $\partial_{1}\varphi\left(w\right),\partial_{2}\varphi\left(w\right)$.}
\end{defn}

\textsf{On a finalement besoin d'une orientation:}
\begin{defn}
\textsf{On dit qu'une surface lisse $S\subset\mathbb{R}^{3}$ est
orientée s'il existe une fonction continue $\nu:S\to\mathbb{S}^{3}$
(appelé choix de normale) telle que $\nu\left(x\right)$ soit orthogonal
au plan tangent pour tout $x\in S$. }
\end{defn}

\begin{rem}
\textsf{Si $\nu$ est un choix de normale, $-\nu$ en est aussi un.}
\end{rem}

\textsf{}
%
\begin{rem}
\textsf{Une surface paramétrée est toujours orientable: on a que la
normale canonique $\nu\left(z\right)=\frac{\partial_{1}\varphi\left(x\right)\times\partial_{2}\varphi\left(x\right)}{\|\partial_{1}\varphi\left(x\right)\times\partial_{2}\varphi\left(x\right)\|}$
pour $z=\varphi\left(x\right)\in S$ convient, de même que $\tilde{\nu}\left(x\right)=-\nu\left(x\right)$.
Le problème de non-orientabilité peut venir du faire que les normales
différentes surfaces paramétrées au voisinage des points ne peuvent
pas \textquotedbl s'accorder\textquotedbl . }
\end{rem}

\textsf{}
%
\begin{rem}
\textsf{Le ruban de Möbius est une surface lisse non orientable, par
exemple.}
\end{rem}

\textsf{}
%
\begin{rem}
\textsf{Si $\Omega$ est un ouvert de $\mathbb{R}^{3}$ dont le bord
est une surface lisse, on peut toujours orienter cette surface en
prenant $\nu$ qui pointe vers l'extérieur de $\Omega$. }
\end{rem}


\subsection{\textsf{Intégrales de surface}}

\textsf{A partir des définitions de surface, on arrive à intégrer
des champs scalaires sur une surface, qui est essentiellement la valeur
moyenne que $f$ prend sur $S$. }
\begin{defn}
\textsf{Pour une surface paramétrée $S\subset\mathbb{R}^{3}$ et un
champ scalaire $f$ défini au voisinage de $S$, on définit l'intégrale
de $f$ sur $S$, notée $\iint_{S}f\mathrm{d}\sigma$ par 
\[
\iint_{S}f\mathrm{d}\sigma=\iint_{U}f\circ\varphi\|\partial_{1}\varphi\times\partial_{2}\varphi\|,
\]
où l'intégrale à droite est une intégrale 2D usuelle.}
\end{defn}

\begin{rem}
\textsf{Cette intégrale n'existe pas toujours; elle est définie si
elle existe (si on peut trouver $U$ borné tel l'intégrande soit borné). }
\end{rem}

\textsf{}
%
\begin{rem}
\textsf{Par la formule de changement de variable, cette intégrale
ne dépend pas de la paramétrisation $\varphi$ (elle est invariante
par reparamétrisation).}
\end{rem}

\textsf{Ceci nous suggère:}
\begin{defn}
\textsf{Pour une surface lisse par morceaux $S$, écrite comme une
union disjointe $S=\Lambda\cup S_{1}\cup\cdots\cup S_{n}$ comme dans
la définition \ref{def:piecewise-smooth-surface} et un champ scalaire
$f$ continu borné défini au voisinage de $S$, on définit $\iint_{S}f\mathrm{d}\sigma$
par
\[
\iint_{S}f\mathrm{d}\sigma=\sum_{j=1}^{n}\iint_{S_{j}}\mathrm{d}\sigma.
\]
}
\end{defn}

\begin{rem}
\textsf{On peut montrer que cette intégrale ne dépend pas du choix
du découpage en $S_{1},\ldots,S_{n}$.}
\end{rem}

\textsf{Cela nous permet de définir l'aire d'une surface:}
\begin{defn}
\textsf{L'aire d'une surface est définie par 
\[
\mathrm{Aire}\left(S\right)=\iint_{S}1\mathrm{d}\sigma
\]
}
\end{defn}

\begin{rem}
\textsf{Intuitivement, on peut calculer l'aire d'une surface en l'approchant
par des petits triangles (dont les sommets sont sur la surface et
les diamètres sont $\mathcal{O}\left(\delta\right)$ disons), et en
sommant l'aire de ces petits triangles. De même, intégrer une fonction
peut être obtenu en moyennant les valeurs de la fonction prises sur
les sommets de ces triangles, pondérées par la taille des triangles. }
\end{rem}


\subsection{\textsf{\protect\label{subsec:flux-surface}Flux d'un champ à travers
une surface}}

\textsf{On peut finalement définir le flux d'un champ vectoriel à
travers une surface.}
\begin{defn}
\textsf{Pour une surface paramétrée $S\subset\mathbb{R}^{3}$ par
$\varphi:U\to S$ et un champ vectoriel $X$ continu borné défini
au voisinage de $S$, on définit le flux de $X$ à travers $S$, noté
$\iint_{S}X\cdot\nu\mathrm{d}\sigma$, par
\[
\oiint_{S}X\cdot\nu\mathrm{d}\sigma=\iint_{U}\left(X\circ\varphi\right)\cdot\left(\partial_{1}\varphi\times\partial_{2}\varphi\right),
\]
où l'intégrale est une intégrale 2D usuelle et $\cdot$ désigne le
produit scalaire.}
\end{defn}

\begin{xca}
\textsf{Montrer que $|\oiint X\cdot\nu\mathrm{d}\sigma|\leq\iint_{S}\|X\|\mathrm{d}\sigma$. }
\end{xca}

\begin{rem}
\textsf{Par la formule du changement de variable, le flux ne dépend
pas de la paramétrisation spécifique.}
\end{rem}

\textsf{A partir de cette remarque, on peut définir le flux à travers
une surface lisse orientée comme suit:}
\begin{defn}
\textsf{Pour une surface lisse orientée $S$ avec $S=\Lambda\cup S_{1}\cup\cdots\cup S_{n}$
comme dans la définition \ref{def:piecewise-smooth-surface} avec
normale $\nu$, on définit 
\[
\oiint_{S}X\cdot\nu\mathrm{d}\sigma=\sum\mathrm{sgn}\left(\nu_{S_{j}}\cdot\nu\right)_{j=1}^{n}\oiint_{S_{j}}X\cdot\nu\mathrm{d}\sigma,
\]
où $\nu_{S_{j}}$ est la normale canonique associée à la surface $S_{j}$
et $\mathrm{sgn}\left(x\right)=\begin{cases}
1 & \text{si }x>0\\
-1 & \text{si }x<0
\end{cases}$. }
\end{defn}

\begin{rem}
\textsf{On peut montrer que cette intégrale ne dépend pas du choix
du découpage en $S_{1},\ldots,S_{n}$. }
\end{rem}

\textsf{}
%
\begin{rem}
\textsf{On a que $\mathrm{sgn}\left(\nu_{S_{j}}\cdot\nu\right)$ est
constante le long de chaque $S_{j}$: en effet si on normalise $\nu_{S_{j}},\nu$
pour avoir norme $1$, on a que $\nu_{S_{j}}\cdot\nu$ est une fonction
continue à valeurs dans $\pm1$, qui est donc constante. }
\end{rem}

\textsf{}
%
\begin{rem}
\textsf{Dans le cas d'une surface lisse par morceaux $S=\Lambda\cup\cdots$
avec une orientation \textquotedbl naturelle\textquotedbl{} sur $S\setminus\Lambda$,
par exemple si $S$ est le bord d'un domaine $\Omega\subset\mathbb{R}^{3}$,
on peut toujours définir le flux de la même manière. }
\end{rem}


\subsection{\textsf{Formule de Kelvin-Stokes}}

\textsf{La formule de Kelvin-Stokes nous permet d'intégrer le résultat
de la proposition \ref{prop:infinitesimal-kelvin-stokes} en termes
du flux du rotationnel à travers une surface. }
\begin{thm}
\textsf{Soit $S\subset\mathbb{R}^{3}$ est une surface orientée lisse
dont le bord $\partial S$ est $\mathcal{C}^{1}$ par morceaux. Si
$X$ est un champ vectoriel $\mathcal{C}^{1}$ défini au voisinage
de $S$, on a 
\[
\oiint_{S}\mathrm{rot}X\cdot\nu\mathrm{d}\sigma=\ointctrclockwiseop_{\partial S}X\cdot\mathrm{d}s,
\]
où $\partial S$ est orienté dans le sens direct par rapport à la
normale de $S$, c'est-à-dire avec une tangente $\tau$ telle que
$\nu\times\tau$ pointe dans la direction de $S$. }
\end{thm}

\begin{proof}
\textsf{On présente seulement une esquisse de preuve:}
\begin{itemize}
\item \textsf{Supposons que $S$ est une surface paramétrée par $\varphi:U\to S$
avec $U$ un domaine de $\mathbb{R}^{2}$.}
\item \textsf{On peut découper $U$ en petits triangles $\tau_{\epsilon}$
et approcher l'intégrale $\oiint_{S}\mathrm{rot}X\cdot\nu\mathrm{d}\sigma$
par 
\[
\sum_{\tau_{\epsilon}}\mathrm{rot}X\left(\varphi\left(m\left(\tau_{\epsilon}\right)\right)\right)\cdot\left(\partial_{1}\varphi\times\partial_{2}\varphi\right)\left(m\left(\tau_{\epsilon}\right)\right)\mathrm{Aire}\left(m\left(\tau_{\epsilon}\right)\right),
\]
où $m\left(\tau_{\epsilon}\right)$ désigne un point dans $\tau_{\epsilon}$. }
\item \textsf{On a ensuite que $\varphi$ envoie les sommets de $\tau_{\epsilon}$
sur ceux d'un triangle $T_{\epsilon}$ qui satisfait 
\[
\|\left(\partial_{1}\varphi\times\partial_{2}\varphi\right)\left(m\left(\tau_{\epsilon}\right)\right)\|\mathrm{Aire}\left(m\left(\tau_{\epsilon}\right)\right)\approx\mathrm{Aire}\left(m\left(T_{\epsilon}\right)\right)
\]
}
\item \textsf{On obtient 
\[
\sum_{T_{\epsilon}}\mathrm{rot}X\left(m\left(T_{\epsilon}\right)\right)\nu\left(m\left(T_{\epsilon}\right)\right)\mathrm{Aire}\left(m\left(T_{\epsilon}\right)\right),
\]
où $\nu$ est la normale (normalisée) à la surface $S$ en un point
proche de $T_{\epsilon}$.}
\item \textsf{Maintenant, en utilisant la proposition \ref{prop:infinitesimal-kelvin-stokes},
, on obtient que 
\[
\mathrm{rot}X\left(m\left(T_{\epsilon}\right)\right)\nu\left(m\left(T_{\epsilon}\right)\right)\mathrm{Aire}\left(m\left(T_{\epsilon}\right)\right)\approx\int_{\partial T_{\epsilon}}X\cdot\mathrm{d}s.
\]
}
\item \textsf{Si on somme sur les $T_{\epsilon}$, les contributions internes
s'annulent, laissant seulement la circulation le long du bord de la
triangulation (de l'union des triangles).}
\item \textsf{En faisant tendre la taille des triangles vers $0$, on obtient
le résultat désiré. }
\end{itemize}
\end{proof}
\begin{rem}
\textsf{\label{rem:zero-stokes}Si $S$ est une surface orientée bornée
sans bord (comme la sphère par exemple), on déduit immédiatement que
le flux du rotationnel est nul. }
\end{rem}


\subsection{\textsf{Existence d'un potentiel 3D}}

\textsf{A partir de la formule de Kelvin-Stokes, on déduit facilement:}
\begin{thm}
\textsf{Soit $\Omega\subset\mathbb{R}^{3}$ est un domaine simplement
connexe, et soit $X:\Omega\to\mathbb{R}^{3}$ un champ vectoriel de
rotationnel nul. Alors $X$ dérive d'un potentiel.}
\end{thm}

\begin{proof}
\textsf{Esquisse: comme en 2D:}
\begin{itemize}
\item \textsf{Il suffit de vérifier que la circulation le long de tout lacet
est nulle.}
\item \textsf{Comme en 2D, il suffit de le voir le long de tout lacet simple.}
\item \textsf{Il est facile de voir que tout lacet simple est le bord d'une
surface orientée. }
\item \textsf{Par la formule de Kelvin-Stokes, il suit que c'est le cas. }
\end{itemize}
\end{proof}

\section{\textsf{Divergence}}

\subsection{\textsf{Motivation}}
\begin{itemize}
\item \textsf{Dans la section \ref{subsec:flux-surface}, on a introduit
le flux à travers une surface. }
\item \textsf{Par la formule de Kelvin-Stokes, si on intègre le rotationnel
d'un champ de vecteur le long d'une surface à bord, ce qu'on obtient
ne dépend que du bord.}
\item \textsf{Il est naturel de se demander dans quelle mesure une intégrale
le long d'une surface à bord dépend de plus que son bord: c'est la
question analogue de savoir si la circulation dépend de plus que des
extrémités d'un chemin.}
\item \textsf{Cela revient à se poser la question du flux d'un champ vectoriel
à travers une surface qui est le bord d'un ouvert borné de $\mathbb{R}^{3}$:
c'est l'analogue de la question de la circulation le long de lacets. }
\item \textsf{Pour des ouverts qui sont de diamètre $O\left(\epsilon\right)$,
on obtient une expression en termes de leur volume et de la divergence
du champ de vecteur.}
\end{itemize}


\subsection{\textsf{Divergence}}
\begin{defn}
\textsf{La divergence d'un champ vectoriel $X:\mathbb{R}^{n}\supset\Omega\to\mathbb{R}^{n}$
est le champ scalaire $\mathrm{div}X$ défini par
\[
\mathrm{div}X=\partial_{x_{1}}X_{1}+\cdots+\partial_{x_{n}}X_{n}.
\]
}
\end{defn}

\begin{rem}
\textsf{En d'autres termes, la divergence est la trace de la matrice
jacobienne.}
\end{rem}

\textsf{}
%
\begin{rem}
\textsf{On écrit parfois la divergence $\nabla\cdot X$. }
\end{rem}

\textsf{La signification de la divergence en termes du flux est donnée
par le résultat suivant:}
\begin{prop}
\textsf{\label{prop:infinitesimal-gauss}Soit $X:\Omega\subset\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3}$
une fonction $\mathcal{C}^{1}$ et soit $x\in\Omega$. Soit $T_{\epsilon}=x+\epsilon T$
où $T$ est un tétrahèdre avec normale orientée vers l'extérieur.
On a 
\[
\oiint_{\partial T_{\epsilon}}X\cdot\nu\mathrm{d}\sigma=\epsilon^{3}\mathrm{Vol}\left(T\right)\mathrm{div}X\left(x\right)+o\left(\epsilon^{3}\right).
\]
}
\end{prop}

\begin{proof}
\textsf{Cela suit d'un développement de Taylor, comme la preuve de
la formule de Green infinitésimale.}
\end{proof}
\begin{xca}
\textsf{Proposer une version de cet énoncé en dimension $d=2$ et
en dimension $d\geq4$. }
\end{xca}


\subsection{\textsf{Formule de Gauss-Ostrogradski}}

\textsf{Comme pour les autres formules, la proposition \ref{prop:infinitesimal-gauss}
n'est autre que la version infinitésimale d'une formule intégrale,
appelée formule de Gauss-Ostrogradski:}
\begin{thm}
\textsf{\label{thm:gauss-ostrogradski}Soit $\Omega\subset\mathbb{R}^{3}$
un domaine tel que $\partial\Omega$ est une surface lisse par morceaux
avec normale orientée vers l'extérieur, et soit $X$ un champ vectoriel
défini au voisinage de $\bar{\Omega}$. Alors on a
\[
\iint_{\partial\Omega}X\cdot\nu\mathrm{d}\sigma=\iiint_{\Omega}\mathrm{div}X,
\]
où l'intégrale du membre de droite est une intégrale 3D usuelle. }
\end{thm}

\begin{proof}
\textsf{On peut découper $\Omega$ en petits tétraèdres, additionner
les flux, ne garder que les contributions extérieures (les contributions
internes s'annulent) et faire tendre la taille des tétraèdres vers
$0$. }
\end{proof}
\begin{rem}
\textsf{\label{rem:zero-gauss}On voir que si $X$ est $\mathcal{C}^{2}$
que $\mathrm{div}\left(\mathrm{rot}X\right)=0$, ce qui est consistant
avec la remarque \ref{rem:zero-stokes}.}
\end{rem}


\subsection{\textsf{Potentiel vecteur}}
\begin{xca}
\textsf{On dit qu'un champ vectoriel $Y:\Omega\to\mathbb{R}^{3}$
a un potentiel vecteur s'il existe un champ vectoriel $X:\Omega\to\mathbb{R}^{3}$
tel que $\mathrm{rot}X=Y$. Montrer que si $Y$ est $\mathcal{C}^{1}$
et a un potentiel vecteur, on a $\mathrm{div}Y=0$ et que si $Y$
a un potentiel vecteur $X$, alors pour tout champ scalaire $f:\Omega\to\mathbb{R}$
de classe $\mathcal{C}^{2}$, $X+\nabla f$ en est aussi un. }
\end{xca}

\textsf{}
%
\begin{xca}[(Difficile, pour réfléchir)]
\textsf{Si $Y:\Omega\to\mathbb{R}^{3}$ est $\mathcal{C}^{1}$ avec
$\mathrm{div}Y=0$, sous quelles conditions sur $\Omega$ (et sur
$Y$) peut-on dire que $Y$ a un potentiel vecteur?}
\end{xca}


\section{\textsf{Laplacien}}

\subsection{\textsf{Motivation}}
\begin{itemize}
\item \textsf{Le laplacien est un opérateur classique qui permet d'exprimer
de nombreuses équations et objets fondamentaux en physique, en géométrie
et en analyse.}
\item \textsf{Intuitivement, il représente combien en moyenne les valeurs
au voisinage d'un point varient par rapport à ce point. }
\item \textsf{Il est fondamental dans presque toutes les équations importantes
de la théorie des champs, et de nombreuses propriétés (en particulier
son spectre) sont très étudiés de nos jours.}
\end{itemize}


\subsection{\textsf{Définition}}
\begin{defn}
\textsf{Soit $f:\mathbb{R}^{n}\supset\Omega\to\mathbb{R}$ un champ
scalaire $\mathcal{C}^{2}$. Le laplacien $\Delta f$ est défini par
\[
\Delta f\left(x\right)=\partial_{11}f+\cdots+\partial_{nn}f.
\]
}
\end{defn}

\begin{rem}
\textsf{C'est simplement la trace de la hessienne ou la divergence
du gradient.}
\end{rem}

\textsf{}
%
\begin{rem}
\textsf{On écrit aussi parfois $\nabla^{2}f$.}
\end{rem}

\textsf{}
%
\begin{rem}
\textsf{Par la formule de Taylor du deuxième ordre, on a que 
\[
\Delta f\left(x\right)=\lim_{\epsilon\to0}\frac{\sum_{k=1}^{n}\left(f\left(x+\epsilon e_{k}\right)+f\left(x-\epsilon e_{k}\right)\right)-nf\left(x\right)}{\epsilon^{2}},
\]
où $e_{1},\ldots,e_{n}$ sont les vecteurs de la base canonique de
$\mathbb{R}^{n}$; on peut en fait choisir n'importe quelle base orthonormale
de $\mathbb{R}^{n}$, ce qui montre que le laplacien est invariant
par changement de coordonnées orthogonal. }
\end{rem}


\subsection{\textsf{Connexion avec Gauss-Ostrogradski}}

\textsf{En observant que $\Delta f=\mathrm{div}\mathrm{grad}f$, on
obtient directement, à partir de la formule de Gauss-Ostrogradski:}
\begin{prop}
\textsf{Soit $\Omega$ une surface lisse par morceaux et $f:\Omega\to\mathbb{R}$
un champ scalaire. On a 
\[
\iiint_{\Omega}\Delta f=\oiint_{\partial\Omega}\nabla f\cdot\nu\mathrm{d}\sigma=\iint_{\partial\Omega}\partial_{\nu}f\mathrm{d}\sigma,
\]
où la dernière intégrale est simplement une intégrale de surface et
$\partial_{\nu}f$ dénote la dérivée de $f$ dans la direction de
la normale extérieure. }
\end{prop}

\begin{proof}
\textsf{La première partie suit directement de la formule de Gauss-Ostrogradski
appliquée à $\nabla f$, la deuxième partie suit de la définition
d'intégrale de surface. }
\end{proof}


\subsection{\textsf{Fonctions harmoniques }}

\textsf{Le laplacien permet de définir parmi les fonctions les plus
intéressantes de l'analyse: les fonctions harmoniques. }
\begin{defn}
\textsf{Soit $\Omega\subset\mathbb{R}^{d}$ un domaine et $f:\Omega\to\mathbb{R}$
une fonction $\mathcal{C}^{2}$. On dit que $u$ est harmonique sur
$\Omega$ si $\Delta f\left(x\right)=0$ pour tout $x\in\Omega$.}
\end{defn}

\begin{rem}
\textsf{Intuitivement, on a qu'une fonction harmonique satisfait la
propriété de \textquotedbl valeur moyenne\textquotedbl . }
\end{rem}

\begin{defn}
\textsf{Soit $\Omega\subset\mathbb{R}^{d}$ un domaine borné tel que
$\partial\Omega$ est lisse par morceaux. Soit $\varphi:\partial\Omega\to\mathbb{R}$
une fonction. On dit que $f:\overline{\Omega}\to\mathbb{R}$ résout
le problème de Dirichlet avec condition au bord $\varphi$ si $f$
est continue sur $\bar{\Omega}$ et 
\begin{align*}
f\big|_{\partial\Omega} & =\varphi.\\
\Delta f\big|_{\Omega} & =0.
\end{align*}
}
\end{defn}

\begin{prop}
\textsf{Si elle existe, la solution du problème de Dirichlet est unique. }
\end{prop}

\begin{proof}
\textsf{La preuve utilise la linéarité et une sorte de principe du
maximum:}
\begin{itemize}
\item \textsf{Si on a deux solutions $f,\tilde{f}:\Omega\to\mathbb{R}$,
la différence est harmonique. }
\item \textsf{Il suffit de montrer que la seule fonction harmonique $f:\bar{\Omega}\to\mathbb{R}$
qui est harmonique avec condition au bord $0$ est la fonction nulle.}
\item \textsf{Il suffit donc de montrer qu'une fonction harmonique avec
condition au bord nulle n'a pas de valeur $>0$ (en appliquant un
argument symétrique, il suivra qu'elle n'a pas de valeur $<0$).}
\item \textsf{Pour tout $\epsilon>0$, on a que $f_{\epsilon}\left(x\right)=f\left(x\right)+\epsilon\|x\|^{2}$
ne peut pas avoir de maximum sur $\Omega$: en un point de maximum,
on aurait que la trace de la hessienne serait $\leq0$ or on a $\Delta f_{\epsilon}=2n\epsilon>0$.}
\item \textsf{Maintenant, si $f$ prend des valeurs $\geq\alpha>0$ à l'intérieur
de $\Omega$, en prenant $\epsilon>0$ assez petit, on arrive aussi
à ce que $\sup_{x\in\Omega}\left|f_{\epsilon}\left(x\right)\right|>\max_{x\in\partial\Omega}\left|f_{\epsilon}\left(x\right)\right|$:
par exemple 
\[
\epsilon=\frac{1}{2\max_{x\in\bar{\Omega}}\|x\|^{2}\left(\sup_{x\in\Omega}\left|f_{\epsilon}\left(x\right)\right|-\max_{x\in\partial\Omega}\left|f\left(x\right)\right|\right)}.
\]
 }
\item \textsf{Ceci impliquerait que $f_{\epsilon}$ a un maximum sur $\Omega$,
ce qui est impossible. }
\end{itemize}
\end{proof}
\begin{rem}
\textsf{Cela montre qu'une fonction harmonique est déterminée par
ses valeurs au bord. }
\end{rem}


\subsection{\textsf{Fonctions harmoniques en 2D et analyse complexe}}

\textsf{En deux dimensions, les fonctions harmoniques et l'analyse
complexe sont intimement connectées: }
\begin{lem}
\textsf{Soit $f:U\subset\mathbb{C}\to\mathbb{C}$ une fonction holomorphe
et soient $f_{1},f_{2}:\Omega\subset\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}$
ses parties réelles et imaginaires, vues comme fonctions de deux variables
réelles. Alors on a que $f_{1}$ et $f_{2}$ sont harmoniques.}
\end{lem}

\begin{proof}
\textsf{Cela suit directement des équations de Cauchy-Riemann, on
a que $\Delta=4\bar{\partial}\partial$ en deux dimensions. }
\end{proof}
\begin{lem}
\textsf{Soit $\Omega\subset\mathbb{R}^{2}$ un domaine simplement
connexe et $f_{1}:\Omega\to\mathbb{R}$ une fonction harmonique. Alors
on a qu'il existe une fonction holomorphe $f:U\to\mathbb{C}$ telle
que $f_{1}=\Re\mathfrak{e}\left(f\right)$. }
\end{lem}

\begin{proof}
\textsf{On regarde $\partial f_{1}$, qui est une fonction holomorphe
(car $\bar{\partial}\partial f_{1}=0$). On trouve une primitive holomorphe
$f$ telle que $\partial f=\partial f_{1}$. et telle que que $\Re\mathfrak{e}\left(f\right)=f_{1}$
en un point, ce qui nous donne la fonction désirée. }
\end{proof}

\section{\textsf{Equations de la théorie des champs classique}}

\subsection{\textsf{Motivation}}
\begin{itemize}
\item \textsf{La philosophie est de trouver des champs qui décrivent les
quantités utiles dans le monde, et des équations que l'évolution de
ces champs satisfait.}
\item \textsf{L'idée est que si on trouve une solution (exacte ou approximative)
de l'équation qui régit un champ, et que l'équation (avec les données
connues) a une solution unique, on peut prédire l'évolution du système.}
\item \textsf{Pour ces équations, l'existence et l'unicité (sous les bonnes
conditions) ne sont pas triviales du tout; le but est simplement de
comprendre ce que ces équations modélisent. }
\end{itemize}


\subsection{\textsf{Equation de Laplace}}

\textsf{C'est une équation qui nous dit simplement que $f$ est harmonique. }
\begin{defn}
\textsf{On dit qu'une champ scalaire $f\supset\mathbb{R}^{n}:\Omega\to\mathbb{R}$
satisfait l'équation de Laplace si 
\[
\Delta f\left(x\right)=0.
\]
}
\end{defn}

\begin{rem}
\textsf{Cette équation différentielle est en 3 dimensions satisfaite
par
\[
x\mapsto\frac{1}{\|x\|},
\]
dont dérive le champ vecteur
\[
-\frac{x}{\|x\|^{3}},
\]
qui correspond (à constante multiplicative près) au champ de force
gravitationnelle ou électromagnétique. On voit que la décroissance
en $1/\|x\|^{2}$ de la force gravitationnelle est intimement relié
à la propriété de valeur moyenne. }
\end{rem}


\subsection{\textsf{Equation de la chaleur}}
\begin{defn}
\textsf{On dit qu'une fonction $\mathcal{C}^{2}$ notée $f:\Omega\times S\to\mathbb{R}$,
où $\Omega\subset\mathbb{R}^{d}$ et $S\subset\mathbb{R}$ sont des
domaines, satisfait l'équation de la chaleur si 
\[
\partial_{t}f\left(x,t\right)=\Delta f\left(x,t\right)\quad\forall\left(x,t\right)\in\Omega\times S.
\]
}
\end{defn}

\begin{rem}
\textsf{Souvent, quand on étudie un problème physique on a des conditions
au bords qui spécifient la fonction au bord du domaine et aux conditions
initiales et finales, du type que $f$ a une extension a $\bar{\Omega}\times\bar{S}$
et où on prescrit.}
\end{rem}

\textsf{}
%
\begin{rem}
\textsf{On voit qu'en chaque point $x$, son évolution $t\mapsto f\left(x,t\right)$
a tendance à la faire revenir à la valeur de la moyenne; à l'équilibre,
on obtient une fonction harmonique. }
\end{rem}


\subsection{\textsf{Equation des ondes}}

\textsf{Une équation fondamentale est l'équation des ondes.}
\begin{defn}
\textsf{On dit qu'une fonction $\mathcal{C}^{2}$ notée $f:\Omega\times S\to\mathbb{R}$,
où $\Omega\subset\mathbb{R}^{d}$ et $S\subset\mathbb{R}$ sont des
domaines satisfait l'équation des ondes si
\[
\partial_{t}^{2}f\left(x,t\right)=\Delta f\left(x,t\right).
\]
}
\end{defn}

\begin{rem}
\textsf{Cette équation nous dit que la différence d'une valeur \textquotedbl avec
ses voisines\textquotedbl{} est proportionnelle à la force qui pousse
cette différence. C'est ce que l'on a pour la hauteur d'un matériau
élastique (et c'est ainsi que l'on a que les ondes se propagent dans
un instrument). }
\end{rem}


\subsection{\textsf{Equations de Maxwell}}

\textsf{Les équations de Maxwell gouvernent la propagation du champ
électrique et du champ magnétique en termes de la présence de charge
et du déplacement de charge. }
\begin{defn}
\textsf{On dit que $\rho:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}$ (la densité
de charge) et $J:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3}$ (le courant), $E:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3}$
(le champ électrique) et $B:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3}$ (le
champ magnétique) résolvent les équations de Maxwell (écrites en unités
de Gauss) si on a
\begin{align*}
\mathrm{div}E & =4\pi\rho\\
\mathrm{div}B & =0\\
\mathrm{rot}E & =-\frac{1}{c}\partial_{t}B\\
\mathrm{rot}B & =\frac{1}{c}\left(4\pi J+\frac{\partial E}{\partial t}\right),
\end{align*}
où $c>0$ est la vitesse de la lumière.}
\end{defn}

\begin{rem}
\textsf{On peut écrire ces équations sous forme intégrale pour mieux
les comprendre. }
\begin{itemize}
\item \textsf{Pour les deux premières, on a, pour tout $\Omega$:
\begin{align*}
\oiint_{\partial\Omega}E\cdot\nu\mathrm{d}s & =4\pi\iiint_{\Omega}\rho,\\
\oiint_{\partial\Omega}B\cdot\nu\mathrm{d}s & =0,
\end{align*}
 grâce à Gauss-Ostrogradski, où $\iiint_{\Omega}\rho$ désigne maintenant
la charge totale dans $\Omega$.}
\item \textsf{Pour les deux dernières, on a, pour toute surface orientée
$S$:
\begin{align*}
\int_{\partial S}E\cdot\mathrm{d}s & =-\frac{1}{c}\iint_{S}\left(\partial_{t}B\right)\cdot\nu\mathrm{d}s\\
\int_{\partial S}B\cdot\mathrm{d}s & =\frac{4\pi}{c}\iint_{S}J\cdot\nu\mathrm{d}s+\frac{1}{c}\iint_{S}\left(\partial_{t}E\right)\cdot\nu\mathrm{d}s,
\end{align*}
où $\int_{\partial S}J\cdot\mathrm{d}s$ est le courant qui parcourt
$\partial S$. }
\end{itemize}
\end{rem}

\textsf{}
%
\begin{rem}
\textsf{En utilisant que $\mathrm{rot}\mathrm{rot}\left(B\right)=\mathrm{grad}\mathrm{div}B-\vec{\Delta}B$,
où $\vec{\Delta}B$ est le Laplacien coordonnée par coordonnée (appelé
Laplacien vecteur) on voit que dans le vide, on obtient si $B,E$
sont $\mathcal{C}^{2}$
\[
\partial_{tt}E=c\partial_{t}\mathrm{rot}B=c\mathrm{rot}\partial_{t}B=-c^{2}\mathrm{rot}\mathrm{rot}E=c^{2}\vec{\Delta}E,
\]
 ce qui montre que le champ électrique se comporte comme une onde
dans le vide. }
\end{rem}


\subsection{\textsf{Equations de Navier-Stokes (fluide incompressible)}}
\begin{defn}
\textsf{On dit que le champ de vitesse $u:\Omega\times\mathbb{R}\to\mathbb{R}^{n}$
et le champ de pression $p:\Omega\times\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ satisfont
les équations de Navier-Stokes si
\begin{align*}
\frac{\partial}{\partial t}u_{i}+\sum_{j=1}^{n}u_{j}\frac{\partial u_{i}}{\partial x_{j}} & =\nu\Delta u_{i}-\frac{\partial p}{\partial x_{i}}+f_{i}\left(x,t\right)\quad\forall i=1,\ldots,n\\
\mathrm{div}u & =0
\end{align*}
 où $\nu>0$ est une constante (la viscosité) et où $f_{i}:\Omega\times\mathbb{R}\to\mathbb{R}$
est la force externe.}
\end{defn}

\begin{rem}
\textsf{C'est un problème ouvert important de savoir si pour des conditions
initiales (disons $\mathcal{C}^{\infty}$) générales, cette équation
a une solution. }
\end{rem}


\end{document}
